專(zhuān)題29正方形的性質(zhì)與判定【十六大題型】

?題型梳理

【題型1根據(jù)正方形的性質(zhì)求角度、線段長(zhǎng)、面積、坐標(biāo)】..........................................1

【題型2正方形的判定定理的理解】..............................................................6

【題型3證明四邊形是正方形】..................................................................9

【題型4求正方形重疊部分面積1............................................................................................16

【題型5與正方形有關(guān)的折疊問(wèn)題】.............................................................20

【題型6根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求角度】.......................................................27

【題型7根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)】.....................................................34

【題型8根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求面積1................................................................................42

【題型9根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定證明】.........................................................49

【題型10根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問(wèn)題】...............................................57

【題型11與正方形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】.............................................................67

【題型12與正方形有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題】.........................................................72

【題型13正方形與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用】.........................................................78

【題型14正方形與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用】.......................................................86

【題型15正方形與一次函數(shù)、反比例函數(shù)綜合應(yīng)用】...............................................93

【題型16正方形與二次函數(shù)綜合應(yīng)用】..........................................................103

【知識(shí)點(diǎn)正方形的性質(zhì)與判定】

1.定義：

四個(gè)角相等、四條邊也相等的四邊形叫作正方形

2.性質(zhì)：

正方形既是矩形，又是菱形，具有矩形和菱形的一切性質(zhì).

性質(zhì)1：正方形的四個(gè)內(nèi)角都相等，且都為90。，四條邊都相等.

性質(zhì)2：正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，對(duì)角線平分一組對(duì)角.

性質(zhì)3：正方形具有4條對(duì)稱(chēng)軸，兩條對(duì)角線所在的直線和過(guò)兩組對(duì)邊中點(diǎn)的兩條直線.

另外，由正方形的性質(zhì)可以得出：

（1）正方形的對(duì)角線把正方形分成四個(gè)小的等腰直角三角形.

（2）正方形的面積是邊長(zhǎng)的平方，也可表示為對(duì)角線長(zhǎng)平方的一半.

3.判定：

判定一個(gè)四邊形是正方形，除了定義之外，還可以采用以下方法：

（1）先證明是矩形，再證明該矩形有一組鄰邊相等，或?qū)Ь€互相垂直.

（2）先證明是菱形，再證明該菱形的一個(gè)角是直角，或兩條對(duì)角線相等.

【題型1根據(jù)正方形的性質(zhì)求角度、線段長(zhǎng)、面積、坐標(biāo)】

【例1】（2023?河南安陽(yáng)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖.四邊形力8c。為正方形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,百），將正方形繞

點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60。，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C所到位置的坐標(biāo)為（）

A.（V3,-l）B.（-l,-x/3）C.（-1,V3）D.（何1）

【答案】D

【分析】點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)360?；氐皆恢茫葱D(zhuǎn)6次回到原位置.故第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)。所到位置的坐標(biāo)

與第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)。所到位置的坐標(biāo)相同.據(jù)此即可求解.

【詳解】解：???正方形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60。

???正方形繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)6次回到原位置

72023=337x6+1

???第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C所到位置的坐標(biāo)，與笫1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C所到位置的坐標(biāo)相同

如圖：OC繞點(diǎn)。逆時(shí)針60。得到0C',作軸，C'E1x軸

'：LCOC=60°^AOC=90°,4。=CO

：.LAOC=30。,/。=CO

???點(diǎn)4的坐標(biāo)為(1,b)

22

：.AD=1,DO=V3fAO=y/AD+DO=2=2AD

：.LAOD=30。"0￡=30°

VZDlyWl,C'E_Lx軸

/.AADO玨CEO

:,CE=AD=1,OE=DO=遮

即點(diǎn)L(6,1)

故選:D

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)規(guī)律問(wèn)題.根據(jù)題意確定第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C所到位置的坐標(biāo)，與

第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C所到位置的坐標(biāo)相同，是解題關(guān)鍵.

【變式1-1](2023.廣東東莞?三模)如圖，正方形的兩條對(duì)角線力C,8D相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在BD上,且

BE=BC.則乙8EC的度數(shù)為.

【答案】67.5°

【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；

根據(jù)正方形的性質(zhì)得到線段相等和=45。，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求解.

【詳解】解：?.?四邊形力3co是正方形.

BC=CD,乙DBC=45°,

???BE=CD,

???BE=BC,

???Z.BEC=乙BCE=(180°-45°)+2=67.5°,

故答案為：67.5°

【變式1-2](2023?河南?統(tǒng)考二模)如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCO的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)。的直線分

別交40、BC于E、F,則陰影部分的面積是.

【答案】1

【分析】證明△0E0三△8F。，可推出陰影面積等于△8。。的面積.

【詳解】解：在正方形/WCD中，

ADWBC,0D=0B,

:?乙ODE=￡OBF,又乙DOE=cBOF,

:MDEO毛ABFO(ASA),

???SQDEO=SARFO,

陰影面積=SAB0C=1x2xl=l.

故答案為：I.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，難度不大，會(huì)把兩個(gè)陰影面積轉(zhuǎn)化到?個(gè)

圖形中去.

