高等數(shù)學函數(shù)值域求解方法歸納引言函數(shù)的值域（Range）是函數(shù)理論中的核心概念之一，指函數(shù)在定義域內所有可能輸出值的集合。值域與定義域、對應法則共同構成函數(shù)的三要素，其求解是研究函數(shù)性質（如極值、有界性）、解決優(yōu)化問題（如最大值、最小值）及方程解的存在性問題的基礎。值域的求解沒有統(tǒng)一的“萬能公式”，需根據(jù)函數(shù)的結構特征（如線性、二次、分式、復合等）選擇合適的方法。本文將系統(tǒng)歸納高等數(shù)學中常用的10種值域求解方法，涵蓋定義法、配方法、換元法、判別式法、單調性法、極值法、不等式法、反函數(shù)法、圖像法及有界性法，每種方法均包含適用場景、步驟解析、實例演示及注意事項，旨在為讀者提供清晰、實用的求解框架。一、觀察法：簡單函數(shù)的值域直觀判斷觀察法是最基礎的值域求解方法，通過函數(shù)的定義域和表達式直接判斷值域，適用于簡單線性函數(shù)、常數(shù)函數(shù)、簡單分段函數(shù)。1.適用場景一次函數(shù)：\(y=ax+b\)（\(a\neq0\)）；常數(shù)函數(shù)：\(y=c\)（\(c\)為常數(shù)）；簡單分段函數(shù)：如\(y=|x|\)、\(y=\lfloorx\rfloor\)（floor函數(shù)）等。2.步驟解析（1）確定函數(shù)定義域\(D\)；（2）根據(jù)函數(shù)表達式，直觀判斷\(y\)的取值范圍；（3）結合定義域調整值域（若定義域限制了自變量的范圍）。3.實例演示例1：求一次函數(shù)\(y=3x-2\)的值域（定義域\(\mathbb{R}\)）。解：一次函數(shù)是線性的，定義域為全體實數(shù)時，\(y\)可取任意實數(shù)，故值域為\((-\infty,+\infty)\)。例2：求常數(shù)函數(shù)\(y=5\)的值域。解：無論\(x\)取何值，\(y\)恒為5，故值域為\(\{5\}\)。例3：求分段函數(shù)\(y=\begin{cases}x+1,&x\geq0\\-x+1,&x<0\end{cases}\)的值域。解：當\(x\geq0\)時，\(y=x+1\geq1\)；當\(x<0\)時，\(y=-x+1>1\)。故值域為\([1,+\infty)\)。4.注意事項觀察法僅適用于結構簡單的函數(shù)，復雜函數(shù)需結合其他方法；分段函數(shù)需分別求各段的值域，再取并集。二、配方法：二次函數(shù)的值域求解利器配方法通過代數(shù)變形將函數(shù)轉化為完全平方形式，利用平方數(shù)的非負性（\(a^2\geq0\)）確定值域，是求解二次函數(shù)及可化為二次函數(shù)的復合函數(shù)值域的核心方法。1.適用場景二次函數(shù)：\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）；可化為二次函數(shù)的復合函數(shù)：如\(y=a(f(x))^2+b(f(x))+c\)（\(f(x)\)為一次函數(shù)、三角函數(shù)等）。2.步驟解析（1）將二次函數(shù)整理為頂點式（完全平方形式）：\(y=a(x+\frac{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\)；（2）分析二次項系數(shù)\(a\)的符號：\(a>0\)：開口向上，最小值為頂點縱坐標\(\frac{4ac-b^2}{4a}\)，值域為\([\frac{4ac-b^2}{4a},+\infty)\)；\(a<0\)：開口向下，最大值為頂點縱坐標\(\frac{4ac-b^2}{4a}\)，值域為\((-\infty,\frac{4ac-b^2}{4a}]\)；（3）若定義域不是全體實數(shù)，需計算定義域端點處的函數(shù)值，與頂點值比較后確定值域。3.實例演示例1：求二次函數(shù)\(y=x^2-4x+5\)的值域（定義域\(\mathbb{R}\)）。解：（1）配方：\(y=(x-2)^2+1\)；（2）分析：\(a=1>0\)，開口向上，\((x-2)^2\geq0\)，故\(y\geq1\)；（3）值域：\([1,+\infty)\)。