2018全國高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷及解析一、試卷整體分析：符合高考規(guī)律，覆蓋主干內(nèi)容2018年全國高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（以下簡稱“試卷”）由多省教育研究院聯(lián)合命制，定位為高考模擬標桿卷，旨在貼合2018年高考《考試大綱》要求，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與綜合能力。試卷整體呈現(xiàn)以下特征：1.難度分布：梯度合理，區(qū)分度明顯試卷難度符合高考“易中難比例約3:5:2”的規(guī)律：容易題（30%）：聚焦基礎(chǔ)概念與公式應(yīng)用，如集合運算、函數(shù)定義域、三角函數(shù)基本關(guān)系等，確?；A(chǔ)扎實的學(xué)生能快速得分；中等題（50%）：強調(diào)知識點的綜合應(yīng)用，如函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)結(jié)合、立體幾何三視圖與體積計算、解析幾何離心率等，考查學(xué)生的邏輯推理與運算能力；難題（20%）：突出創(chuàng)新意識與深度思維，如導(dǎo)數(shù)的分類討論、數(shù)列與不等式證明、解析幾何的定點定值問題，區(qū)分頂尖學(xué)生與普通學(xué)生的能力邊界。2.知識點覆蓋：主干突出，兼顧全面試卷嚴格遵循新課標要求，覆蓋高中數(shù)學(xué)六大主干模塊，占比分別為：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（25%）：重點考查函數(shù)單調(diào)性、極值、最值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義及綜合應(yīng)用；解析幾何（18%）：以橢圓、雙曲線、拋物線為核心，考查離心率、軌跡方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；立體幾何（15%）：側(cè)重三視圖、線面平行/垂直判定、體積與外接球計算；三角函數(shù)與解三角形（12%）：考查三角恒等變換、正弦/余弦定理、三角函數(shù)圖像與性質(zhì)；數(shù)列（12%）：聚焦等差數(shù)列、等比數(shù)列通項與求和，遞推關(guān)系與不等式證明；概率統(tǒng)計（10%）：結(jié)合實際背景，考查分層抽樣、超幾何分布、期望與方差；其他（8%）：包括集合、簡易邏輯、向量、復(fù)數(shù)等基礎(chǔ)內(nèi)容。3.能力考查：聚焦核心素養(yǎng)，體現(xiàn)高考導(dǎo)向試卷以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為考查重點，具體體現(xiàn)在：邏輯推理：導(dǎo)數(shù)分類討論、數(shù)列遞推證明、立體幾何定理應(yīng)用等題目，要求學(xué)生通過嚴謹推理得出結(jié)論；數(shù)學(xué)建模：概率統(tǒng)計題以“垃圾分類”“產(chǎn)品銷售”“體質(zhì)健康調(diào)查”為背景，考查將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力；直觀想象：立體幾何三視圖、解析幾何圖像分析、函數(shù)圖像與導(dǎo)數(shù)關(guān)系等題目，要求學(xué)生通過圖形感知數(shù)量關(guān)系；運算求解：三角函數(shù)化簡、導(dǎo)數(shù)計算、解析幾何聯(lián)立方程等題目，考查學(xué)生的運算準確性與速度；數(shù)據(jù)分析：概率統(tǒng)計的分布列、期望計算，要求學(xué)生對數(shù)據(jù)進行整理與分析；數(shù)學(xué)抽象：函數(shù)概念、數(shù)列通項公式、圓錐曲線定義等題目，考查學(xué)生抽象概括能力。二、典型題型詳解：拆解命題邏輯，規(guī)避解題誤區(qū)1.選擇題：聚焦基礎(chǔ)，突出易錯點選擇題共12題，每題5分，重點考查基礎(chǔ)知識點的理解與應(yīng)用，以下為2道典型題解析：例1（集合與簡易邏輯）：設(shè)集合\(A=\{x\midx^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x\midx^2-ax+a-1=0\}\)，若\(A\cupB=A\)，則實數(shù)\(a\)的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2解析：第一步，解集合\(A\)：\(x^2-3x+2=0\)因式分解得\((x-1)(x-2)=0\)，故\(A=\{1,2\}\)；第二步，分析\(A\cupB=A\)的含義：\(B\subseteqA\)（\(B\)是\(A\)的子集）；第三步，解集合\(B\)：\(x^2-ax+a-1=0\)因式分解得\((x-1)(x-(a-1))=0\)，故\(B=\{1,a-1\}\)；第四步，由\(B\subseteqA\)得：\(a-1=1\)或\(a-1=2\)，解得\(a=2\)或\(a=3\)。