2021-2022學(xué)年湖北省武漢市洪山區(qū)八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中有且只有一個(gè)正確答案，請?jiān)诖痤}卡上將正確答案的標(biāo)號涂黑.1．下列平面圖形中，不是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．2．下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長度，用它們能擺成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm3．如圖，∠DAC＝∠BAC，下列條件中，不能判定△ABC≌△ADC的是（）A．DC＝BC B．AB＝AD C．∠D＝∠B D．∠DCA＝∠BCA4．在△ABC中，到三邊距離相等的點(diǎn)是△ABC的（）A．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn) C．三條高的交點(diǎn) D．三邊中線的交點(diǎn)5．已知正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為144°，則該正多邊形的邊數(shù)為（）A．12 B．10 C．8 D．66．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（）A．360° B．480° C．540° D．720°7．等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中點(diǎn)，EC⊥BD于E，交BA的延長線于F，若BF＝12，則△FBC的面積為（）A．40 B．46 C．48 D．508．如圖，設(shè)△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD＝58°，則∠AEB的度數(shù)是（）A．124° B．122° C．120° D．118°9．如圖，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP＝OC，下面結(jié)論：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等邊三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四邊形AOCP，其中正確的有（）A．②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④10．如圖，銳角∠AOB＝x，M，N分別是邊OA，OB上的定點(diǎn)，P，Q分別是邊OB，OA上的動點(diǎn)，記∠OPM＝α，∠QNO＝β，當(dāng)MP+PQ+QN最小時(shí)，則關(guān)于α，β，x的數(shù)量關(guān)系正確的是（）A．α﹣β＝2x B．2β+α＝90°+2x C．β+α＝90°+x D．β+2α＝180°﹣2x二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）將答案直接寫在答題卡指定的位置上。11．點(diǎn)P（﹣1，3）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．12．在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝2∠B，則∠C＝度．13．如圖，△ABC中，D在BC邊上，E在AC邊上，且DE垂直平分AC．若△ABC的周長為21cm，△ABD的周長為13cm，則AE的長為．14．在△ABC中，AC＝5，中線AD＝7，則AB邊的取值范圍是．15．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，0）、B（0，3），以AB為邊在第一象限作等腰直角△ABC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．16．如圖，將△ABC沿AD折疊使得頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)M處，D在BC上，點(diǎn)P在線段AD上移動，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，則△PMB周長的最小值為．三、解答題（共8小題，共72分）在答題卡指定的位置上寫出必要的演算過程或證明過程。17．如圖，已知AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，CE＝BF，求證：CD∥AB．18．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是AC上一點(diǎn)，E是BC延長線上一點(diǎn)，連接BD，DE，若∠ABD＝20°，BD＝DE，求∠CDE的度數(shù)．19．如圖，在正五邊形ABCDE中，DF⊥AB．（1）求∠CDF的度數(shù)；（2）求證：AF＝BF．20．如圖，在14×7的長方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，小正方形的每一個(gè)頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，線段ED和三角形ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．（1）直接寫出S△ABC＝；（2）請僅用無刻度直尺完成下列畫圖，保留畫圖痕跡（作圖結(jié)果用實(shí)線表示，作圖過程用虛線表示）；①畫出△ABC的高BH；②在線段ED右側(cè)找一點(diǎn)F，使得△ABC≌△EFD；③在②的條件下，在線段ED上找一點(diǎn)G，使∠DFG＝45°．