例2：求函數(shù)\(y=-2x^2+4x+1\)的值域（定義域\(x\in[0,3]\)）。解：（1）配方：\(y=-2(x-1)^2+3\)；（2）分析：\(a=-2<0\)，開口向下，頂點坐標\((1,3)\)（最大值）；（3）計算端點值：\(x=0\)時，\(y=1\)；\(x=3\)時，\(y=-5\)；（4）值域：結合頂點值和端點值，值域為\([-5,3]\)。4.注意事項配方法僅適用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復合函數(shù)（如\(y=2\sin^2x+4\sinx+1\)）；若定義域限制了自變量的范圍，需避免直接使用頂點值作為值域的邊界（如例2）。三、換元法：復合函數(shù)的值域求解技巧換元法通過引入新變量（換元）將復雜函數(shù)轉化為簡單函數(shù)（如二次函數(shù)、線性函數(shù)），從而求解值域。換元法分為代數(shù)換元和三角換元兩類。（一）代數(shù)換元：處理根號、指數(shù)等復合結構1.適用場景含根號的函數(shù)：如\(y=\sqrt{ax+b}+c\)、\(y=x+\sqrt{x-1}\)；含指數(shù)、對數(shù)的復合函數(shù)：如\(y=e^{2x}+e^x+1\)（令\(t=e^x\)）。2.步驟解析（1）選擇合適的換元變量\(t\)：通常令根號、指數(shù)、對數(shù)部分為\(t\)；（2）確定\(t\)的取值范圍（由原函數(shù)定義域決定）；（3）將原函數(shù)轉化為關于\(t\)的簡單函數(shù)（如二次函數(shù)、線性函數(shù)）；（4）求解關于\(t\)的函數(shù)的值域，即為原函數(shù)的值域。3.實例演示例1：求函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}+2\)的值域。解：（1）換元：令\(t=\sqrt{x-1}\)，則\(t\geq0\)（由根號非負性）；（2）轉化：\(y=t+2\)；（3）值域：\(t\geq0\Rightarrowy\geq2\)，故值域為\([2,+\infty)\)。例2：求函數(shù)\(y=x+\sqrt{2x-1}\)的值域。解：（1）換元：令\(t=\sqrt{2x-1}\)，則\(t\geq0\)，且\(x=\frac{t^2+1}{2}\)；（2）轉化：\(y=\frac{t^2+1}{2}+t=\frac{1}{2}t^2+t+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(t+1)^2\)；（3）值域：\(t\geq0\Rightarrow(t+1)^2\geq1\Rightarrowy\geq\frac{1}{2}\)，故值域為\([\frac{1}{2},+\infty)\)。（二）三角換元：處理根號內為二次式的函數(shù)1.適用場景含\(\sqrt{a^2-x^2}\)的函數(shù)：令\(x=a\sin\theta\)（\(\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)），則\(\sqrt{a^2-x^2}=a\cos\theta\)；含\(\sqrt{x^2+a^2}\)的函數(shù)：令\(x=a\tan\theta\)（\(\theta\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)），則\(\sqrt{x^2+a^2}=a\sec\theta\)；含\(\sqrt{x^2-a^2}\)的函數(shù)：令\(x=a\sec\theta\)（\(\theta\in[0,\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\pi]\)），則\(\sqrt{x^2-a^2}=a\tan\theta\)。2.步驟解析（1）根據(jù)根號內的二次式結構選擇三角換元；（2）確定換元后\(\theta\)的取值范圍（保證根號非負且函數(shù)單調）；（3）將原函數(shù)轉化為關于\(\theta\)的三角函數(shù)；（4）利用三角函數(shù)的有界性（如\(\sin\theta\in[-1,1]\)、\(\cos\theta\in[-1,1]\)）求解值域。