【變式1-3】(2023?江蘇鹽城??？寄M預(yù)測(cè))如圖，以正方形力BCD的兩邊8c和力。為斜邊向外作兩個(gè)全等的

直角三角形BCE和D4尸，過(guò)點(diǎn)。作CG1AF于點(diǎn)G,交AD于點(diǎn)、H,過(guò)點(diǎn)8作8/1CG于點(diǎn)/,過(guò)點(diǎn)。作。K1BE,

交EB延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,交CG于點(diǎn)L.若S四邊形AB/G=2SABCE，GH=1,則。K的長(zhǎng)為—.

【答案】蔡

【分析】本題主要考查了正方形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)

點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

過(guò)點(diǎn)A作/M1B/于點(diǎn)M,連接力C,BD,設(shè)OF=BE=Q,4F=CE=b,先證明四邊形。尸GL是矩形，四邊

形CE8/和CEKL均是矩形，可得4DLC=NB/C=90。，CI=BE,再根據(jù)△?！ㄈ鼵8/,可得四邊形DbGL是

正方形，四邊形CEKL是正方形，從而得到4G=b-a,CG=ab,DK=a+b,G/=b,再由S四邊形.夕胎二

2s48CE可得力=I。，再根據(jù)△力GHOLH,可得。匕—力—Q2=o,從而得到Q=3,b=|a=進(jìn)而完

成解答.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AMLB/于點(diǎn)M,連接47,BD,

根據(jù)題意得：RtAFCE=RtAD^F,

AzF=CE=90。，OF=BE,AF=CF,Z-DAF=乙BCE,

設(shè)。F=BE=a,AF=CE=bt

*：CGA.AF,8/ICG,DK1BE,

：.LFGL=乙FIB=乙BIC=4/<=90°,

???乙CBI十乙BCI=90°,

???四邊形48。。是正方形，

：,Z.CAD=Z.ACB=45°,CD=BC,乙DCB=90°,

：.^CAF=Z.ACE,Z.DCL+Z-BCl=90°,

：.AF||CE,Z.DCL=ZCF/,

：.CG1CE,

同理:DFHE,

:.DK1DF,

：.LFGL=zF=乙FDL=90°,

???四邊形DFGL是矩形，

同理：四邊形CEB/和CEKL均是炸形，

：,LDLC=Z.BIC=90°,CI=BE

J.LDCL=CBI,

：.DL=CI=BE,

:.DL=DF,

???四邊形DFGL是正方形，

：?DF=FG=BE=Cl=a,AF\\DL,

同理四邊形CEKD是正方形，

：.CL=CE=AF=Bl=b,

,.AG=b—a,CG=a+b,DK=a+/?,

'?Cl=b,

?；S四邊形AB/G=2sABCE，

?《G4G+B/）xG/=2x：CExBE,即“b-Q+b）xb=2x|ab,

.,3

??b=-a,

'：AF||DL,

：,LAGH?XDLH,

?AGGHanb-tz1

?L?L=HL,kJa-a-1,

.*.Gb—b—a2=0?即axga-ga—a?=o,解得：a=3或0（舍去），

,,39

..t=-a=?

?

:DK=a+b=—2.

故答案為：y.

【題型2正方形的判定定理的理解】

【例2】（2023.河北邢臺(tái).統(tǒng)考二模）卜.列四個(gè)菱形中分別標(biāo)注了部分?jǐn)?shù)據(jù).根據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，可.以判斷菱形是

【答案】B

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和正方形的判定逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A中圖形中是一組鄰邊相等不能判定此菱形是正方形，故不符合題意；

B中圖形給出40力。=45。，根據(jù)菱形的對(duì)角線平分對(duì)角可得到NBA。=90%則可判定此菱形是正方形，符

合題意；

C中圖形只給出。A=OC,但不能證得4C=BD,不能判定此菱形是正方形，故不符合題意；

D中圖形只給出2408=90。，即對(duì)角線互相垂直平分，不能判定此菱形是正方形，故不符合題意，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定、菱形的性質(zhì)，熟知正方形的判定方法是解答的關(guān)鍵.

【變式2-1]（2023?河北邢臺(tái)?二模）如圖，四邊形4BCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)。,下列條件中,能判定

四邊形A8CD是正方形的是（）

A.AC=BC=CD=DA

B.AO=CO,BO=DO,ACLBD

C.AO=BO=CO=DO,AC1BD

D.AB=BC,CD1DA

【答案】C

【分析】根據(jù)正方形的判定方法對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析從而得到答案.

【詳解】解?：A、???AC=8C=CD=ZM,???四邊形48C。是菱形，故本選項(xiàng)不符合題意：

B.\'AO=CO,BO=DO,AC1BD,???四邊形/BCD是菱形，故本選項(xiàng)不符合題意：

3,:AO=BO=CO=DO,4C1.8D,；?四邊形/BCD是正方形，故木選項(xiàng)符合題意；

D、由力B=BC,CD1DA,不能判定四邊形力BCD是正方形，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定，掌握特殊四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2]（2023?河南南陽(yáng)?統(tǒng)考三模）在團(tuán)48。。中，已知力C、8D為對(duì)角線，現(xiàn)有以下四個(gè)條件：①“8。=

90c：?AC=BD；@AC1BD；?AB=BC.從中選取兩個(gè)條件，可以判定即48co為正方形的是.（寫(xiě)

出一組即可）

【答案】①@或①④或②③或②?

