高三數(shù)學(xué)數(shù)列通項公式求解試卷及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+2\)，則\(a_5\)的值為（）A.7B.9C.11D.132.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2\)，則\(a_3\)等于（）A.5B.6C.7D.83.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_n=2a_{n-1}(n\geq2)\)，則\(a_4\)為（）A.8B.16C.32D.644.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=2\)，\(a_{n+1}=\frac{1}{1-a_n}\)，則\(a_3\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.-1C.2D.35.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式為\(a_n=3n-2\)，則\(a_{10}\)是（）A.28B.29C.30D.316.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_{n+1}-a_n=n\)，則\(a_2\)的值是（）A.1B.2C.3D.47.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+n+1\)，則\(a_2\)為（）A.2B.3C.4D.58.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=2^n-1\)，則\(a_4\)的值是（）A.8B.16C.32D.649.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=3a_n\)，則\(a_3\)等于（）A.3B.6C.9D.2710.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=3\)，\(a_{n+1}=a_n-2\)，則\(a_5\)的值為（）A.-1B.-3C.-5D.-7二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.以下哪些方法可以用于求數(shù)列通項公式（）A.累加法B.累乘法C.公式法D.構(gòu)造法2.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}-a_n=2\)，則（）A.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等差數(shù)列B.\(a_n=2n-1\)C.\(a_5=9\)D.前\(n\)項和\(S_n=n^2\)3.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2+n\)，則（）A.\(a_1=2\)B.\(a_2=4\)C.\(a_n=2n\)D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等差數(shù)列4.對于數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)，若\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n\)，則（）A.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等比數(shù)列B.\(a_n=2^{n-1}\)C.\(a_3=4\)D.前\(n\)項和\(S_n=2^n-1\)5.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+n\)，則（）A.\(a_2=2\)B.\(a_3=4\)C.可用累加法求\(a_n\)D.\(a_n=\frac{n(n-1)}{2}+1\)6.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式\(a_n=2n+1\)，則（）A.\(a_1=3\)B.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等差數(shù)列C.\(a_5=11\)D.前\(n\)項和\(S_n=n(n+2)\)7.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=2\)，\(a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n\)，則（）A.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等比數(shù)列B.\(a_n=2\times(\frac{1}{2})^{n-1}\)C.\(a_3=\frac{1}{2}\)D.前\(n\)項和\(S_n=4(1-\frac{1}{2^n})\)8.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_{n+1}-a_n=2n\)，則（）A.可用累加法求\(a_n\)B.\(a_2=3\)C.\(a_n=n^2-n+1\)D.\(a_4=13\)9.下列數(shù)列中，是等比數(shù)列的有（）A.\(1,2,4,8,\cdots\)B.\(1,-1,1,-1,\cdots\)C.\(2,2,2,2,\cdots\)D.\(1,0,1,0,\cdots\)10.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=3\)，\(a_{n+1}=a_n+3\)，則（）A.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等差數(shù)列B.\(a_n=3n\)C.\(a_4=12\)D.前\(n\)項和\(S_n=\frac{3n(n+1)}{2}\)三、判斷題（每題2分，共20分）1.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)，則\(a_n=S_n-S_{n-1}(n\geq2)\)一定成立。（）2.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}-a_n=d\)（\(d\)為常數(shù)），則\(\{a_n\}\)是等差數(shù)列。（）3.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\)（\(q\)為常數(shù)），則\(\{a_n\}\)是等比數(shù)列。（）4.累加法適用于\(a_{n+1}-a_n=f(n)\)形式的數(shù)列求通項。（）5.累乘法適用于\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)形式的數(shù)列求通項。（）6.已知\(a_1\)和\(a_{n+1}\)與\(a_n\)的關(guān)系，一定能求出數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式。（）7.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式\(a_n=n^2+1\)，則\(a_3=10\)。（）8.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等差數(shù)列，其公差為\(d\)，則\(a_n=a_1+(n-1)d\)。（）9.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等比數(shù)列，其公比為\(q\)，則\(a_n=a_1q^{n-1}\)。（）10.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+n\)，則\(a_3=4\)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}-a_n=3\)，求\(a_n\)。答案：由\(a_{n+1}-a_n=3\)可知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等差數(shù)列，公差\(d=3\)。根據(jù)等差數(shù)列通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，可得\(a_n=1+3(n-1)=3n-2\)。2.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=2^n-1\)，求\(a_n\)。答案：當(dāng)\(n=1\)時，\(a_1=S_1=2^1-1=1\)；當(dāng)\(n\geq2\)時，\(a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}\)。\(n=1\)時也滿足\(a_n=2^{n-1}\)，所以\(a_n=2^{n-1}\)。3.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=2\)，\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=2\)，求\(a_n\)。答案：因?yàn)閈(\frac{a_{n+1}}{a_n}=2\)，所以數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等比數(shù)列，公比\(q=2\)，首項\(a_1=2\)。根據(jù)等比數(shù)列通項公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)，可得\(a_n=2\times2^{n-1}=2^n\)。4.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+2n\)，求\(a_n\)。答案：用累加法，\(a_2-a_1=2\times1\)，\(a_3-a_2=2\times2\)，\(\cdots\)，\(a_n-a_{n-1}=2(n-1)\)，將這些式子相加得\(a_n-a_1=2(1+2+\cdots+(n-1))\)，由等差數(shù)列求和公式可得\(a_n-a_1=n(n-1)\)，所以\(a_n=n^2-n+1\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論在什么情況下使用累加法求數(shù)列通項公式，以及使用過程中的注意事項。答案：當(dāng)數(shù)列滿足\(a_{n+1}-a_n=f(n)\)，\(f(n)\)可求和時用累加法。注意事項：要準(zhǔn)確寫出從\(n=1\)到\(n=k\)的\(k\)個等式，且相加時要注意消去中間項，同時要驗(yàn)證\(n=1\)時通項公式是否成立。2.等比數(shù)列通項公式推導(dǎo)過程中運(yùn)用了什么數(shù)學(xué)思想，這種思想在其他數(shù)學(xué)問題中有哪些應(yīng)用？答案：推導(dǎo)等比數(shù)列通項公式運(yùn)用了累乘法思想。這種思想在求形如\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)的數(shù)列通項時常用。在一些積分、概率等問題中，通過逐步相乘的方式構(gòu)建等式關(guān)系來求解。3.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)，求\(a_n\)時為什么要分\(n=1\)和\(n\geq2\)兩種情況討論？答案：當(dāng)\(n=1\)時，\(a_1=S_1\)。而\(n\geq2\)時\(a_n=S_n-S_{n-1}\)，這是基于\(S_n\)的定義。因?yàn)閈(S_0\)無定義，且\(n=1\)時\(S_{n-1}=S_0\)，直接用\(a_n=S_n-S_{n-1}\)可能導(dǎo)致錯誤，所以要分情況討論。4.舉例說明構(gòu)造法在求數(shù)列通項公式中的應(yīng)用，并闡述構(gòu)造的思路。答案：例如數(shù)列\(zhòng)(a_{n+1}=2a_n+1\)，可構(gòu)造\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)。思路是根據(jù)已知遞推式，通過適當(dāng)變形，構(gòu)造出一個新的等差或等比數(shù)列，利用新數(shù)列通項公式求出原數(shù)列通項。這里通過湊常