3.實例演示例1：求函數(shù)\(y=\sqrt{4-x^2}\)的值域。解：（1）換元：令\(x=2\sin\theta\)，\(\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)，則\(\sqrt{4-x^2}=2\cos\theta\)；（2）轉化：\(y=2\cos\theta\)；（3）值域：\(\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\Rightarrow\cos\theta\in[0,1]\Rightarrowy\in[0,2]\)，故值域為\([0,2]\)。例2：求函數(shù)\(y=\sqrt{x^2+9}\)的值域。解：（1）換元：令\(x=3\tan\theta\)，\(\theta\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)，則\(\sqrt{x^2+9}=3\sec\theta\)；（2）轉化：\(y=3\sec\theta\)；（3）值域：\(\theta\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\Rightarrow\sec\theta>0\)，且\(\sec\theta\geq1\)（當\(\theta=0\)時取等號），故值域為\([3,+\infty)\)。4.注意事項代數(shù)換元需注意換元變量的取值范圍（由原函數(shù)定義域決定）；三角換元需選擇合適的三角函數(shù)（根據(jù)根號內二次式的形式），并確定\(\theta\)的范圍（保證函數(shù)單調且根號非負）；換元后需將結果還原為原函數(shù)的值域（即關于\(y\)的范圍）。四、判別式法：分式函數(shù)的值域求解工具判別式法通過將函數(shù)轉化為關于自變量的二次方程，利用二次方程有實數(shù)解的條件（判別式\(\Delta\geq0\)）求解值域，適用于分式函數(shù)（分子分母為多項式）。1.適用場景二次分式函數(shù)：\(y=\frac{a_1x^2+b_1x+c_1}{a_2x^2+b_2x+c_2}\)（\(a_1,a_2\)不同時為零）；一次分式函數(shù)：\(y=\frac{ax+b}{cx+d}\)（\(c\neq0\)，可視為二次分式函數(shù)的特例）。2.步驟解析（1）將函數(shù)表達式整理為關于\(x\)的二次方程：\(y(a_2x^2+b_2x+c_2)=a_1x^2+b_1x+c_1\)，整理得：\((a_2y-a_1)x^2+(b_2y-b_1)x+(c_2y-c_1)=0\)；（2）討論二次項系數(shù)是否為零：若\(a_2y-a_1=0\)，解得\(y=\frac{a_1}{a_2}\)，此時方程退化為一次方程，需檢查是否有實數(shù)解（即是否存在\(x\)使原函數(shù)等于該值）；若\(a_2y-a_1\neq0\)，方程為二次方程，需滿足判別式\(\Delta\geq0\)；（3）解不等式\(\Delta\geq0\)，得到\(y\)的取值范圍；（4）結合定義域排除使分母為零的\(y\)值（即檢查是否存在\(x\)使分母為零且分子不為零，此時\(y\)不存在）。3.實例演示例1：求函數(shù)\(y=\frac{x^2+1}{x^2-1}\)的值域。解：（1）整理為二次方程：\(y(x^2-1)=x^2+1\)，即：\((y-1)x^2-(y+1)=0\)；（2）討論二次項系數(shù)：當\(y-1=0\)，即\(y=1\)時，方程退化為\(-(1+1)=0\)，即\(-2=0\)，無解，故\(y=1\)不屬于值域；當\(y-1\neq0\)，即\(y\neq1\)時，方程為二次方程，判別式\(\Delta=0^2-4(y-1)(-(y+1))=4(y^2-1)\geq0\)，解得：\(y^2\geq1\)，即\(y\leq-1\)或\(y\geq1\)；（3）排除\(y=1\)，故值域為\((-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\)？