【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定作出選擇即可.

【詳解】①@:二在團(tuán)4BCD中,L48c=90。,

???四邊形ABCD是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形），

又1BD,

???四邊形ABCD是正方形（對(duì)角線互相垂直矩形是正方形）：

??：:在回ABCD中，LABC=90°,

???四邊形ABCD是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形），

又〈AB=BC,

???四邊形ABCD是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）；

（2X3）：???在由48co中，AC=BD,

???四邊形ABCD是矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形），

又24C18D,

???四邊形ABCD是正方形（對(duì)角線垂史的矩形是正方形〉；

②?:???在團(tuán)ABCD中，AC=BD,

???四邊形ABCD是矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形），

又FB=BC,

???四邊形ABCD是正方形（有一處鄰邊相等的矩形是正方形）；

故答案為：①③或①④或②③或②④.

【點(diǎn)睛】本題主要考查特殊平行四邊形的判定，熟練掌握矩形、菱形、正方形的判定是解答本題的關(guān)鍵.

【變式2-3]（2023?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形A8C0中，AD=2AB=2,LABC=60°,

E,F是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，且8E=D凡M,N分別是邊AD,邊BC上的動(dòng)點(diǎn).下列四種說(shuō)法：①存在無(wú)

數(shù)個(gè)平行四邊形MENG②存在無(wú)數(shù)個(gè)矩形MENR③存在無(wú)數(shù)個(gè)菱形MENF；④存在無(wú)數(shù)個(gè)正方形MEN尸.其

中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后逐?分析即可.

【詳解】

如圖，連接AC、與8。交于點(diǎn)0,連接ME,MF,N凡EN,MN,

,??四邊形ABCD是平行四邊形

：.OA=OC,C）I3=OD

*：BE=DF

：,OE=OF

■:點(diǎn)、E、尸時(shí)8。上的點(diǎn),

?,?只要M,N過(guò)點(diǎn)0,

那么四邊形MEN尸就是平行四邊形

???存在無(wú)數(shù)個(gè)平行四邊形MEN凡故①正確；

只要MN=EF,MN過(guò)點(diǎn)0,則四邊形MEN/是矩形，

?:點(diǎn)、E、尸是3D上的動(dòng)點(diǎn),

???存在無(wú)數(shù)個(gè)矩形”硒巴故②正確；

只要MALLE/,MN過(guò)點(diǎn)0,則四邊形MEN*是菱形；

???點(diǎn)￡、尸是8。上的動(dòng)點(diǎn),

???存在無(wú)數(shù)個(gè)菱形MENF,故③正確；

只要MN=EF,MN_LERMN過(guò)點(diǎn)O,

則四邊形MENF是正方形，

而符合要求的正方形只有一個(gè)，故④錯(cuò)誤；

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平吁四邊形的判定、解答本題的關(guān)鍵時(shí)明確題

意,作出合適的輔助線.

【題型3證明四邊形是正方形】

【例3】（2023?山西忻州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐

如圖1,在△A8C中，^BAC=90\AB=AC,。是8c邊上一點(diǎn)，將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使AC與

力8重合，得到△48E,過(guò)點(diǎn)E作EFII3C,交力B于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)F作尸GJ.BC于點(diǎn)G.

圖1圖2

(1)求證：四邊形BEFG是正方形；

(2)如圖2,在^ABC中，ABAC=90°,AB>AC.。是BC邊上一點(diǎn)，將44co繞點(diǎn)4順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使AC落

在邊48上，得到△4FE,過(guò)點(diǎn)E作EGII8C,分別交48,40,4c于點(diǎn)/,J,G,過(guò)點(diǎn)尸作?HIIBC,交力。于

點(diǎn)H,且〃EG="HG.求證：四邊形EGHF是矩形：

(3)在圖2中，若43AC=90°,AC=3,AB=4,BD=3DC.將^ACO繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使力C落在

于點(diǎn)

邊上,得到AAEF,過(guò)點(diǎn)E作EGIIBC,分別交48,ADtACJ,J,G.求線段尸/的長(zhǎng)度.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得”="18。=45。，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得乙48E=〃=45。，根

據(jù)平行線性質(zhì)得到乙EBG=Z.EFG=乙BGF=90°,即可證明；

(2)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得乙”E=乙(?，^EAF=Z.DAC,求得〃GH=4以/=90。，根據(jù)平行線性質(zhì)，矩形判定

定理即可得出結(jié)論；

(3)根據(jù)勾股定理得到8c=+)C2=V42+32=5,求得CD,根據(jù)三角函數(shù)即可求出.

【詳解】(1)證明：?.?△B4C=90°,AB=AC,

ZC=/-ABC=45°.

???△4EB由△40C旋轉(zhuǎn)所得，

:./.ABE=ZC=45°.

Z.EBG=Z.ABE+乙ABC=45°+45°=90°.

???EF||BC,FG1BC,

.??乙EFG=乙BGF=90°.

???/EBG=乙EFG=乙BGF=90°.

???四邊形8E/G是矩形.

