湖南省津市市中考數(shù)學(xué)真題分類（勾股定理）匯編難點(diǎn)解析考試時(shí)間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計(jì)14分）1、有一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在他的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，其中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，變成了上圖，如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請(qǐng)你算出“生長”了2020次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（

）A．1 B．2021 C．2020 D．20192、如圖所示，將一根長為24cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在外面的長為hcm，則h的取值范圍是（）A．0＜h≤11 B．11≤h≤12 C．h≥12 D．0＜h≤123、下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，4、下列各組數(shù)據(jù)為三角形的三邊，能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．4，8，7 B．2，2，2 C．2，2，4 D．13，12，55、在△ABC中，，那么△ABC是（

）A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形6、我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，5尺人高曾記，仕女家人爭(zhēng)蹴．良工高士素好奇，算出索長有幾？”此問題可理解為：“如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地距離的長為尺，將它向前水平推送尺時(shí)，即尺，秋千踏板離地的距離和身高尺的人一樣高，秋千的繩索始終拉得很直，試問繩索有多長？”，設(shè)秋千的繩索長為尺，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．7、如圖，以Rt△ABC的兩直角邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，若S1＝8cm2，S2＝17cm2，則斜邊AB的長是（

）A．3cm B．6cm C．4cm D．5cm第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計(jì)16分）1、在繼承和發(fā)揚(yáng)紅色學(xué)校光榮傳統(tǒng)，與時(shí)俱進(jìn)，把育英學(xué)校建成一所文明的、受社會(huì)尊敬的學(xué)校升旗儀式上，如圖所示，一根旗桿的升旗的繩垂直落地后還剩余1米，若將繩子拉直，則繩端離旗桿底端的距離有5米．則旗桿的高度______．2、一根直立于水中的蘆節(jié)（BD）高出水面（AC）2米，一陣風(fēng)吹來，蘆葦?shù)捻敹薉恰好到達(dá)水面的C處，且C到BD的距離AC＝6米，水的深度（AB）為________米3、《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在勾股章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折著高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：如圖所示，在ΔABC中，∠ACB=90o，AC+AB=10，BC=3，求AC的長，若設(shè)AC=x，則可列方程為________________．4、我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一道題目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索盡．問索長幾何？”譯文為“今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牽索沿地面退行，在離木柱根部8尺處時(shí)，繩索用盡問繩索長是多少？”示意圖如下圖所示，設(shè)繩索的長為尺，根據(jù)題意，可列方程為__________．5、在一棵樹的5米高B處有兩個(gè)猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹跑到A處（離樹10米）的池塘邊．另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高_(dá)______米.6、如圖，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．點(diǎn)E為邊DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△AD'E與△ADE關(guān)于直線AE對(duì)稱，當(dāng)△CD'E為直角三角形時(shí)，DE的長為__．7、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（3，﹣2）到原點(diǎn)的距離是_____．8、如圖，折疊直角三角形紙片ABC，使得兩個(gè)銳角頂點(diǎn)A、C重合，設(shè)折痕為DE，若AB=4，BC=3，則△ADC的周長是__________