21．如圖，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝6，在△ABC內(nèi)取一點(diǎn)O，使得AB＝OB，∠CAO＝15°，AM⊥BO，M為垂足．（1）求AM的長；（2）求證：AO＝CO．22．現(xiàn)有一塊含30°角的直角三角板AOB，點(diǎn)N在其斜邊AB上，點(diǎn)M在其最短直角邊OA所在直線上．以MN為邊作如圖所示的等邊△MNP．（1）如圖1，當(dāng)M在線段OA上時(shí)，證明：AM﹣AN＝AP；（2）如圖2，當(dāng)M在射線OA上時(shí)，試探究AM、AN、AP三者之間的數(shù)量關(guān)系并給出證明．23．已知：等邊△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AE＝DC，CE，BD交于點(diǎn)F．（1）如圖1，求證：△ABD≌△BCE；（2）如圖2，過點(diǎn)E作EG⊥BD于G，請寫出CF，F(xiàn)G和BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AG并延長交BC于點(diǎn)H，若FG＝FC，求證：點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)．24．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B（4，0），連接AB，點(diǎn)P（0，t）是y軸上的一動點(diǎn)，以BP為一直角邊構(gòu)造等腰直角△BPC（B，P，C的順序?yàn)轫槙r(shí)針），且∠BPC＝90°，過點(diǎn)A作AD∥x軸并與直線BC交于點(diǎn)D，連接PD．（1）如圖1，當(dāng)t＝2時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖2，當(dāng)t＞0時(shí)，求證：∠ADC＝∠PDB；（3）如圖3，當(dāng)t＜0時(shí)，求DP﹣DA的值（用含有t的式子表示）．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中有且只有一個(gè)正確答案，請?jiān)诖痤}卡上將正確答案的標(biāo)號涂黑.1．下列平面圖形中，不是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義逐個(gè)判斷即可．解：A．是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B．是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C．是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；故選：C．2．下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長度，用它們能擺成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進(jìn)行分析．解：A、3+4＜8，不能組成三角形；B、8+7＝15，不能組成三角形；C、13+12＞20，能夠組成三角形；D、5+5＜11，不能組成三角形．故選：C．3．如圖，∠DAC＝∠BAC，下列條件中，不能判定△ABC≌△ADC的是（）A．DC＝BC B．AB＝AD C．∠D＝∠B D．∠DCA＝∠BCA【分析】利用全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL進(jìn)行分析即可．解：A、DC＝BC，∠DAC＝∠BAC，再加上公共邊AC＝AC，不能判定△ABC≌△ADC，故此選項(xiàng)符合題意；B、AB＝AD，∠DAC＝∠BAC，再加上公共邊AC＝AC，可利用SAS判定△ABC≌△ADC，故此選項(xiàng)不合題意；C、∠B＝∠D，∠DAC＝∠BAC，再加上公共邊AC＝AC，能利用AAS判定△ABC≌△ADC，故此選項(xiàng)不合題意；D、∠DCA＝∠BCA，∠DAC＝∠BAC，再加上公共邊AC＝AC，能利用ASA判定△ABC≌△ADC，故此選項(xiàng)不合題意；故選：A．4．在△ABC中，到三邊距離相等的點(diǎn)是△ABC的（）A．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn) C．三條高的交點(diǎn) D．三邊中線的交點(diǎn)【分析】題目要求到三邊的距離相等，觀察四個(gè)選項(xiàng)看哪一個(gè)能夠滿足此要求，利用角的平分線的性質(zhì)判斷即可選項(xiàng)D是可選的．解：利用角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可知：三角形中到三邊的距離相等的點(diǎn)是三條角平分線的交點(diǎn)．故選：B．5．已知正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為144°，則該正多邊形的邊數(shù)為（）A．12 B．10 C．8 D．6【分析】根據(jù)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是144°，則知該正多邊形的一個(gè)外角為36°，再根據(jù)多邊形的外角之和為360°，即可求出正多邊形的邊數(shù)．