修正：等一下，剛才的計算有誤，再檢查一下：原方程整理為\((y-1)x^2-(y+1)=0\)，是關于\(x\)的二次方程（當\(y\neq1\)時），其判別式\(\Delta=0^2-4(y-1)(-(y+1))=4(y-1)(y+1)=4(y^2-1)\)，對嗎？是的。\(\Delta\geq0\Rightarrowy^2-1\geq0\Rightarrowy\leq-1\)或\(y\geq1\)。但\(y=1\)時無解，所以值域是\((-\infty,-1]\cup(1,+\infty)\)？等一下，當\(y=-1\)時，代入原方程：\((-1-1)x^2-(-1+1)=0\Rightarrow-2x^2=0\Rightarrowx=0\)，此時分母\(x^2-1=-1\neq0\)，有解，故\(y=-1\)屬于值域。當\(y=2\)時，\((2-1)x^2-(2+1)=0\Rightarrowx^2=3\Rightarrowx=\pm\sqrt{3}\)，分母\(3-1=2\neq0\)，有解，故\(y=2\)屬于值域。當\(y=0\)時，\((0-1)x^2-(0+1)=0\Rightarrow-x^2-1=0\Rightarrowx^2=-1\)，無解，故\(y=0\)不屬于值域。所以正確的值域是\((-\infty,-1]\cup(1,+\infty)\)。例2：求函數(shù)\(y=\frac{x+1}{x^2+1}\)的值域。解：（1）整理為二次方程：\(y(x^2+1)=x+1\)，即：\(yx^2-x+(y-1)=0\)；（2）討論二次項系數(shù)：當\(y=0\)時，方程退化為\(-x+(0-1)=0\Rightarrowx=-1\)，有解，故\(y=0\)屬于值域；當\(y\neq0\)時，方程為二次方程，判別式\(\Delta=(-1)^2-4y(y-1)=1-4y^2+4y=-4y^2+4y+1\geq0\)；（3）解不等式\(-4y^2+4y+1\geq0\)，即\(4y^2-4y-1\leq0\)，解得：\(y=\frac{4\pm\sqrt{16+16}}{8}=\frac{4\pm\sqrt{32}}{8}=\frac{4\pm4\sqrt{2}}{8}=\frac{1\pm\sqrt{2}}{2}\)，故不等式解集為\(\frac{1-\sqrt{2}}{2}\leqy\leq\frac{1+\sqrt{2}}{2}\)；（4）合并\(y=0\)（屬于上述區(qū)間），故值域為\([\frac{1-\sqrt{2}}{2},\frac{1+\sqrt{2}}{2}]\)。4.注意事項判別式法僅適用于二次分式函數(shù)（或可化為二次分式函數(shù)的函數(shù)）；需嚴格討論二次項系數(shù)是否為零（避免遺漏或錯誤）；若函數(shù)定義域不是全體實數(shù)（如分母有零點），需排除使分母為零的\(y\)值（即檢查是否存在\(x\)使分母為零且分子不為零，此時\(y\)不存在）。五、單調性法：單調函數(shù)的值域求解核心單調性法通過判斷函數(shù)的單調性，結合定義域端點處的函數(shù)值（或極限值）求解值域，適用于單調函數(shù)（如一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、部分分式函數(shù)）。1.適用場景單調遞增或單調遞減函數(shù)：如\(y=ax+b\)（\(a\neq0\)）、\(y=e^x\)、\(y=\lnx\)、\(y=\frac{1}{x}\)（\(x>0\)）等；可判斷單調性的復合函數(shù)：如\(y=2^x+1\)、\(y=\ln(x+1)\)等。2.步驟解析（1）確定函數(shù)定義域\(D\)；（2）判斷函數(shù)在\(D\)上的單調性（通過導數(shù)、定義或已知函數(shù)的單調性）；（3）若函數(shù)在\(D\)上單調遞增，則值域為\([f(\minD),f(\maxD)]\)（若\(D\)有界）或\((-\infty,+\infty)\)（若\(D\)無界且遞增）；（4）若函數(shù)在\(D\)上單調遞減，則值域為\([f(\maxD),f(\minD)]\)（若\(D\)有界）或\((-\infty,+\infty)\)（若\(D\)無界且遞減）；（5）若\(D\)無界（如\(D=(0,+\infty)\)），需計算極限值（如\(x\to0^+\)或\(x\to+\infty\)時的函數(shù)值）。