北師大版9年級數學上冊期中試卷考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題20分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計14分）1、如果關于的一元二次方程有兩個實數根，那么的取值范圍是（

）A． B．且 C．且 D．2、如圖，將圖1中的菱形紙片沿對角線剪成4個直角三角形，拼成如圖2的四邊形（相鄰紙片之間不重疊，無縫隙）．若四邊形的面積為13，中間空白處的四邊形的面積為1，直角三角形的兩條直角邊分別為和，則（

）A．12 B．13 C．24 D．253、如圖，點E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點．則下列說法：①若，則四邊形EFGH為矩形；②若，則四邊形EFGH為菱形；③若AC與BD互相垂直且相等，則四邊形EFGH是正方形；④若四邊形EFGH是平行四邊形，則AC與BD互相平分．其中正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．44、若對于任意實數a，b，c，d，定義

＝ad－bc，按照定義，若＝0，則x的值為（

）A． B． C．3 D．5、關于x的一元二次方程根的情況，下列說法正確的是（

）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．無實數根 D．無法確定6、如圖，已知△ABC，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，小紅按如下步驟作圖：①分別以A、C為圓心，以大于AC的長為半徑在AC兩邊作弧，交于兩點M、N；②連接MN，分別交AB、AC于點D、O；③過C作CEAB交MN于點E，連接AE、CD．則四邊形ADCE的周長為（）A．10 B．20 C．12 D．247、若菱形兩條對角線的長度是方程的兩根，則該菱形的邊長為（

）A． B．4 C． D．5二、多選題（3小題，每小題2分，共計6分）1、下列命題是真命題的是（）A．過線段中點的直線是線段的垂直平分線B．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形C．三角形的中位線將三角形的面積分成1：2兩部分D．對角線互相垂直的矩形是正方形2、下列方程一定不是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．3、如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，以下說法正確的是（）A．∠ABC=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD第Ⅱ卷（非選擇題80分）三、填空題（10小題，每小題2分，共計20分）1、有4根細木棒，長度分別為2cm、3cm、4cm、5cm，從中任選3根，恰好能搭成一個三角形的概率是__________．2、若關于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一個根是2，則m+n＝_____．3、如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點E、F分別是邊AB、BC上的動點，且EF＝4，點G是EF的中點，AG、CG，則四邊形AGCD面積的最小值為_______．4、如圖，在菱形中，，，，分別是邊，上的動點，連接，，，分別為，的中點，連接，則的最小值為________．5、關于的一元二次方程有一個根是，則的值是_______．6、對任意實數a，b，定義一種運算：，若，則x的值為_________．7、某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情，為了擴大銷售量，盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，經調查發(fā)現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件．若商場平均每天銷售這種襯衫的盈利要達到1200元，則每件襯衫應降價多少元？設每件襯衫降價x元，由題意列得方程______．8、如圖，在平面直角坐標系中，長方形OABC的邊OA在x軸上，OC在y軸上，OA=1，OC=2，對角線AC的垂直平分線交AB于點E，交AC于點D．若y軸上有一點P（不與點C重合），能使△AEP是以為AE為腰的等腰三角形，則點P的坐標為____．9、如圖，將邊長為4的正方形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移得到△A′B′C′，若兩個三角形重疊部分的面積為3，則它移動的距離AA′等于___；移動的距離AA′等于___時，兩個三角形重疊部分面積最大．10、一菱形的對角線長分別為24cm和10cm，則此菱形的周長為________，面積為________．四、解答題（6小題，每小題10分，共計60分）1、在菱形中，，點在的延長線上，點是直線上的動點，連接，將線段繞點逆時針得到線段，連接，.（1）如圖1，當點與點重合時，請直接寫出線段與的數量關系；（2）如圖2，當點在上時，線段，，之間有怎樣的數量關系？請寫出結論并給出證明；（3）當點在直線上時，若，，，請直接寫出線段的長.2、如圖，在?ABCD中，各內角的平分線相交于點E，F，G，H．（1）求證：四邊形EFGH是矩形；（2）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四邊形EFGH的面積．3、如圖，在矩形ABCD中，AB＝15，E是BC上的一點，將△ABE沿著AE折疊，點B剛好落在CD邊上點G處；點F在DG上，將△ADF沿著AF折疊，點D剛好落在AG上點H處，且CE＝，（1）求AD的長；（2）求FG的長4、定義：有一組對邊相等且這一組對邊所在直線互相垂直的凸四邊形叫做“等垂四邊形”．（1）如圖①，四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求證：四邊形BEGD是“等垂四邊形”；（2）如圖②，四邊形ABCD是“等垂四邊形”，AD≠BC，連接BD，點E，F，G分別是AD，BD，BC的中點，連接EG，FG，EF．試判定△EFG的形狀，并證明你的結論；（3）如圖③，四邊形ABCD是“等垂四邊形”，AD＝4，BC＝8，請直接寫出邊AB長的最小值．