解：∵正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是144°，∴該正多邊形的一個(gè)外角為36°，∵多邊形的外角之和為360°，∴邊數(shù)＝＝10，∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是10．故選：B．6．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（）A．360° B．480° C．540° D．720°【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和及三角形的外角定理即可求解．解：如圖，AC、DF與BE分別相交于點(diǎn)M、N，在四邊形NMCD中，∠MND+∠CMN+∠C+∠D＝360°，∵∠CMN＝∠A+∠E，∠MND＝∠B+∠F，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，故選：A．7．等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中點(diǎn)，EC⊥BD于E，交BA的延長線于F，若BF＝12，則△FBC的面積為（）A．40 B．46 C．48 D．50【分析】求出∠ABD＝∠ACF，根據(jù)ASA證△ABD≌△ACF，推出AD＝AF，得出AB＝AC＝2AD＝2AF，求出AF長，求出AB、AC長，根據(jù)三角形的面積公式得出△FBC的面積等于BF×AC，代入求出即可．解：∵CE⊥BD，∴∠BEF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAF＝90°，∴∠FAC＝∠BAD＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∠ACF+∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF，∵在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF，∴AD＝AF，∵AB＝AC，D為AC中點(diǎn)，∴AB＝AC＝2AD＝2AF，∵BF＝AB+AF＝12，∴3AF＝12，∴AF＝4，∴AB＝AC＝2AF＝8，∴△FBC的面積是×BF×AC＝×12×8＝48，故選：C．8．如圖，設(shè)△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD＝58°，則∠AEB的度數(shù)是（）A．124° B．122° C．120° D．118°【分析】證明△ACE≌△BCD，得出∠DBC＝∠CAE，進(jìn)而再通過角之間的轉(zhuǎn)化，可最終求解出結(jié)論．解：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，且∠EBD＝58°，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，又∵∠ACB＝∠ACE+∠BCE，∠ECD＝∠BCE+∠BCD，∴∠BCD＝∠ACE，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠DBC＝∠CAE，∴58°﹣∠EBC＝60°﹣∠BAE，∴58°﹣（60°﹣∠ABE）＝60°﹣∠BAE，∴∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠BAE）＝180°﹣52°＝118°．故選：D．9．如圖，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP＝OC，下面結(jié)論：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等邊三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四邊形AOCP，其中正確的有（）A．②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④【分析】①連接OB，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)即可求得OB＝OC＝OP，即可解題；②根據(jù)周角等于360°和三角形內(nèi)角和為180°即可求得∠POC＝2∠ABD＝60°，即可解題；③AB上找到Q點(diǎn)使得AQ＝OA，易證△BQO≌△PAO，可得PA＝BQ，即可解題；④作CH⊥BP，可證△CDO≌△CHP和RT△ABD≌RT△ACH，根據(jù)全等三角形面積相等即可解題．解：如圖，①連接OB，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD是BC垂直平分線，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，∵∠ABO+∠DBO＝30°，∴∠APO+∠DCO＝30°．故①正確；②∵△OBP中，∠BOP＝180°﹣∠OPB﹣∠OBP，△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，∴∠POC＝360°﹣∠BOP﹣∠BOC＝∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，∵∠OPB＝∠OBP，∠OBC＝∠OCB，∴∠POC＝2∠ABD＝60°，∵PO＝OC，∴△OPC是等邊三角形，故②正確；③在AB上找到Q點(diǎn)使得AQ＝OA，則△AOQ為等邊三角形，則∠BQO＝∠PAO＝120°，在△BQO和△PAO中，，∴△BQO≌△PAO（AAS），∴PA＝BQ，∵AB＝BQ+AQ，∴AC＝AO+AP，故③正確；④作CH⊥BP，∵∠HCB＝60°，∠PCO＝60°，∴∠PCH＝∠OCD，在△CDO和△CHP中，，∴△CDO≌△CHP（AAS），∴S△OCD＝S△CHP∴CH＝CD，∵CD＝BD，∴BD＝CH，在RT△ABD和RT△ACH中，，∴RT△ABD≌RT△ACH（HL），∴S△ABD＝S△AHC，∵四邊形OAPC面積＝S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC＝S△AOC+S△ABD+S△OCD∴四邊形OAPC面積＝S△ABC．