VZ.BGF=90°,Z/1FC=45°,

:.Z.ABC=乙BFG.

:.乙BFG=45°.

BG=FG.

???四邊形8EFG是正方形.

證明：v/.BAC=90°,

???“+KB=90°.

由△ACO旋技所得，

Z.AFE=乙C,Z-EAF=Z.DAC.

vFH||BC,

???^AFH=乙B.

AZ.EFH=/-AFE+Z.AFH=+乙8=90°.

又：FH||BC,EG||BC,

EG||FH.

:.Z.FEG=180°-乙EFH=180°-90°=90°.

vZ.DAC+4BAD=90°,/-EAF=Z-DAC,

，乙EAJ=LEAF+乙BAD=90°.

vZ.AEG=Z.AHG,Z-AJE=^GJH,

??.4GH=z.EAJ=90°.

:.Z.JGH=乙EFH=Z.FEG=90°.

二四邊形EGHF為矩形.

（3）解：由勾股定理可得，BC=>/AB2+AC2=V42+32=5,

由題意得EF=CD=—=COSLAFE=cos乙4cB=

445

eEF25

AFl=----------=——.

COS￡AFE12

【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，

勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1］（2023?湖南邵陽(yáng)?統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形A8C。中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)、0,點(diǎn)E,F在

對(duì)角線8。上，RBE=DF,OE=OA.

求證：四邊形AECF是正方形.

【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解析

【分析】菱形的兩條對(duì)角線相互垂直且平分，再根據(jù)兩條對(duì)角線用互垂直平分且相等的四邊形是正方形即可

證明四邊形AKCT是正方形.

【詳解】證明：???四邊形A8CO是菱形

/.OA=OC,。8=0。且4cL8。，

又,:BE=DF

：.OB-BE=OD-DF

即OE=OF

*：OE=（）A

.??OA=OC=OE=OF且AC=EF

又YAULEF

???四邊形。迎產(chǎn)是正方形.

【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)和正方形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握上述知識(shí).

【變式3-2］（2023?陜西咸陽(yáng)?統(tǒng)考一模）如圖，AABC中，A8=4C,。、尸分別為BC、4C的中點(diǎn)，連接。尸并

延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使FE=D凡連接4E、AD.CE.請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：,使得四邊形力ECD是正方形,

并說(shuō)明理由.

BA

【答案】NB4c=90。（答案不唯一），理由見(jiàn)解析

【分析】先證明四邊形力ECD是平行四邊形，再證明△48C是等腰三角形，由。是8C的中點(diǎn)得到40_L8C,

貝=90。，即可證明四邊形AEC。是矩形，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半得到=

CD=：BC,即可證明四邊形4ECD是正方形.

【詳解】解:LBAC=90°.

故答案為：匕BAC=90。（答案不唯一）

理由：???/是4c的中點(diǎn)，

:?CF=FA,

又?：FE=DF,

:.四邊形/1ECD是平行四邊形，

*：AB=AC,

是等腰三角形，

是的中點(diǎn)，

：.AD1BC,

???，ADC=90。，

???四邊形力ECD是矩形，

'：LBAC=90°,

???AABC是直角三角形，

???。是的中點(diǎn)，

：.AD=CD=-BC,

2

???四邊形4EC。是正方形.

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的判定、平行四邊形的判定、矩形的判定、等腰三角形的判定和性質(zhì)、直角三角

形斜邊上的中線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)判定是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3］（2023?福建泉州?統(tǒng)考二模）在AAB。中，^ABC=90°,將AABC繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得至必40E（點(diǎn)

8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)0,且0。V乙8/0<180。），射線DE與直線C8交于點(diǎn)M.

⑴如圖I,當(dāng)4840=90。時(shí)，求證：四邊形40MB是正方形；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段。4的延長(zhǎng)線上時(shí)，若48=1,AC=3,求線段ME的長(zhǎng)；

（3）如圖3,過(guò)點(diǎn)A作4V||。從交線段C3于點(diǎn)N,4V平分乙乙4￡,試探索：CN與MN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理

由.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）M￡=V2

（3）CN=MN,理由見(jiàn)解析

［分析】（1）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等,可得ADIIBC,再由旋轉(zhuǎn)可得乙48c=^ADE=90。,AB=I分于是得到乙DMB=

90。=乙48C,從而得出/BIIOM,進(jìn)而根據(jù)對(duì)邊相等，且一個(gè)角為直角的平行四邊形為正方形.

（2）根據(jù)勾股定理求出BC=2式,由旋轉(zhuǎn)可得AB=力。=1,BC=DE=2^2,LABC=^ADE=90°,進(jìn)

而得出CO=4嗡=圣易證ZL4BC?AMDC,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出DM=&，從而得出ME=V2.

（3）連接力M,由角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得乙EAN="=乙CAN,由旋轉(zhuǎn)可知zT=,AB=AD,

/.ABC=/-ADE=90°,則NC=乙。4N,進(jìn)而得到CN=4N,易證RtAABMvRtA力DM,從而得到，4MB=

^AMD,再由平行線的性質(zhì)可得NM4M=/AMD,于是NM4M=則MN=AN,從而得證.