5、已知：如圖所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，當其中一點到達終點后，另外一點也隨之停止運動．（1）如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于4cm2？（2）在（1）中，△PQB的面積能否等于7cm2？請說明理由．6、已知：如圖，平行四邊形ABCD，對角線AC與BD相交于點E，點G為AD的中點，連接CG，CG的延長線交BA的延長線于點F，連接FD．（1）求證：AB=AF；（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判斷四邊形ACDF的形狀，并證明你的結論．-參考答案-一、單選題1、C【解析】【分析】根據關于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有兩個實數根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有兩個實數根，∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解得k≤且k≠0，故選：C．【考點】本題主要考查根的判別式與一元二次方程的定義，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當△＜0時，方程無實數根．上面的結論反過來也成立．2、D【解析】【分析】根據菱形的性質可得對角線互相垂直平分，進而可得4個直角三角形全等，結合已知條件和勾股定理求得，進而根據面積差以及三角形面積公式求得，最后根據完全平方公式即可求得．【詳解】菱形的對角線互相垂直平分，個直角三角形全等；，，，四邊形是正方形，又正方形的面積為13，正方形的邊長為，根據勾股定理，則，中間空白處的四邊形的面積為1，個直角三角形的面積為，，，，．故選D．【考點】本題考查了正方形的性質與判定，菱形的性質，勾股定理，完全平方公式，求得是解題的關鍵．3、A【解析】【分析】先根據三角形中位線定理證明四邊形EFGH是平行四邊形，然后根據菱形，矩形，正方形的判定進行逐一判斷即可．【詳解】解：∵點E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，∴EH是△ABD的中位線，∴，，同理，∴EH=GF，GH=EF，∴四邊形EFGH是平行四邊形，①若AC=BD，則EH=GF=GH=EF，則四邊形EFGH是菱形，故①錯誤；②若AC⊥BD，則EF⊥EH，∴平行四邊形EFGH是矩形，故②錯誤；③若AC與BD互相垂直且相等，結合①②的判斷可知四邊形EFGH是正方形，故③正確；④若四邊形EFGH是平行四邊形，并不能推出AC與BD互相平分，故④錯誤，故選A．【考點】本題主要考查了中點四邊形，三角形中位線定理，熟知中點四邊形的知識是解題的關鍵．4、D【解析】【分析】根據新定義可得方程（x+1）（2x-3）=x（x-1），然后再整理可得x2=3，再利用直接開平方法解方程即可．【詳解】解：由題意得：（x+1）（2x-3）=x（x-1），整理得：x2=3，兩邊直接開平方得：x=±，故選：D．【考點】此題主要考查了新定義，一元二次方程的解法--直接開平方法，關鍵是正確理解題意，列出方程．5、A【解析】【分析】先計算判別式，再進行配方得到△=（k-1）2+4，然后根據非負數的性質得到△＞0，再利用判別式的意義即可得到方程總有兩個不相等的實數根．【詳解】△=(k-3)2-4(1-k)=k2-6k+9-4+4k=k2-2k+5=(k-1)2+4，∴（k-1）2+4＞0，即△＞0，∴方程總有兩個不相等的實數根．故選：A．【考點】本題考查的是根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；②當△=0時，方程有兩個相等的實數根；③當△＜0時，方程無實數根．上面的結論反過來也成立．