故④正確．故選：D．10．如圖，銳角∠AOB＝x，M，N分別是邊OA，OB上的定點(diǎn)，P，Q分別是邊OB，OA上的動點(diǎn)，記∠OPM＝α，∠QNO＝β，當(dāng)MP+PQ+QN最小時(shí)，則關(guān)于α，β，x的數(shù)量關(guān)系正確的是（）A．α﹣β＝2x B．2β+α＝90°+2x C．β+α＝90°+x D．β+2α＝180°﹣2x【分析】如圖，作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M′，N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ＝α，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到∠OQP＝∠AON＝β+x，進(jìn)而得到α＝β+x+x＝β+2x，由此即可解決問題．解：如圖，作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M′，N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小，∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ＝α，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，∵∠AON＝∠QNO+∠AOB＝β+x，∴∠OQP＝∠AON＝β+x，∵∠NPQ＝∠OQP+∠AOB，∴α＝β+x+x＝β+2x∴α﹣β＝2x．故選：A．二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）將答案直接寫在答題卡指定的位置上。11．點(diǎn)P（﹣1，3）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，﹣3）．【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可得答案．解：點(diǎn)P（﹣1，3）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，﹣3），故答案為：（﹣1，﹣3）．12．在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝2∠B，則∠C＝80度．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和已知條件求得．解：∵∠A＝60°，∴∠B+∠C＝120°，∵∠C＝2∠B，∴∠C＝80°．13．如圖，△ABC中，D在BC邊上，E在AC邊上，且DE垂直平分AC．若△ABC的周長為21cm，△ABD的周長為13cm，則AE的長為4cm．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DC，AE＝EC，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案．解：∵DE是AC的垂直平分線，∴DA＝DC，AE＝EC，∵△ABC的周長為21cm，∴AB+BC+AC＝21cm，∵△ABD的周長為13cm，∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13（cm），∴AC＝8cm，∴AE＝4cm，故答案為：4cm．14．在△ABC中，AC＝5，中線AD＝7，則AB邊的取值范圍是9＜AB＜19．【分析】如圖，延長AD到E使DE＝AD，連接BE，通過證明△ACD≌△EBD就可以得出BE＝AC，在△AEB中，由三角形的三邊關(guān)系就可以得出結(jié)論．解：延長AD到E使DE＝AD，連接BE，∵D是BC的中點(diǎn)，∴CD＝BD．在△ACD和△EBD中，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC＝EB＝5．∵AD＝7，∴AE＝14．由三角形的三邊關(guān)系為：14﹣5＜AB＜14+5，即9＜AB＜19．故答案為：9＜AB＜19．15．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，0）、B（0，3），以AB為邊在第一象限作等腰直角△ABC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4）、（4，1）、（2，2）．【分析】分三種情形討論求解即可．當(dāng)AB＝AC，∠BAC＝90°時(shí)，作CE⊥x軸于E．由△AOB≌△CEA，推出AE＝OB＝3，CE＝OA＝1，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，同法可得，當(dāng)AB＝BC′，∠ABC′＝90°，C′（3，4），當(dāng)AB是等腰直角三角形的斜邊時(shí)，C″是BC的中點(diǎn)，C″（2，2）．解：如圖，當(dāng)AB＝AC，∠BAC＝90°時(shí)，作CE⊥x軸于E．