3.實例演示例1：求函數(shù)\(y=e^x+1\)的值域（定義域\(\mathbb{R}\)）。解：（1）單調性：\(e^x\)在\(\mathbb{R}\)上單調遞增，故\(y=e^x+1\)單調遞增；（2）極限值：\(x\to-\infty\)時，\(e^x\to0\Rightarrowy\to1\)；\(x\to+\infty\)時，\(e^x\to+\infty\Rightarrowy\to+\infty\)；（3）值域：\((1,+\infty)\)。例2：求函數(shù)\(y=\ln(x+1)\)的值域（定義域\(x>-1\)）。解：（1）單調性：\(\lnx\)在\((0,+\infty)\)上單調遞增，故\(y=\ln(x+1)\)在\((-1,+\infty)\)上單調遞增；（2）極限值：\(x\to-1^+\)時，\(x+1\to0^+\Rightarrowy\to-\infty\)；\(x\to+\infty\)時，\(x+1\to+\infty\Rightarrowy\to+\infty\)；（3）值域：\((-\infty,+\infty)\)。例3：求函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)的值域（定義域\(x>0\)）。解：（1）單調性：\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上單調遞減；（2）極限值：\(x\to0^+\)時，\(y\to+\infty\)；\(x\to+\infty\)時，\(y\to0^+\)；（3）值域：\((0,+\infty)\)。4.注意事項單調性法的關鍵是準確判斷函數(shù)的單調性（可通過導數(shù)法：若\(f'(x)>0\)，則遞增；若\(f'(x)<0\)，則遞減）；若函數(shù)在定義域上不是單調的（如二次函數(shù)），需結合極值法（見下文）；對于無界定義域，需計算極限值（左極限或右極限）。六、極值法：可導函數(shù)的值域求解通用方法極值法通過求函數(shù)的極值（極大值、極小值）和定義域端點處的函數(shù)值（或極限值），比較這些值得到值域，適用于可導函數(shù)（如高次函數(shù)、分式函數(shù)、復合函數(shù)）。1.適用場景高次函數(shù)：如\(y=x^3-3x^2+2x\)；分式函數(shù)：如\(y=\frac{x^2+1}{x}\)（\(x\neq0\)）；復合函數(shù)：如\(y=\sinx+\cosx\)（可導）。2.步驟解析（1）確定函數(shù)定義域\(D\)；（2）求函數(shù)的導數(shù)\(f'(x)\)；（3）求導數(shù)的零點（臨界點）：解方程\(f'(x)=0\)，得到臨界點\(x_1,x_2,\dots,x_n\)；（4）判斷臨界點處的極值類型（極大值或極小值）：通過二階導數(shù)法（\(f''(x)>0\)為極小值，\(f''(x)<0\)為極大值）或一階導數(shù)符號變化法；（5）計算臨界點處的函數(shù)值（極值）和定義域端點處的函數(shù)值（或極限值）；（6）比較所有極值和端點值（或極限值），得到值域（最小值到最大值之間的所有值）。3.實例演示例1：求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+2\)的值域（定義域\(\mathbb{R}\)）。解：（1）求導數(shù)：\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)；（2）求臨界點：令\(f'(x)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)；（3）判斷極值類型：二階導數(shù)：\(f''(x)=6x-6\)；\(x=0\)時，\(f''(0)=-6<0\)，故\(x=0\)為極大值點，極大值\(f(0)=2\)；\(x=2\)時，\(f''(2)=6>0\)，故\(x=2\)為極小值點，極小值\(f(2)=8-12+2=-2\)；（4）計算極限值：\(x\to+\infty\)時，\(y\to+\infty\)；\(x\to-\infty\)時，\(y\to-\infty\)；（5）值域：結合極值和極限值，值域為\((-\infty,+\infty)\)。