【詳解】（1）證明：???ziB/W=90。，/.ABC=90°,

AD\\BC,即力。||BM,

由旋轉(zhuǎn)可知，/-ABC=/.ADE=90°,AB=AD,

ALDMB=900=乙ABC,

:.AB||DM,

???四邊形力。MB為平行四邊形，

???AB=AD,/.BAD=90°,

???四邊形/OMB為正方形.

(2)解：在RtAABC中，AB=1,AC=3,

BC=y/AC2-AB2=V32-I2=24

由旋轉(zhuǎn)可知，AB=AD=1,BC=DE=2y[2,/.ABC=Z-ADE=90°,

.AriAnOI1ABC2V242

???CrrD=AC+AD=3+1=4,——=——=—,

CD42

???LABC=Z.MDC,ZC=ZC,

△ABC?△MDC,

.AB_BC_yf2

'?DM~CD-2'

.1_鼻

??一

DM2

DM=V2,

ME=DE—DM=2V2-V2=V2.

(3)解：CN=MN,理由如下:

如圖，連接/M,

???4N平分皿E,

"AN=LEAN,

???AN||DE,

:.LEAN=Z.E=乙CAN,

由旋轉(zhuǎn)可知，ZC=ZE,AB=ADt/.ABC=Z.ADE=90°,

:.LC=4CAN,

???CN=AN,

在RtA48M和Rta/DM中，

(AB=AD

tAM=AM'

Rt△ABM=RtA力OM（HL）,

???LAMB=/.AMD,

???AN||DE,

:.乙NAM=/-AMD,

:.乙NAM=LAMB,

AMN=AN,

MN=CN.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和判定、勾股定理、三角形全等、相似等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是一

道幾何綜合題，能夠靈活的運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而利用相似三角形、全等三角形

的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵.

【題型4求正方形重疊部分面積】

【例4】（2023?浙江?統(tǒng)考中考真題）用四塊大正方形地磚和--塊小正方形地磚拼成如圖所示的實(shí)線圖案，每

塊大正方形地磚的面積為a,小正方形地磚的面積為〃，依次連夜四塊大正方形地磚的中心得到正方形

ABCD.則正方形48C。的面積為（用含/〃的代數(shù)式表示）.

【答案】a+b

【分析】如圖.連接4E、AF,先證明△GAEs/k/M凡由此可證得S四邊形進(jìn)而同理可得，根

據(jù)正方形48CQ的面積等于四個(gè)相同四邊形的面積之和及小正方形的面積即可求得答案.

【詳解】解：如圖，連接A石、AF,

???點(diǎn)A為大正方形的中心，

：.AE=AF,NEAF=90°,

???ZAEF'=ZAFE=45°,

NGEF=90。,

???ZAEG=ZGEF-ZAEF=45°,

/.ZAEG=ZAFE,

???四邊形ABC。為正方形，

：.ADAB=ZEAF=9Q0,

：?4GAE=/HAF,

在AGAE與AHAF中，

AGAE=乙HAF,

AE=AF,

(乙AEG=Z.AFH,

???△GAE絲(ASA),

??SAGAE=S^HAF，

**?^hGAE+SMEH=S?AF+SAAEH，

即S四邊形GAHE=ShAEF'

YS&AEF=大正方形二:a,

；?S四邊形G/1HE=；$大正方形=；。，

???同理可得：S正方形488=4x十

即S正方形A8CD=Q+b,

故答案為：a+b.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)并能作出正確的輔助

線是解決本題的關(guān)鍵.

【變式4-1］（2023?四川自貢?統(tǒng)考一模）如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。到正方形

AEFG的位置，則圖中陰影部分的面積為（）

A.3B.3D.更

36C."912

【答案】D

【詳解】解：作MH_LDE于H,如圖，

???四邊形ABCD為正方形，

/.AB=AD=1,ZB=ZBAD=ZADC=90°,

???正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。到正方形AEFG的位置,

/.AE=AB=1,Zl=30°,ZAEF=ZB=90°,

:.Z2=60°,

???△AED為等邊三角形，

AZ3=Z4=60°,DE=AD=1,

/.Z5=Z6=30°,

???△MDE為等腰三角形，

ADH=EH=-,

2

在RtAMDH中，MH=yDH=yxl=^,

SAMDE=JX1

Zo1z

故選D.

【變式4-2]（2023?山東荷澤?校考一模）如圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形重疊在一起，點(diǎn)。是其中一個(gè)正方形

的中心，則圖中陰影部分的面積為一.

【答案】4

【分析】連接。4、OD,證明△。/M=△OON(ASA),得到S陰影=+^AOD/V=^&OAM+^^ODM=^^OAD,

再由梟。皿=：S正方形AS。，代值求解即可得到答案?

【詳解】解：連接。小0D,如圖所示:

???乙40M=乙DON,

???/BCD是正方形，。為正方形力BCD的中心,

0A=OD,/-0AM=乙0DN=45°,

在AOAM^l^00N中，

(/-0AM=乙ODN

OA=OD,

^AOM=乙DON

???△0AMdOON(ASA),

'S^OAM=S&ODN?