∵∠BAC＝∠AOB＝∠AEC＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠OAB+∠CAE＝90°，∴∠ABO＝∠CAE，∵AB＝AC，∴△AOB≌△CEA，∴AE＝OB＝3，CE＝OA＝1，∴C（4，1），同法可得，當(dāng)AB＝BC′，∠ABC′＝90°，C′（3，4），當(dāng)AB是等腰直角三角形的斜邊時(shí)，C″是BC的中點(diǎn)，C″（2，2），綜上所述，滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，1）或（2，2）或（3，4）．16．如圖，將△ABC沿AD折疊使得頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)M處，D在BC上，點(diǎn)P在線段AD上移動，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，則△PMB周長的最小值為18．【分析】作作DG⊥AC于G，DH⊥AB于H，AI⊥BC于I，根據(jù)同一三角形的面積相等求出AB＝14，在根據(jù)翻折變換，把△PMB的最小值，轉(zhuǎn)化為求PB+PM的最小值即可．解：作DG⊥AC于G，DH⊥AB于H，AI⊥BC于I，由折疊的性質(zhì)可知：∠CAD＝∠BAD，AC＝CM＝6，CP＝PM，∵DG⊥AC，DH⊥AB，∴DG＝DH，∵＝＝，∴＝，∴＝，∴AB＝14，BM＝14﹣6＝8，要求△PMB的最小值，就轉(zhuǎn)化為求PB+PM的最小值，∵PC+PB＞BC，當(dāng)P與D重合時(shí)，PC+PB取最小值，即BD+CD＝10，∴△PMB的最小值為PM+PB+BM＝10+8＝18．三、解答題（共8小題，共72分）在答題卡指定的位置上寫出必要的演算過程或證明過程。17．如圖，已知AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，CE＝BF，求證：CD∥AB．【分析】先證出∠DFC＝∠AEB＝90°，CF＝BE，再證Rt△DFC≌Rt△AEB（HL），由全等三角形的性質(zhì)得∠C＝∠B，即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠DFC＝∠AEB＝90°，又∵CE＝BF，∴CE﹣EF＝BF﹣EF，即CF＝BE，在Rt△DFC和Rt△AEB中，，∴Rt△DFC≌Rt△AEB（HL），∴∠C＝∠B，∴CD∥AB．18．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是AC上一點(diǎn)，E是BC延長線上一點(diǎn)，連接BD，DE，若∠ABD＝20°，BD＝DE，求∠CDE的度數(shù)．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝50°，那么∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°．因?yàn)椤鰾DE是等腰三角形，所以∠E＝∠DBC＝30°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠CDE的度數(shù)．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣80°）＝50°，∵∠ABD＝20°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°．∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°，∴∠CDE＝∠ACB﹣∠E＝20°．19．如圖，在正五邊形ABCDE中，DF⊥AB．（1）求∠CDF的度數(shù)；（2）求證：AF＝BF．【分析】（1）根據(jù)正五邊形內(nèi)角和得每個(gè)內(nèi)角度數(shù)，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）連接DA和DB，證明△AED≌△BCD可得AD＝BD，再證明Rt△DAF≌Rt△DFB即可得結(jié)論．【解答】（1）解：在正五邊形中，∠ABC＝∠C＝540°÷5＝108°，∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，在四邊形BCDF中，∵∠ABC+∠C+∠DFB+∠CDF＝360°，∴∠CDF＝360°﹣∠ABC﹣∠C﹣∠DFB＝360°﹣108°﹣108°﹣90°＝54°；（2）證明：如圖，連接DB、AD，∵ABCDE是正五邊形，∴∠E＝∠C，DE＝AE＝DC＝BC，在△AED和△BCD中，，∴△AED≌△BCD（SAS），∴AD＝BD，∵DF⊥AB，∴∠DFA＝∠DFB＝90°，Rt△DAF和Rt△DFB，，∴Rt△DAF≌Rt△DFB（HL），∴AF＝BF．20．如圖，在14×7的長方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，小正方形的每一個(gè)頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，線段ED和三角形ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．（1）直接寫出S△ABC＝9；（2）請僅用無刻度直尺完成下列畫圖，保留畫圖痕跡（作圖結(jié)果用實(shí)線表示，作圖過程用虛線表示）；①畫出△ABC的高BH；②在線段ED右側(cè)找一點(diǎn)F，使得△ABC≌△EFD；③在②的條件下，在線段ED上找一點(diǎn)G，使∠DFG＝45°．【分析】（1）利用分割法求解即可；（2）①取格點(diǎn)T，連接BT交AC于點(diǎn)H，線段BH即為所求；②利用數(shù)形結(jié)合的思想，作出EF＝BC，DF＝AB即可；③取格點(diǎn)K，連接DK，KF交DE于點(diǎn)G即可（△KDF是等腰直角三角形）．