三、解答題（7小題，每小題10分，共計(jì)70分）1、如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為16尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面2尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，則水池里水的深度是多少尺？請(qǐng)你用所學(xué)知識(shí)解答這個(gè)問題．2、如圖，將一個(gè)長方形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交DC于點(diǎn)F，已知AB=4，BC=2，求折疊后重合部分的面積．3、拖拉機(jī)行駛過程中會(huì)對(duì)周圍產(chǎn)生較大的噪聲影響．如圖，有一臺(tái)拖拉機(jī)沿公路AB由點(diǎn)A向點(diǎn)B行駛，已知點(diǎn)C為一所學(xué)校，且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A，B的距離分別為150m和200m，又AB＝250m，拖拉機(jī)周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域．（1）學(xué)校C會(huì)受噪聲影響嗎？為什么？（2）若拖拉機(jī)的行駛速度為每分鐘50米，拖拉機(jī)噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間有多少分鐘？4、如圖，已知和中，，，，點(diǎn)C在線段BE上，連接DC交AE于點(diǎn)O．（1）DC與BE有怎樣的位置關(guān)系？證明你的結(jié)論；（2）若，，求DE的長．5、（1）圖1是由有20個(gè)邊長為1的正方形組成的，把它按圖1的分割方法分割成5部分后可拼接成一個(gè)大正方形（內(nèi)部的粗實(shí)線表示分割線），請(qǐng)你在圖2的網(wǎng)格中畫出拼接成的大正方形．（2）如果（1）中分割成的直角三角形兩直角邊分別為a，b斜邊為c．請(qǐng)你利用圖2中拼成的大正方形證明勾股定理．（3）應(yīng)用：測(cè)量旗桿的高度：校園內(nèi)有一旗桿，小希想知道旗桿的高度，經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)從頂端垂下一根拉繩，于是他測(cè)出了下列數(shù)據(jù)：①測(cè)得拉繩垂到地面后，多出的長度為0.5米；②他在距離旗桿4米的地方拉直繩子，拉繩的下端恰好距離地面0.5米．請(qǐng)你根據(jù)所測(cè)得的數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)可行性方案，解決這一問題．（畫出示意圖并計(jì)算出這根旗桿的高度）．6、如圖，點(diǎn)是正方形內(nèi)一點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，若，求的度數(shù)．7、如圖②，它可以看作是由邊長為a、b、c的兩個(gè)直角三角形（如圖①C為斜邊）拼成的，其中A、C、D三點(diǎn)在同一條直線上，(1)請(qǐng)從面積出發(fā)寫出一個(gè)表示a、b、c的關(guān)系的等式；（要求寫出過程）(2)如圖③④⑤，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有_______個(gè)．(3)如圖⑥，直角三角形的兩直角邊長分別為3，5，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_______．-參考答案-一、單選題1、B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結(jié)合圖形總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．【詳解】解：由題意得，正方形A的面積為1，由勾股定理得，正方形B的面積+正方形C的面積=1，∴“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2，同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3，∴“生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4，……∴“生長”了2020次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2021，故選：B．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．2、B【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，先找出h的值為最大和最小時(shí)筷子的位置，再根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：當(dāng)筷子與杯底垂直時(shí)h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．當(dāng)筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時(shí)h最小，如圖所示：此時(shí)，AB＝＝＝13cm，∴h＝24﹣13＝11cm．∴h的取值范圍是11cm≤h≤12cm．故選：B．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用問題，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形找出何時(shí)h有最大及最小值，同時(shí)注意勾股定理的靈活運(yùn)用，有一定難度．3、A【解析】【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．【詳解】解：A、52+122＝132，都是正整數(shù)，是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；B、42+52≠62，不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；C、22+32≠42，不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；D、，不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；故選：A．【考點(diǎn)】此題主要考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股數(shù)組的定義，如果a，b，c為正整數(shù)，且滿足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一組勾股數(shù)．