易錯點提示：忽略\(B\)為空集的情況？本題中方程\(x^2-ax+a-1=0\)的判別式\(\Delta=(a-2)^2\geq0\)，故\(B\)不可能為空集，無需額外考慮。答案：C例2（函數(shù)單調(diào)性）：函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.\((-\infty,-1)\)B.\((-1,1)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)解析：第一步，求導(dǎo)：\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)；第二步，令\(f'(x)<0\)，解得\(-1<x<1\)；第三步，結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是\((-1,1)\)。易錯點提示：單調(diào)區(qū)間不能用“并集”連接（如選項D）。函數(shù)在\((-\infty,-1)\)上單調(diào)遞增，在\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增，中間\((-1,1)\)單調(diào)遞減，故需用“和”連接，而非“并集”。答案：B2.填空題：強調(diào)技巧，考查靈活應(yīng)用填空題共4題，每題5分，重點考查解題技巧與靈活應(yīng)用能力，以下為2道典型題解析：例3（數(shù)列遞推）：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，則\(a_5=\_\_\_\_\)。解析：方法一（遞推計算）：\(a_2=2\times1+1=3\)，\(a_3=2\times3+1=7\)，\(a_4=2\times7+1=15\)，\(a_5=2\times15+1=31\)；方法二（構(gòu)造等比數(shù)列）：將遞推式變形為\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)，故\(\{a_n+1\}\)是以\(a_1+1=2\)為首項、2為公比的等比數(shù)列，通項公式為\(a_n+1=2^n\)，故\(a_n=2^n-1\)，\(a_5=2^5-1=31\)。技巧提示：對于\(a_{n+1}=pa_n+q\)（\(p\neq1\)）型遞推式，通常構(gòu)造等比數(shù)列，兩邊加\(\frac{q}{p-1}\)（本題中\(zhòng)(q=1\)，\(p=2\)，故加1）。答案：31例4（立體幾何外接球）：已知正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為\(\sqrt{3}\)，則其外接球的體積為\(\_\_\_\_\)。解析：第一步，求底面正三角形的外接圓半徑\(r\)：正三角形邊長為\(a\)，外接圓半徑\(r=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)；第二步，求正三棱錐的高\(h\)：正三棱錐的高、側(cè)棱、底面外接圓半徑構(gòu)成直角三角形，故\(h=\sqrt{側(cè)棱^2-r^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2-(\frac{2\sqrt{3}}{3})^2}=\sqrt{3-\frac{4}{3}}=\sqrt{\frac{5}{3}}=\frac{\sqrt{15}}{3}\)；第三步，求外接球半徑\(R\)：正三棱錐的外接球心在高線上，設(shè)球心到頂點的距離為\(R\)，則球心到底面的距離為\(|h-R|\)，由勾股定理得\(R^2=r^2+(h-R)^2\)，代入得\(R^2=(\frac{2\sqrt{3}}{3})^2+(\frac{\sqrt{15}}{3}-R)^2\)，解得\(R=\frac{3\sqrt{15}}{10}\)；第四步，求體積：\(V=\frac{4}{3}\piR^3=\frac{4}{3}\pi(\frac{3\sqrt{15}}{10})^3=\frac{4}{3}\pi\times\frac{27\times15\sqrt{15}}{1000}=\frac{9\sqrt{15}}{50}\pi\)。易錯點提示：混淆底面正三角形的“外接圓半徑”與“內(nèi)切圓半徑”（內(nèi)切圓半徑為\(\frac{a}{2\sqrt{3}}\)，外接圓半徑為\(\frac{a}{\sqrt{3}}\)）；外接球心位置判斷錯誤（正三棱錐的外接球心在高線上，而非底面中心）。答案：\(\frac{9\sqrt{15}}{50}\pi\)3.