例2：求函數(shù)\(y=\frac{x^2+1}{x}\)（\(x>0\)）的值域。解：（1）化簡：\(y=x+\frac{1}{x}\)（\(x>0\)）；（2）求導數(shù)：\(f'(x)=1-\frac{1}{x^2}\)；（3）求臨界點：令\(f'(x)=0\)，解得\(x=1\)（\(x>0\)）；（4）判斷極值類型：一階導數(shù)符號變化：當\(0<x<1\)時，\(f'(x)<0\)（遞減）；當\(x>1\)時，\(f'(x)>0\)（遞增）；故\(x=1\)為極小值點，極小值\(f(1)=1+1=2\)；（5）計算極限值：\(x\to0^+\)時，\(y\to+\infty\)；\(x\to+\infty\)時，\(y\to+\infty\)；（6）值域：結合極小值和極限值，值域為\([2,+\infty)\)。例3：求函數(shù)\(y=\sinx+\cosx\)的值域（定義域\(\mathbb{R}\)）。解：（1）化簡：\(y=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\)（輔助角公式）；（2）求導數(shù)：\(f'(x)=\cosx-\sinx\)；（3）求臨界點：令\(f'(x)=0\)，解得\(\cosx=\sinx\Rightarrowx=k\pi+\frac{\pi}{4}\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）；（4）計算極值：當\(x=2k\pi+\frac{\pi}{4}\)時，\(\sin(x+\frac{\pi}{4})=1\)，極大值\(y=\sqrt{2}\)；當\(x=2k\pi+\frac{5\pi}{4}\)時，\(\sin(x+\frac{\pi}{4})=-1\)，極小值\(y=-\sqrt{2}\)；（5）值域：\([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\)。4.注意事項極值法是求解可導函數(shù)值域的通用方法，適用于大多數(shù)情況；需注意定義域的邊界（如端點處的函數(shù)值或極限值）；對于周期函數(shù)（如三角函數(shù)），只需考慮一個周期內的極值和端點值。七、不等式法：利用不等式求值域不等式法通過利用基本不等式（如均值不等式、柯西不等式）或其他不等式（如三角不等式）求解值域，適用于可表示為和、積、商形式的函數(shù)。（一）均值不等式（AM≥GM）1.適用場景函數(shù)可表示為正數(shù)的和或積：如\(y=x+\frac{1}{x}\)（\(x>0\)）、\(y=x(4-x)\)（\(0<x<4\)）。2.步驟解析（1）將函數(shù)表示為正數(shù)的和或積；（2）應用均值不等式：對于正數(shù)\(a_1,a_2,\dots,a_n\)，有\(zhòng)(\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\dotsa_n}\)，等號當且僅當\(a_1=a_2=\dots=a_n\)時成立；（3）求函數(shù)的極值（最大值或最小值）；（4）結合定義域確定值域。3.實例演示例1：求函數(shù)\(y=x+\frac{1}{x}\)（\(x>0\)）的值域（同極值法例2）。解：（1）表示為正數(shù)的和：\(x>0\)，\(\frac{1}{x}>0\)；（2）應用均值不等式：\(x+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\)，等號當且僅當\(x=\frac{1}{x}\Rightarrowx=1\)時成立；（3）極值：最小值為2；（4）值域：\([2,+\infty)\)。例2：求函數(shù)\(y=x(4-x)\)（\(0<x<4\)）的值域。