AS陰影=S4ODM+S^ODN

=S4OAM+^AODM

=SbOAD

二[S正方形.CD=：X42=4,

故答案是：4.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形得到陰影部分的面積等于△。力。

的面積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【變式4-3]（2U23?天津?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)匕N,P,G分別在邊AB,BC,CD,

DA上，點(diǎn)M,F,Q都在對(duì)角線BD上，且四邊形MNPQ和AEFG均為正方形，則:―般的值等于____.

S正方形AEFG

【答案】:

【分析】根據(jù)輔助線的性質(zhì)得到NABD=NCBD=45。，四邊形MNPQ和AEFG均為正方形，推出^BEF與

△BMN是等腰直角三角形，于是得至ljFE=BE=AE=（AB,BM=MN=QM,同理DQ=MQ,即可得到結(jié)論.

【詳解】解：在正方形ABCD中，VZABD=ZCBD=45°,

■:四邊形MNPQ和AEFG均為正方形，

/.ZBEF=ZAEF=90°,ZBMN=ZQMN=90°,

???△BEF與△BMN是等腰宜角三角形，

/.FE=BE=AE=1AB,BM=MN=QM,

同理DQ=MQ,

MN=lBD

33

s伴AB?.

2

S正方形AEFGgAB）9

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)

【題型5與正方形有關(guān)的折疊問(wèn)題】

【例5】（2023?安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形/4BCD中，G為/W邊上一點(diǎn)，將△4BG沿BG翻折至F3G處,

延長(zhǎng)GF交CO邊于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)尸作F4118c分別交于點(diǎn)兒P,Q.請(qǐng)完成下列問(wèn)題:

(1)Z-EBG=°；

(2)若FH=：BC=4,則BP=.

【答案】45y

［分析】(1)證明Rt△BEF三Rt△8EC(HL),得出乙r=Z.EBC,求出/EBG=乙FBG+(EBF=-Z.ABC=

2

45。即可;

(2)過(guò)點(diǎn)”作，M1BF,垂足為點(diǎn)M,證明△BPHdBM，(AAS),得出BP=BM,HP=HM,證明△HFM?

△2",得出空=萼=段，設(shè)BM=BP=2x,得出尸M=8-2%,即要=譽(yù)=三求出HP=HM=%,

HPFPHF2xFP8

得出鬻=(求出"=即可得出答案?

【詳解】解：(1)由題意得8尸=48=乙BFG=乙4=4。=90。，2ABG=(FBG,

又?；BE=BE,

.??RtZk5"wRtZk8"(HL),

???LEBF=乙EBC,

???Z.EBG=乙FBG+LEBF=^ABC=45°.

故答案為：45.

(2)過(guò)點(diǎn)"作“Ml8口垂足為點(diǎn)M.如圖所示：

由折疊的性質(zhì)知乙PBH=4M8H,

???四邊形/SCO為正方形,

/.ABC=Z.ACB=2D=Z./1=90?AB=BC=CD=/ID,

*：FH||BC,

:?乙BPH=180°-/.ABC=90°,

ZBPH=乙8MH=90°,

又?：BH=BH,

2BPHBMH（AAS）,

???BP=BM,HP=HM,

vZ.HMF=Z.BPF=90°,乙HFM=乙BFP,

:心HFM-△BFP,

HMFMFH

----=-----=----,

BPFPBF

vFH=-BC=4,

2

???BC=BF=8,

設(shè)BM=BP=2x,

FM=8—2x,

J._H_M—-8--2-X-——4

2x~FP-8

二HP=HM=x,

FP=4+x,

8-2x4

:?-------

4+x8

12

AX=-，

5

BP=2x=學(xué)

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，

解魂的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和相似三角形的判定方法.

【變式5-1］（2023?江蘇揚(yáng)州??？既＃┰谶呴L(zhǎng)為6的正方形718co中，點(diǎn)E是邊8C上的動(dòng)點(diǎn)（不與8,C重

合），連接力E，將△A8E沿4E向右翻折得△力尸￡,連接Cr和。F,若△DFC為等腰三角形，則BE的長(zhǎng)為—

AD

B

【答案】2百或12—6百

【分析】分兩種情形討論，當(dāng)。。二0/時(shí)，過(guò)尸作MN_L40交4D于點(diǎn)M,證明△E4Ms△EFM利用相似

三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可；當(dāng)FC=OF時(shí)，求得ZF/1M=3O。，在ABE中，解直角三角形即可求解.

【詳解】解：當(dāng)DC=DF時(shí)，如圖，過(guò)“作MN1力。交力。于點(diǎn)M,則MN18C,

???正方形/BCD,

：,LABC=乙BCD=Z.CDA=Z.DAB=90°,

，四邊形48NM、MNG)都是矩形，

:?AB=AF=CD=DF=6=MN,AM=BN=3,LABE=乙4FE=90°,

設(shè)BE=x,

/.EF=BE=x,EN=3—x,

'JLAFM+/.FAM=4AFM+乙EFN=90°,

：.LFAM=乙EFN,

：,LFAMEFN,

.AF_AM

6_3

7=司

:?FNW

???在RtAEFN中,EF2=EN2+FN2,

22

r=(3-r)2+Q),

??.為=12±6遮（較大值舍去），

???可得此時(shí)BE=12-6V3；

當(dāng)FC=OF時(shí)，如圖，過(guò)尸作MN140交40于點(diǎn)M,則MNJ.8C,過(guò)b作FK1CD交CD于點(diǎn)K,

：.DK=CK=^CD=3,

同理，四邊形ABNM、MFKD、FNCK都是矩形，

在Rt^AFM中,

由題意可得：AF=CD=6=2FM,

/.s\n/.FAM=—=

AF2

：.LFAM=30°,

'：LEAD=90°,

?LBAF=60。，

:?乙EAB=￡.EAF=30°,

在RtzxABE中，F(xiàn)F=-tan30°=2\/3；

綜上所述，BE的長(zhǎng)為2百或12-6V5.