4、D【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，看較小的兩邊的平方和是否等于最大的邊的平方即可進(jìn)行判斷.【詳解】A、42+72≠82，故不能構(gòu)成直角三角形；B、22+22≠22，故不能構(gòu)成直角三角形；C、2+2=4，故不能構(gòu)成三角形，不能構(gòu)成直角三角形；D、52+122=132，故能構(gòu)成直角三角形，故選D．【考點(diǎn)】本題考查的是用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，即若三角形的三邊符合a2+b2=c2，則此三角形是直角三角形．5、D【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的判定和勾股定理逆定理得出三角形的形狀即可．【詳解】∵a：b：c=1：1：，∴三角形ABC是等腰三角形．設(shè)三邊長為a,a,∵，∴三角形ABC是直角三角形．綜上所述：△ABC是等腰直角三角形．故選D．【考點(diǎn)】本題考查了等腰三角形的判定和勾股定理逆定理．此題關(guān)鍵是利用勾股定理的逆定理解答．6、C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理列方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意知：OC=x-（5-1），P'C=10，OP'=x，在Rt△OCP'中，由勾股定理得：[x-（5-1）]2+102=x2．即．故選：C．【考點(diǎn)】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，讀懂題意是解題的關(guān)鍵．7、D【解析】【分析】根據(jù)正方形的面積可以得到BC2＝8，AC2＝17，然后根據(jù)勾股定理即可得到AB2，從而可以求得AB的值．【詳解】解：S1＝8cm2，S2＝17cm2，∴BC2＝8，AC2＝17，∵∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2＋AC2，即AB2＝8＋17＝25，∴AB＝5cm，故選：D．【考點(diǎn)】本題考查正方形的面積、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確正方形的面積是邊長的平方．二、填空題1、12米【解析】【分析】設(shè)旗桿的高度是x米，繩子長為（x+1）米，旗桿，拉直的繩子和BC構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理可求出x的值，從而求出旗桿的高度．【詳解】解：設(shè)旗桿的高度為米，根據(jù)題意可得：，解得：，答：旗桿的高度為12米．故答案為：12米．【考點(diǎn)】本題考查勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵看到旗桿，拉直的繩子和BC構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理可求解．2、8【解析】【分析】先設(shè)水深x米，則AB=x，則有BD=AD+AB=x+2，由題條件有BD=BC=x+2，又根據(jù)蘆節(jié)直立水面可知BD⊥AC，則在直角△ABC中，利用勾股定理即可求出x．【詳解】解：設(shè)水深x米，則AB=x，則有：BD=AD+AB=x+2，即有：BD=BC=x+2，根據(jù)蘆節(jié)直立水面，可知BD⊥AC，且AC=6，則在直角△ABC中：，即：，解得x=8，即水深8米，故答案為8．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，從現(xiàn)實(shí)圖形中抽象出勾股定理這一模型是解答本題的關(guān)鍵．3、【解析】【分析】設(shè)AC=x，則AB=10-x，再由即可列出方程．【詳解】解：∵，且，∴，在Rt△ABC中，由勾股定理有：，即：，故可列出的方程為：，故答案為：．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．4、x2?（x?3）2＝82【解析】【分析】設(shè)繩索長為x尺，根據(jù)勾股定理列出方程解答即可．【詳解】解：設(shè)繩索長為x尺，根據(jù)題意得：x2?（x?3）2＝82，故答案為：x2?（x?3）2＝82．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出相應(yīng)方程是解題的關(guān)鍵．5、【解析】【分析】由題意知AD＋DB＝BC＋CA，設(shè)BD＝x，則AD＝15－x，且在直角△ACD中，代入勾股定理公式中即可求x的值，樹高CD＝(5＋x)米即可．【詳解】解：由題意知AD＋DB＝BC＋CA，且CA＝10米，BC＝5米，設(shè)BD＝x，則AD＝15－x，∵在Rt△ACD中，由勾股定理可得：CD2＋CA2＝AD2，即，解得x＝2.5米，故樹高為CD＝5＋x＝7.5（米），答：樹高為7.5米．故答案為：7.5．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題中找到AD＋DB＝BC＋CA的等量關(guān)系，并根據(jù)勾股定理列方程求解是解題的關(guān)鍵．6、3或6【解析】【分析】分兩種情況分別求解，（1）當(dāng)∠CED′＝90°時(shí)，如圖（1），根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得∠AED＝∠AED′＝45′，得DE＝AD＝6；（2）當(dāng)∠ED′A＝90°時(shí)，如圖（2），根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同一直線上，根據(jù)勾股定理得AC＝10，設(shè)DE＝D′E＝x，則EC＝CD?DE＝8?x，根據(jù)勾股定理得，D′E2＋D′C2＝EC2，代入相關(guān)的值，計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)∠CED′＝90°時(shí)，如圖（1），∵∠CED′＝90°，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得∠AED＝∠AED′＝×90°＝45°，∵∠D＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD＝6；（2）當(dāng)∠ED′A＝90°時(shí)，如圖（2），根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E，△CD′E為直角三角形，即∠CD′E＝90°，∴∠AD′E＋∠CD′E＝180°，∴A、D′、C在同一直線上，根據(jù)勾股定理得，∴CD′＝10?6＝4，設(shè)DE＝D′E＝x，則EC＝CD?DE＝8?x，在Rt△D′EC中，D′E2＋D′C2＝EC2，即x2＋16＝(8?x)2，解得x＝3，即DE＝3；綜上所述：DE的長為3或6；故答案為：3或6．