解：（1）表示為正數(shù)的積：\(0<x<4\Rightarrow4-x>0\)；（2）應用均值不等式：\(x(4-x)\leq(\frac{x+(4-x)}{2})^2=(\frac{4}{2})^2=4\)，等號當且僅當\(x=4-x\Rightarrowx=2\)時成立；（3）極值：最大值為4；（4）值域：\((0,4]\)（因為\(x\to0^+\)或\(x\to4^-\)時，\(y\to0\)）。（二）柯西不等式1.適用場景函數(shù)可表示為向量的點積形式：如\(y=ax+b\sqrt{1-x^2}\)（\(|x|\leq1\)）。2.步驟解析（1）將函數(shù)表示為向量的點積：\(y=\mathbf{a}\cdot\mathbf\)，其中\(zhòng)(\mathbf{a}=(a_1,a_2)\)，\(\mathbf=(b_1,b_2)\)；（2）應用柯西不等式：\((\mathbf{a}\cdot\mathbf)^2\leq|\mathbf{a}|^2|\mathbf|^2\)，等號當且僅當\(\mathbf{a}\)與\(\mathbf\)線性相關時成立；（3）求函數(shù)的極值（最大值或最小值）；（4）結合定義域確定值域。3.實例演示例1：求函數(shù)\(y=3x+4\sqrt{1-x^2}\)（\(|x|\leq1\)）的值域。解：（1）表示為向量點積：令\(\mathbf{a}=(3,4)\)，\(\mathbf=(x,\sqrt{1-x^2})\)，則\(y=\mathbf{a}\cdot\mathbf\)；（2）應用柯西不等式：\(y^2\leq(3^2+4^2)(x^2+(\sqrt{1-x^2})^2)=25\times1=25\)，故\(|y|\leq5\)；（3）等號成立條件：\(\mathbf{a}\)與\(\mathbf\)線性相關，即\(\frac{x}{3}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{4}\)，解得\(x=\frac{3}{5}\)（因為\(|x|\leq1\)），此時\(y=3\times\frac{3}{5}+4\times\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\frac{9}{5}+4\times\frac{4}{5}=\frac{9+16}{5}=5\)；（4）求最小值：當\(x=-1\)時，\(y=3\times(-1)+4\times0=-3\)；當\(x=1\)時，\(y=3\times1+4\times0=3\)；當\(x=0\)時，\(y=0+4\times1=4\)；有沒有更小的值？比如用三角換元，令\(x=\sin\theta\)，\(\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)，則\(y=3\sin\theta+4\cos\theta=5\sin(\theta+\phi)\)（其中\(zhòng)(\phi=\arctan\frac{4}{3}\)），故\(y\in[-5,5]\)。哦，剛才用柯西不等式得到\(|y|\leq5\)，但剛才算\(x=-1\)時\(y=-3\)，是不是哪里錯了？等一下，當\(x=-1\)時，\(\sqrt{1-x^2}=0\)，\(y=-3\)；當\(x=-\frac{3}{5}\)時，\(\sqrt{1-x^2}=\frac{4}{5}\)，\(y=3\times(-\frac{3}{5})+4\times\frac{4}{5}=-\frac{9}{5}+\frac{16}{5}=\frac{7}{5}=1.4\)；當\(x=0\)時，\(y=4\)；當\(x=\frac{3}{5}\)時，\(y=5\)；那最小值是不是-5？等一下，用三角換元的話，\(y=5\sin(\theta+\phi)\)，\(\sin(\theta+\phi)\in[-1,1]\)，所以\(y\in[-5,5]\)，那什么時候取到-5？當\(\sin(\theta+\phi)=-1\)時，\(\theta+\phi=-\frac{\pi}{2}\)，\(\theta=-\frac{\pi}{2}-\phi\)，此時\(x=\sin\theta=\sin(-\frac{\pi}{2}-\phi)=-\cos