6、A【解析】【分析】根據題意得：MN是AC的垂直平分線，即可得AD=CD，AE=CE，然后由CEAB，可證得CD∥AE，繼而證得四邊形ADCE是菱形，再根據勾股定理求出AD，進而求出菱形ADCE的周長．【詳解】：∵分別以A、C為圓心，以大于AC的長為半徑在AC兩邊作弧，交于兩點M、N，∴MN是AC的垂直平分線，∴AD=CD，AE=CE，∴∠CAD=∠ACD，∠CAE=∠ACE，∵CEAB，∴∠CAD=∠ACE，∴∠ACD=∠CAE，∴CDAE，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴四邊形ADCE是菱形；∴OA=OC=AC=2，OD=OE，AC⊥DE，∵∠ACB=90°，∴DEBC，∴OD是△ABC的中位線，∴OD=BC=×3=1.5，∴AD==2.5，∴菱形ADCE的周長=4AD=10．故選A．【考點】本題考查了作圖-復雜作圖，線段垂直平分線的性質，菱形的判定與性質，三角形中位線的性質以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．7、A【解析】【分析】先求出方程的解，即可得出AC＝4，BD＝2，根據菱形的性質求出AO和OD，根據勾股定理求出AD即可．【詳解】解：解方程x2?6x＋8＝0得：x＝4或2，即AC＝4，BD＝2，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，由勾股定理得：AD＝＝，故選：A．【考點】本題考查了解一元二次方程和菱形的性質，能求出方程的解是解此題的關鍵．二、多選題1、BD【解析】【分析】根據線段垂直平分線的定義，矩形的判定方法，三角形中位線的性質，以及正方形的判定方法逐項分析即可【詳解】解：A.過線段中點且與這條線段垂直的直線是線段的垂直平分線，故原說法錯誤；B.對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，正確；C.如圖，DE是△ABC的中位線，作AM⊥BC于M，交DE于N，∵DE是△ABC的中位線，∴DE=BC，AN=AM，∵S△ADE==，S△ABC=，∴S△ADE=S△ABC，∴S△ADE=S四邊形BCED，∴三角形的中位線將三角形的面積分成1：3兩部分，故原說法錯誤；D.對角線互相垂直的矩形是正方形，正確；故選BD．【考點】此題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的定義、性質定理及判定定理．2、AB【解析】【分析】根據只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程進行分析即可．【詳解】解：A、分母含有未知數，一定不是一元二次方程，故本選項符合題意；B、含有兩個未知數，一定不是一元二次方程，故本選項符合題意；C、當a=0時，不是一元二次方程，當a≠0時，是一元二次方程，故本選項不符合題意；D、是一元二次方程，故本選項不符合題意．故選：AB．【考點】本題考查的是一元二次方程的定義，熟知只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程是解答此題的關鍵．3、ABC【解析】【分析】矩形的性質：矩形的四個角都是直角，對邊平行且相等，對角線相等且互相平分，根據矩形的性質逐一判斷即可.【詳解】解：四邊形ABCD為矩形，故符合題意，而不一定成立，故不符合題意；故選：．【考點】本題考查的是矩形的性質，熟悉矩形的性質是解題的關鍵．三、填空題1、【解析】【分析】根據題意，使用列舉法可得從有4根細木棒中任取3根的總共情況數目以及能搭成一個三角形的情況數目，根據概率的計算方法，計算可得答案．【詳解】根據題意，從有4根細木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4種取法，而能搭成一個三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三種，得P=.故其概率為：．【考點】本題考查概率的計算方法，使用列舉法解題時，注意按一定順序，做到不重不漏．