北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理4.1二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2.掌握二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式的通項(xiàng).3.正確運(yùn)用二項(xiàng)展開(kāi)式展開(kāi)或化簡(jiǎn)某些二項(xiàng)式,運(yùn)用通項(xiàng)求某些特定項(xiàng)、二項(xiàng)式系數(shù)或項(xiàng)的系數(shù).4.通過(guò)二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí),培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).5.通過(guò)二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)二項(xiàng)式定理【問(wèn)題思考】1.根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則,我們?nèi)菀字?a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,如果稱(chēng)等式的右邊為左邊的展開(kāi)式,試回答下列問(wèn)題:(1)上述兩個(gè)等式的右邊各有幾項(xiàng)?每項(xiàng)的次數(shù)一樣嗎?都是幾次?提示:(a+b)2的展開(kāi)式有3項(xiàng),每項(xiàng)的次數(shù)都是2;(a+b)3的展開(kāi)式有4項(xiàng),每項(xiàng)的次數(shù)都是3.(2)你能用多項(xiàng)式相乘的規(guī)律推出(a+b)4的展開(kāi)式嗎?3.(1)若(x+1)n的展開(kāi)式共有11項(xiàng),則n等于(

).A.9 B.10 C.11 D.12(2)(1+2x)5的展開(kāi)式的第3項(xiàng)的系數(shù)為

,第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為

.

答案:(1)B

(2)40

10【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在它后面的括號(hào)里畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.××√×√合作探究釋疑解惑探究一二項(xiàng)式定理的正用與逆用(2)化簡(jiǎn):(x-2)5+5(x-2)4+10(x-2)3+10(x-2)2+5(x-2).分析:(1)可直接用二項(xiàng)式定理展開(kāi)或先對(duì)括號(hào)內(nèi)式子化簡(jiǎn)再展開(kāi).(2)分析式子的結(jié)構(gòu)形式,逆用二項(xiàng)式定理求解.二項(xiàng)式定理的雙向功能(1)正用:將(a+b)n展開(kāi),得到一個(gè)多項(xiàng)式,即二項(xiàng)式定理從左到右使用是展開(kāi).對(duì)較復(fù)雜的式子,可先化簡(jiǎn)再用二項(xiàng)式定理展開(kāi).(2)逆用:將展開(kāi)式合并成(a+b)n的形式,即二項(xiàng)式定理從右到左使用是合并,對(duì)于化簡(jiǎn)、求和、證明等問(wèn)題的求解,要熟悉公式的特點(diǎn)、項(xiàng)數(shù)、各項(xiàng)冪指數(shù)的規(guī)律以及各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律.探究二求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(1)n的值;(2)展開(kāi)式中含x3的項(xiàng),并指出該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).1.本例條件不變,求二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).

2.本例條件不變,求二項(xiàng)展開(kāi)式中的所有有理項(xiàng).

1.求(a+b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)常見(jiàn)題型及處理措施:(1)求第k項(xiàng),(2)求常數(shù)項(xiàng).對(duì)于常數(shù)項(xiàng),隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項(xiàng));(3)求有理項(xiàng).對(duì)于有理項(xiàng),一般是根據(jù)二項(xiàng)式通項(xiàng)所得到的項(xiàng),其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng).解這類(lèi)問(wèn)題必須合并二項(xiàng)式通項(xiàng)中同一字母的指數(shù),根據(jù)具體要求,令其屬于整數(shù),再根據(jù)數(shù)的整除性來(lái)求解;(4)求整式項(xiàng).求二項(xiàng)展開(kāi)式中的整式項(xiàng),其二項(xiàng)式通項(xiàng)中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù),求解方式與求有理項(xiàng)一致.提醒:在實(shí)際求解時(shí),若通項(xiàng)中含有根式,宜把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,以減少計(jì)算中的錯(cuò)誤.2.常見(jiàn)問(wèn)題:求常數(shù)項(xiàng)(字母的指數(shù)為零),求有理項(xiàng)(對(duì)應(yīng)項(xiàng)字母的指數(shù)為整數(shù)),求某一項(xiàng),注意某項(xiàng)的系數(shù)與某項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別.(1)求n的值;(2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù);(3)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).探究三二項(xiàng)式定理的靈活運(yùn)用【例3】

(1)(x2+x+y)5的展開(kāi)式中,x5y2的系數(shù)為(

).A.10 B.20 C.30 D.60答案:(1)C

(2)D

1.兩個(gè)二項(xiàng)展開(kāi)式乘積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題(1)分別對(duì)每個(gè)二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)它們各自項(xiàng)的特點(diǎn).(2)找到構(gòu)成展開(kāi)式中特定項(xiàng)的組成部分.(3)分別求解再相乘,求和即得.2.三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的展開(kāi)問(wèn)題應(yīng)根據(jù)式子的特點(diǎn),轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式來(lái)解決(有些題目也可轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問(wèn)題解決),轉(zhuǎn)化的方法通常為配方、因式分解、項(xiàng)與項(xiàng)結(jié)合,項(xiàng)與項(xiàng)結(jié)合時(shí)要注意合理性和簡(jiǎn)捷性.【變式訓(xùn)練3】

(1)在(x+y)(x-y)5的展開(kāi)式中,x3y3的系數(shù)是(

).A.-10 B.0 C.10 D.20(2)已知(1+ax)(1+x)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為5,則實(shí)數(shù)a等于(

).A.-4 B.-3 C.-2 D.-1答案:(1)B

(2)D

易錯(cuò)辨析以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯(cuò)解將二項(xiàng)展開(kāi)式的某項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)混淆了.求某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或某項(xiàng)的系數(shù),主要是利用二項(xiàng)式通項(xiàng)求出相應(yīng)的項(xiàng),但要注意某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別:二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念,前者僅與二項(xiàng)式的指數(shù)及項(xiàng)數(shù)