故答案為：26或12—675.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、正方形的性質(zhì)、直角三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，

解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)尸的位置，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三

角形解決問(wèn)題.

【變式5-2]（2023?山西朔州?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形4BCD中,AB=2,將其沿EF翻折,使乙EFC=

120°,頂點(diǎn)8恰好落在線段4。上的點(diǎn)G處，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H.則線段力E的長(zhǎng)為.

【答案】;

［分析】設(shè)/E=%,則BE=2-x,由翻折性質(zhì)，得EG=EB=2-x,Z-GEF=乙BEF=60。,所以41EG=60°,

在歐△AEG中，利用三角函數(shù)可求出x,從而得到線段力￡的長(zhǎng).

【詳解】解：設(shè)力“=》，

???正方形力BCD中,AB=2,

:.BE=2—x,ABIICD,

???Z.EFC=120%

???Z.BEF=60°,

???西邊形EA77G是四邊形EFCB折疊得至IJ,

Z.GEF=乙BEF=60°,EG=BE=2-x,

/.Z.AEG=1800-Z-GEF-Z.BEF=60°,

在Rt△4GE中，

cos^AEG=—,

EG

BPcos60°

2-X2

解得％=p

經(jīng)檢驗(yàn)》=:是原方程的解，

???原方程的解為乃=

AE=

3

故答案為：;

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，正方形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練運(yùn)用相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3】（2023?湖北?統(tǒng)考中考真題）如圖，將邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD沿直線E"折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M

落在邊/10上(點(diǎn)M不與點(diǎn)兒。重合)，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CO交于點(diǎn)P,折痕分別與邊交于點(diǎn)E,F,

連接BM.

(1)求證：Z-AMB=/.BMP；

(2)若Z)P=1,求MO的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵MO=9

【分析】(1)由折疊和正方形的性質(zhì)得到/EMP=4E8C=90。，EM=EB,則=々E8M,進(jìn)而證明

乙BMP=NM8C,再由平行線的性質(zhì)證明乙4MB=NMBC即可證明乙4MB=乙BMP；

(2)如圖，延長(zhǎng)MN,BC交于點(diǎn)Q.證明△OMPs^CQP得到QC=2MO,QP=2MP,

設(shè)M0=%,則QC=2x,BQ=3+2%.由，8MQ=/MBQ,得至l」MQ=BQ=3+2x.則MP=詈.由

勾股定理建立方程/+/=(等了，解方程即可得到MO=藍(lán).

【詳解】(1)證明：由翻折和正方形的性質(zhì)可得，LEMP=AEBC=90°,EM=EB.

:.乙EMB=乙EBM.

：.LEMP-乙EMB=Z-EBC-乙EBM,即/BMP=乙MBC,

???四邊形力BCD是正方形，

：.AD\\BC.

=4MBC.

=乙BMP.

(2)解：如圖，延長(zhǎng)MN,8c交于點(diǎn)Q.

VADIIBC,

/.ADMP八CQP.

又丁。。=1,正方形ABCD邊長(zhǎng)為3,

：.CP=2

.MDMPDP1

??,

QCQPCP2

:?QC=2MD,QP=2MP,

設(shè)MD=%,則QC=2%,

?'?BQ=3+2x.

?；乙8Mp=CMBC,即4=N例8Q,

：,MQ=BQ=3+2x.

,?,MRXPn=-MQ=-3+-2-X.

3y3

在RtZkOMP中，MD?+Dp2=Mp2,

“+12=（等）2

解得：=0（舍），x=^.

X12o

：,MD=—

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形與折疊問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定

理等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

【題型6根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求角度】

【例6】(2023?江西南昌?一模)已知正方形ABCO與正方形AEFG,正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周.

(1)如圖1,連接BG、CF,

①求案的值；

oG

②求的度數(shù).

(2)當(dāng)正方形AE尸G旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，連接C/、BE,分別取CA8E的中點(diǎn)M、N,連接MV,猜想MN

與8E的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】(I)①/；②45。；

(2)BE=ZMN；BE工MN；理由見(jiàn)解析

【分析】(1)①通過(guò)證明SJSA可得蕓=魚(yú)：

△CAFAG,BG

②由①得出NACF=NA8G,NCA8=45。，最后用三角形的內(nèi)角和定理，即可求出答案；

(2)過(guò)點(diǎn)。作CHIIE/，由“ASA”可證△CM”絲△FME,可得CH=EF,ME=HM,由“SAS”可證

△BCH^/XBAE,可得ZCBH=ZABE,由三角形中位線定理可得結(jié)論.