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．2、﹣2【解析】【分析】根據一元二次方程的解的定義把x＝2代入得到得然后利用整體代入的方法進行計算．【詳解】∵2是關于x的一元二次方程的一個根，∴，∴n＋m＝?2，故答案為?2．【考點】本題考查了一元二次方程的解，掌握方程的解的定義是解決本題的關鍵.3、38【解析】【分析】根據題目要求，要使四邊形AGCD的面積最小，因為的面積固定，只需使的面積最小即可，即的高最小即可，又在中，，則BG=2，高的最小值為點B到AC的距離減去BG的長度，則可求解．【詳解】依題意，在中，為EF的中點，，，點G在以B為圓心，2為半徑的圓與長方形重合的弧上運動，,要使四邊形AGCD的面積最小，則B所在直線垂直線段AC，又，點B到AC的距離為，此時點G到AC的距離為，故的最小面積為，，故答案為：38．【考點】本題考查了動點問題中四邊形的最小面積問題，利用勾股定理，直角三角形中線的性質，三角形等積法求高等性質定理進行求解，對于相關性質定理的熟練運用是解題的關鍵．4、【解析】【分析】連結AF，利用中位線的性質GH=AF，要使GH最小，只要AF最小，由點F在BC，當AF⊥BC時，AF最小，利用菱形性質求出，由確定△ABF為等腰直角三角形，得出AF=BF，由勾股定理得：求出AF即可．【詳解】連結AF，∵，分別為，的中點，∴GH∥AF，且GH=AF，要使GH最小，只要AF最小，由點F在BC，當AF⊥BC時，AF最小，在菱形中，，∴，在Rt△ABF中，，∴△ABF為等腰直角三角形，∴AF=BF，由勾股定理得：，∴，∴，GH最小=AF=．故答案為：．【考點】本題考查動點圖形中的中位線，菱形的性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理應用問題，掌握中位線的性質，菱形性質，等腰直角三角形的性質，點F在BC上，AF最短，點A到BC直線的距離最短時由點A向直線BC作垂線，垂線段AF為最短是解題關鍵．5、1【解析】【分析】把方程的根代入原方程得到，解得k的值，再根據一元二次方程成立滿足的條件進行取舍即可．【詳解】∵方程是一元二次方程，∴k+2≠0，即k≠-2；又0是該方程的一個根，∴，解得，，，由于k≠-2，所以，k=1．故答案為：1．【考點】本題考查了一元二次方程的解．解此類題時，要擅于觀察已知的是哪些條件，從而有針對性的選擇解題方法．同時要注意一元二次方程成立必須滿足的條件，這是容易忽略的地方．6、2或-3##-3或2【解析】【分析】根據題意得到關于x的一元二次方程，解方程即可．【詳解】解：∵，∴，∴，解得或，故答案為：2或-3．【考點】本題主要考查了新定義下的實數運算，解一元二次方程，正確理解題意是解題的關鍵．7、【解析】【分析】設每件襯衫降價x元，根據每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件可得銷售量為，則每件襯衫的利潤為，根據銷售量乘以每件襯衫的利潤等于1200元，列出一元二次方程即可【詳解】解：設每件襯衫降價x元，根據題意得，故答案為：【考點】本題考查了一元二次方程的應用，根據題意列出一元二次方程是解題的關鍵．8、，或【解析】【分析】設AE=m，根據勾股定理求出m的值，得到點E（1，），設點P坐標為（0，y），根據勾股定理列出方程，即可得到答案．【詳解】∵對角線AC的垂直平分線交AB于點E，∴AE=CE，∵OA=1，OC=2，∴AB=OC=2，BC=OA=1，∴設AE=m，則BE=2-m，CE=m，∴在Rt?BCE中，BE2+BC2=CE2，即：（2-m）2+12=m2，解得：m=，∴E（1，），設點P坐標為（0，y），∵△AEP是以為AE為腰的等腰三角形，當AP=AE，則(1-0)2+(0-y)2=(1-1)2+(0-)2，解得：y=，當EP=AE，則(1-0)2+(-y)2=(1-1)2+(0-)2，解得：y=，∴點P的坐標為，，，故答案是：，，．【考點】本題主要考查等腰三角形的定義，勾股定理，矩形的性質，垂直平分線的性質，掌握勾股定理，列出方程，是解題的關鍵．9、