解：（1）S△ABC＝3×7﹣×1×7﹣×2×4﹣×3×3＝21﹣3.5﹣4﹣4.5＝9；故答案為9；（2）①如圖，線段BH即為所求．②如圖，△EFD即為所求．③如圖，點(diǎn)G即為所求．21．如圖，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝6，在△ABC內(nèi)取一點(diǎn)O，使得AB＝OB，∠CAO＝15°，AM⊥BO，M為垂足．（1）求AM的長；（2）求證：AO＝CO．【分析】（1）求出∠ABO＝30°，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案；（2）過點(diǎn)O作OP⊥AC交AC于點(diǎn)P，證明△AMO≌△APO（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AM＝AP＝3，由等腰三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．解：（1）∵AB＝BO，∴∠BAO＝∠BOA，∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°，∵∠CAO＝15°，∴∠BAO＝∠BOA＝75°，∴∠ABO＝30°，∵AM⊥BO，∴AB＝2AM，∵AB＝6，∴AM＝3；（2）證明：過點(diǎn)O作OP⊥AC交AC于點(diǎn)P，∵∠BAO＝45°，∠BAM＝60°，∴∠MAO＝15°，∵∠OAC＝15°，∴∠MAO＝∠OAC，∵AM⊥BO，∴∠AMO＝∠APO，在△AMO和△APO中，，∴△AMO≌△APO（AAS），∴AM＝AP＝3，∵AC＝6，∴PC＝3，∴AP＝CP＝3，∵OP⊥AC，∴AO＝OC．22．現(xiàn)有一塊含30°角的直角三角板AOB，點(diǎn)N在其斜邊AB上，點(diǎn)M在其最短直角邊OA所在直線上．以MN為邊作如圖所示的等邊△MNP．（1）如圖1，當(dāng)M在線段OA上時(shí)，證明：AM﹣AN＝AP；（2）如圖2，當(dāng)M在射線OA上時(shí)，試探究AM、AN、AP三者之間的數(shù)量關(guān)系并給出證明．【分析】（1）在AM上截取AG＝AN，證明△MNG≌△PNA（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出MG＝AP，則可得出結(jié)論；（2）延長NA至H，使AH＝AM，證明△HMN≌△AMP（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出NH＝AP＝AN+AH＝AN+AM．則可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：在AM上截取AG＝AN，∵∠AOB＝60°，∴△ANG為等邊三角形，∴AN＝AG，∠AGN＝60°，∴∠AGN＝∠GMN+∠MNG＝60°，又∵△MNP是等邊三角形，∴∠NMP＝60°，∴∠NMG+∠AMP＝60°，∴∠MNG＝∠AMP，在△MNG和△PNA中，，∴△MNG≌△PNA（SAS），∴MG＝AP，∴AM＝MG+GA＝AP+AN．（2）解：AP＝AN+AM，證明如下：延長NA至H，使AH＝AM，∵∠OAB＝∠HAM＝60°，∴△AMH為等邊三角形，∴MH＝AM，∠HMA＝60°，在△HMN和△AMP中，，∴△HMN≌△AMP（SAS），∴NH＝AP＝AN+AH＝AN+AM．23．已知：等邊△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AE＝DC，CE，BD交于點(diǎn)F．（1）如圖1，求證：△ABD≌△BCE；（2）如圖2，過點(diǎn)E作EG⊥BD于G，請寫出CF，F(xiàn)G和BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AG并延長交BC于點(diǎn)H，若FG＝FC，求證：點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)．【分析】（1）利用SAS證明三角形全等即可；（2）如圖2中，結(jié)論：BD＝2GF+CF．利用全等三角形的性質(zhì)以及直角三角形30°的性質(zhì)解決問題即可；（3）如圖3中，連接CG，過點(diǎn)G作GM⊥AB于點(diǎn)M，GN⊥AC于點(diǎn)N．證明GM＝GN，推出AG平分∠BAC，可得結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠CBE＝60°，AB＝AC，∵AE＝CD，∴AB﹣AE＝AC﹣CD，即BE＝AD，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS）；（2）解：如圖2中，結(jié)論：BD＝2GF+CF．∵△ABD≌△BCE，∴BD＝EC，∠ABD＝∠BCE，∴∠BFE＝∠CBF+∠BCF+∠ABD＝∠ABC＝60°，∵EG⊥BD，∴∠EGF＝90°，∴∠GEF＝90°﹣60°＝30°，∴EF＝2FG，∴BD＝EC＝EF+CF＝2FG+CF；（3）證明：如圖3中，連接CG，過點(diǎn)G作GM⊥AB于點(diǎn)M，GN⊥AC于點(diǎn)N．∵FG＝FC，∴∠FCG＝∠FGC，∵∠EFG＝∠FGC+∠FCG＝60°，∴∠FGC＝∠FCG＝30°，∵∠EGF＝90°，∴∠CGE＝∠CGF+∠EGF＝120°，∴∠GEC＝∠GCE＝30°，∴GE＝GC，∵∠AMG＝∠ANG＝90°，∠MAN＝60°，∴∠MGN＝∠EGC＝120°，∴∠EGM＝∠CGN，在△GME和△GNC中，，∴△GME≌△GNC（AAS），∴GM＝GN，∵GM⊥AB，GN⊥AC，∴AG平分∠BAC，∵AB＝AC，∴A