【考點(diǎn)】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，分情況討論，作出圖形是解題關(guān)鍵．7、【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意知點(diǎn)（3，﹣2）到原點(diǎn)的距離為故答案為：．【考點(diǎn)】本題考查了用勾股定理求解兩點(diǎn)的距離公式．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握距離公式：、兩點(diǎn)間的距離公式為．8、【解析】【分析】首先根據(jù)勾股定理設(shè)，求出AD、CD，再求出AB，相加即可．【詳解】解：∵折疊直角三角形紙片，使兩個(gè)銳角頂點(diǎn)、重合，∴，設(shè)，則，故，∵，∴，即，解得，∴．則在中，由勾股定理得∴AC=5∴周長為AD+CD+AB=．故答案為：．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用以及折疊的性質(zhì)，掌握勾股定理和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題1、水池里水的深度是15尺【解析】【分析】根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)水池里水的深度是x尺，由題意得，，解得：x＝l5，答：水池里水的深度是15尺．【考點(diǎn)】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理、根據(jù)勾股定理正確列出方程是解題的關(guān)鍵．2、【解析】【分析】先由折疊可知EC=BC=2，進(jìn)而可知AD=CE，通過全等三角形的角角邊判定定理可證明△ADF≌△CEF，由全等可知FE=DF，設(shè)FC為x，則FE=DF=4-x，根據(jù)直角三角形的勾股定理可列方程，從而計(jì)算出CF的長度，通過CF與AD的長度可計(jì)算出重合部分面積．【詳解】解：∵△AEC是由△ABC沿AC折疊后得到的，∴EC=BC=2，且∠E=∠B=90°，在△ADF與△CEF中，，∴△ADF≌△CEF（AAS），設(shè)FC=x，則FE=DF=4-x，在Rt△CEF中，由勾股定理可知：，∴，解得，∴，故折疊后重合部分的面積為．【考點(diǎn)】本題考查圖形折疊的相關(guān)性質(zhì)，以及直角三角形的勾股定理的應(yīng)用，以及全等三角形的判定，找到合適的條件，選擇適合的判定方法去證明全等三角形，利用勾股定理和方程思想列方程是解決本題的關(guān)鍵．3、（1）會(huì)受噪聲影響，理由見解析；（2）有2分鐘；【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而利用三角形面積得出CD的長，進(jìn)而得出學(xué)校C是否會(huì)受噪聲影響；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的長，進(jìn)而得出拖拉機(jī)噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間．【詳解】解：（1）學(xué)校C會(huì)受噪聲影響．理由：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，∴CD＝＝120（m），∵拖拉機(jī)周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域，∴學(xué)校C會(huì)受噪聲影響．（2）當(dāng)EC＝130m，F(xiàn)C＝130m時(shí)，正好影響C學(xué)校，∵ED＝=50（m），∴EF＝50×2=100（m），∵拖拉機(jī)的行駛速度為每分鐘50米，∴100÷50＝2（分鐘），即拖拉機(jī)噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間有2分鐘．【考點(diǎn)】本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答.4、（1），見解析；（2）【解析】【分析】（1）易證，再根據(jù)全等性質(zhì)即可求得；（2）由BC和CE可得BE，再由全等的，再根據(jù)勾股定理即可求得；【詳解】（1）．證明：．在和中，．（2），．．【考點(diǎn)】本題考查三角形全等和勾股定理，掌握三角形全等條件是解題的關(guān)鍵．5、（1）見解析；（2）見解析；（3）在四邊形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AD比AB長0.5米，BC=4米，CD=0.5米，求AB的長；8米【解析】【分析】(1)將圖1分割成五塊：四個(gè)直角邊分別為1、2的直角三角形，一個(gè)邊長為2的正方形，再在圖2中，拼成邊長為的正方形即可．(2)根據(jù)20個(gè)小正方形的面積的和等于拼成的正方形的面積，根據(jù)勾股定理確定截線的長度即可；(3)根據(jù)題意，畫出圖形，可將該問題抽象為解直角三角形問題，該直角三角形的斜邊比其中一條直角邊多1m，而另一條直角邊長為5m，可以根據(jù)勾股定理求出斜邊的長即可．【詳解】解：（1）如圖（2）==∴(3)如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AD比AB長0.5米，BC=4米，CD=0.5米，求AB的長．解：過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E∵AB⊥BC，DC⊥BC∴∠B=∠C=∠DEB=90o∴四邊形BCDE是矩