1cm或3cm##3cm或1cm

2cm【解析】【分析】如圖，設交于交于證明四邊形是平行四邊形，證明是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，設cm，則再利用面積公式建立方程，解方程即可，同時利用配方法求解面積最大值時的平移距離.【詳解】解：如圖，設交于交于由平移的性質可得：四邊形是平行四邊形，由正方形可得：是等腰直角三角形，同理：也是等腰直角三角形，設cm，則解得：cm或cm重疊部分的面積為：當時，重疊部分的面積最大，最大面積為4cm2所以當cm時，重疊部分的面積最大.故答案為：1cm或3cm；2cm【考點】本題考查的是正方形的性質，平行四邊形的判定，等腰直角三角形的判定與性質，一元二次方程的解法，配方法的應用，平移的性質，熟悉以上基礎知識是解題的關鍵.10、

52cm

120cm2【解析】【分析】根據菱形對角線互相平分且垂直得到邊長，從而計算出周長，再根據面積公式計算出面積．【詳解】解：∵菱形的對角線長分別為24cm和10cm，∴對角線的一半長分別為12cm和5cm，∴菱形的邊長為：=13cm，∴菱形的周長為：13×4=52cm，面積為：×10×24=120cm2．故答案為：52cm，120cm2．【考點】此題主要考查學生對菱形的性質的理解及運用，屬于基礎題，關鍵是掌握菱形的面積等于對角線乘積的一半．四、解答題1、（1）AM=DF；（2），證明見解析；（3）1或5【解析】【分析】（1）可通過證明，即可利用全等三角形的性質得出結論；（2）通過作輔助線，構造等邊三角形DMN，再通過全等證明出DF=EN，利用等邊三角形得出DN=DM，DA=DB，求出AM=BN，即可證明題中三線段之間的關系；（3）分別討論當E點在線段BD和DB的延長線上兩種情況，利用全等以及等邊三角形的相關結論即可求出DF的長．【詳解】解：（1）AM=DF；理由：∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，可得△BCD和△ABD都是等邊三角形；∴BD=BA，∠DBA=60°，又由旋轉可知ME=MF，∠EMF=60°，得△MEF也是等邊三角形，∴EF=EM，∠MEF=60°，∴∠MEA=∠FED，可證：；∴AM=DF．（2）結論：證明：過點作交延長線于.∵四邊形是菱形∴，∴∵∴∴是等邊三角形∴，∵∴，∴是等邊三角形∴∵，∴是等邊三角形∴，，∴∴∴即：∵，∴∴.（3）1或5當E點在線段BD上時，由（2）知，，∵AB=6，∴BD=AD=6，∵BD=2BE，AD=3AM，∴BE=3,AM=2,∴DF=5；當E點在線段DB的延長線上時，如圖所示：作MN∥AB與DE交于點N，∵∠MDN=∠DAB=60°，利用平行線的性質可得出∠DMN=60°，則△DMN是等邊三角形，∴MN=MD，又由∠DMN=∠EMF，∴∠EMN=∠FMD,∵ME=MF，∴，∴DF=EN∵EN=EB-BN=BD-AM=3-AD=3-2=1；綜上可得：DF的長為1或5．【考點】本題涉及到了幾何圖形的動點問題，綜合考查了等邊三角形的判定與性質、菱形的性質、全等三角形的判定與性質、旋轉的性質等內容，要求學生理解相關概念與性質，能利用相關知識進行邊角之間的轉化，本題難點在于作輔助線，考查了學生的綜合分析的能力，對學生推理分析能力有較高要求．2、（1）證明見解析；（2）矩形EFGH的面積=．【解析】【分析】（1）根據角平分線的定義以及平行四邊形的性質，即可得出∠AGB=90°，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，進而判定四邊形EFGH是矩形；（2）根據含30°角的直角三角形的性質，得到BGAB=3，AG=3CE，BFBC=2，CF=2，進而得出EF和GF的長，可得四邊形EFGH的面積．