【詳解】(1)①如圖1,連接4F,AC,

???四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，

：.AC=42AB,AF=&AG,/CA8=NG4/=45。，NB4D=90。,

???NC4尸=/8AG,空=與

ABAG

???△CA/S/XBAG,

?=6

BG

@,：AC是正方形ABCD的對(duì)角線，

/.ZABC=90°,NAC8=45。，

在ABCH中,ZBHC=\SO0-(NHBC+ZHCB)

=180°-(Z/7BC+ZACB+ZACF)

=180°-(Z/7BC+ZACB+ZABO

=180°-(NABC+NACTH

=45。；

(2)BE=2MN,MALLBE；

理由如下：如圖2

連接ME,過(guò)點(diǎn)C作CQ〃E凡交直線ME于Q,連接8Q,設(shè)C尸與4。交點(diǎn)為P,CF與AG交點(diǎn)、為R,

?:CQ〃EF,

：?2FCQ=NCFE,

???點(diǎn)M是C尸的中點(diǎn),

：.CM=MF,

又<NCMQ=/FME,

：,ACMQ^AFME(ASA),

；?CQ=EF,ME=QM,

：.AE=CQ,

?:CQ〃EF,AG〃EF,

/.CQ〃AG,

；?￡QCF=/CRA,

,：AD^BC,

：./BCF=ZAPR,

/.NBCQ=N3CF+ZQCF=ZAPR+ZARC,

,/NOAG+NAPR+NARC=180',NBAE+ZDAG=180°,

：?/BAE=/BCQ,

又CQ=AE,

:.'BCQ^XBAE(SAS),

:,BQ=BE,ZCBQ=ZABE,

...NQ8E=NC8A=90。，

???MQ=ME,點(diǎn)N是8E中點(diǎn)，

:,BQ=2MN,MN〃BQ,

:,RE=2MN,MNLBE.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),

三角形中位線定理等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1](2023.陜西.陜西師大附中?？级?如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA：PB：PC=1：2：3,

【分析】通過(guò)旋轉(zhuǎn)，把PA、PB、PC或關(guān)聯(lián)的線段集中到同一個(gè)三角形，再根據(jù)兩邊的平方和等于第三邊求

證直角三角形，可以求解NAPB.

【詳解】把^PAB繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得^PBC,

設(shè)PA=x,PB=2x,PC=3x,連PP,

得等腰直角△PBP，，PP，2=(2x)2+(2x)2=8x2,

ZPPZB=45°.

又PC2=PP，2+PZC2,

得NPP'C=90°.

故NAPB=NCP,B=45°+90°=135°.

故答案為135°.

【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形四邊相等的性質(zhì)，考查直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，把a(bǔ)PAB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

使得A，與C點(diǎn)重合是解題的關(guān)鍵.

【變式6-2］（2023?山東濰坊?統(tǒng)考二模）如圖，E是正方形力BCD對(duì)角線8D上一點(diǎn)，連接4E,CE,并延長(zhǎng)CE交

AD于點(diǎn)F.若/AEC=140。，求功尸E的度數(shù).

【答案】65°

【分析】先證明三ACBE求得匕OEC,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求得乙。FE的度數(shù).

【詳解】解：???四邊形A8CD是正方形，

：.AB=CB,/.ABC=/-ADC=90%

/-ABE=/.CBE=45°,

在ZMBE和ACBE中，

AB=CB

{z-ABE=Z-CBE.

BE=BE

:,kABE=△CBE；

：.LAEB=乙CEB,

又=140%

?"CEB=70°,

■:乙DEC+乙CEB=180°,

:,乙DEC=1800-Z,CEB=110°,

*：LDFE+LADB=乙DEC,

：,z.DFE=乙DEC-Z,ADB=110°-45°=65°.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和及外角和的性質(zhì)，三角形全等的判定，熟悉三角形的外角

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式6-3］（2023?福建?模擬預(yù)測(cè)）四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P在邊CD上，N%Z）=30。，點(diǎn)G與點(diǎn)。關(guān)

于直線AP對(duì)稱(chēng)，連接8G.

（1）如圖，若四邊形4BCD是正方形，求NGBC的度數(shù)；

（2）連接CG,設(shè)AB=a,AD=b,探究當(dāng)NCGB=120。時(shí)，求。的值.

【答案】（1）15°

【分析】（1）連接OG,交AP于點(diǎn)、E,連接AG,證明AG=A8,ZBAG=30°,再求得NA8G的度數(shù)，便

可求得結(jié)果;

（2）證明G8=GC,再分兩種情況G在矩形48C。內(nèi)和G在矩形ABC。外，通過(guò)解直角三角形求出結(jié)果.

【詳解】（1）解：連接。G,交AP于點(diǎn)E,連接AG,如圖1,

圖1

???點(diǎn)G與點(diǎn)。關(guān)于直線AP對(duì)稱(chēng),

???4P垂直平分。G,

：.AD=AG.

???在AAQG中，AD=AG,AE±DG,

：,ZPAG=ZPAD=30°,

又???在正方形ABC。中，AD=AB,ND4B=/A8C=90。,

：.AG=AB,ZGAB=ZDAB-ZPAD-ZPAG=3>0°,

,在