【詳解】（1）∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，∴∠GAB∠BAD，∠GBA∠ABC．∵?ABCD中，∠DAB+∠ABC=180°，∴∠GAB+∠GBA（∠DAB+∠ABC）=90°，即∠AGB=90°，同理可得：∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，∴四邊形EFGH是矩形；（2）依題意得：∠BAG∠BAD=30°．∵AB=6，∴BGAB=3，AG=3CE．∵BC=4，∠BCF∠BCD=30°，∴BFBC=2，CF=2，∴EF=3，GF=3﹣2=1，∴矩形EFGH的面積=EF×GF．【考點】本題考查了平行四邊形的性質，矩形的判定以及全等三角形的判定與性質的運用，解題時注意：有三個角是直角的四邊形是矩形．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．3、（1）AD=9；（2）FG=7.5【解析】【分析】（1）設CE，則BE，在Rt△CEG和Rt△AGD中，分別求得CG，GD=，再利用CG+GD=CD=15，構造方程求得的值，即可求解；（1）設，利用，構造方程求得的值，即可求解．【詳解】（1）∵CE＝，∴設CE，則BE，∴BC=AD=CE+BE，∵△AGE是由△ABE翻折得到的，∴GE=BE，AG=AB=15，在Rt△CEG中，由勾股定理可知：CG=，在Rt△AGD中，由勾股定理可知：GD=，∵CG+GD=CD=15，∴，解得：，AD；（2）由（1）知：CG=3，GD=12，設，∵△AHF是由△ADF翻折得到的，∴，∵，即，∴，解得：，即DF，∴．【考點】本題考查了矩形的性質，翻折變換，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題．4、（1）證明見解析；（2）△EFG是等腰直角三角形；證明見解析；（3）AB最小值為．【解析】【分析】延長BE，DG交于點H，先證△ABE≌△ADG，得BE=DG，∠ABE=∠ADG．結合∠ABD+∠ADB=90°，知∠ABE+∠EBD+∠ADB=∠DBE+∠ADB+∠ADG=90°，即可得∠BHD=90°．從而得證；（2）延長BA，CD交于點H，由四邊形ABCD是“等垂四邊形”，AD≠BC知AB⊥CD，AB=CD，從而得∠HBC+∠HCB=90°，根據三個中點知EF＝AB，GF＝CD，EF∥AB，GF∥DC，據此得∠BGF=∠C，EFD=∠HBD，EF=GF．由∠EFG=∠EFD+∠DFG=∠ABD+∠DBC+∠FGB=∠ABD+∠DBC+∠C=∠HBC+∠HCB=90°可得答案；（3）延長BA，CD交于點H，分別取AD，BC的中點E，F．連接HE，EF，HF，由EF≥HF?HE＝BC?AD＝4?2＝2然后結合（2）可知AB＝EF≥2可得答案．【詳解】解：（1）如圖①，延長BE，DG交于點H，∵四邊形ABCD與四邊形AEFG都為正方形，∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°．∴∠BAE=∠DAG．∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴BE=DG，∠ABE=∠ADG．∵∠ABD+∠ADB=90°，∴∠ABE+∠EBD+∠ADB=∠DBE+∠ADB+∠ADG=90°，即∠EBD+∠BDG=90°，∴∠BHD=90°．∴BE⊥DG．又∵BE=DG，∴四邊形BEGD是“等垂四邊形”；（2）△EFG是等腰直角三角形．理由如下：如圖②，延長BA，CD交于點H，∵四邊形ABCD是“等垂四邊形”，AD≠BC，∴AB⊥CD，AB=CD，∴∠HBC+∠HCB=90°∵點E，F，G分別是AD，BC，B