解答題：綜合應(yīng)用，體現(xiàn)核心素養(yǎng)解答題共6題，共70分，重點考查綜合應(yīng)用能力與核心素養(yǎng)，以下為2道典型題解析：例5（三角函數(shù)與解三角形）：在\(\triangleABC\)中，角\(A、B、C\)所對的邊分別為\(a、b、c\)，已知\(\cosA=\frac{3}{5}\)，\(b=5\)，\(c=4\)，求\(a\)和\(\sinB\)。解析：求\(a\)：由余弦定理得\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA=25+16-2\times5\times4\times\frac{3}{5}=41-24=17\)，故\(a=\sqrt{17}\)；求\(\sinB\)：由\(\cosA=\frac{3}{5}\)得\(\sinA=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5}\)，再由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}\)得\(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{5\times\frac{4}{5}}{\sqrt{17}}=\frac{4\sqrt{17}}{17}\)。思路提示：余弦定理用于“已知兩邊及夾角求第三邊”；正弦定理用于“已知兩邊及其中一邊的對角求另一邊的對角”，注意角的范圍（\(B\in(0,\pi)\)）。答案：\(a=\sqrt{17}\)，\(\sinB=\frac{4\sqrt{17}}{17}\)例6（導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用）：已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，求：（1）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)的極值；（3）函數(shù)在區(qū)間\([-1,3]\)上的最值。解析：（1）求單調(diào)區(qū)間：求導(dǎo)得\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)；令\(f'(x)>0\)，解得\(x<0\)或\(x>2\)，故單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)；令\(f'(x)<0\)，解得\(0<x<2\)，故單調(diào)遞減區(qū)間為\((0,2)\)。（2）求極值：當(dāng)\(x=0\)時，\(f(0)=2\)，為極大值；當(dāng)\(x=2\)時，\(f(2)=8-12+2=-2\)，為極小值。（3）求區(qū)間\([-1,3]\)上的最值：計算區(qū)間端點值：\(f(-1)=-1-3+2=-2\)，\(f(3)=27-27+2=2\)；結(jié)合極值：極大值\(f(0)=2\)，極小值\(f(2)=-2\)；故最大值為\(2\)（在\(x=0\)和\(x=3\)處取得），最小值為\(-2\)（在\(x=-1\)和\(x=2\)處取得）。易錯點提示：極值是“局部概念”，最值是“全局概念”；求區(qū)間最值時，需同時考慮區(qū)間端點值與極值。答案：（1）單調(diào)遞增區(qū)間：\((-\infty,0)\)、\((2,+\infty)\)；單調(diào)遞減區(qū)間：\((0,2)\)；（2）極大值2，極小值-2；（3）最大值2，最小值-2。三、命題趨勢解讀：緊扣新課標，指向核心素養(yǎng)2018年高考數(shù)學(xué)命題趨勢已在聯(lián)考試卷中充分體現(xiàn)，主要包括以下三點：1.核心素養(yǎng)成為考查核心高考數(shù)學(xué)不再局限于“知識記憶”，而是強調(diào)“能力導(dǎo)向”。聯(lián)考試卷中，導(dǎo)數(shù)分類討論（邏輯推理）、概率統(tǒng)計建模（數(shù)學(xué)建模）、立體幾何三視圖（直觀想象）等題目，均以核心素養(yǎng)為考查目標，要求學(xué)生“用數(shù)學(xué)思維解決問題”。2.應(yīng)用意識凸顯，聯(lián)系實際生活聯(lián)考試卷中，概率統(tǒng)計題以“垃圾分類”“產(chǎn)品銷售”“體質(zhì)健康調(diào)查”為背景，解析幾何題以“衛(wèi)星軌道”“橋梁設(shè)計”為背景，體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)來源于生活、應(yīng)用于生活”的理念。這類題目要求學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，考查應(yīng)用意識。3.知識點融合，注重綜合能力聯(lián)考試卷中，“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合”“立體幾何與解析幾何結(jié)合”“三角函數(shù)與向量結(jié)合”等題型增多。例如，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（函數(shù)與導(dǎo)數(shù)融合）、求立體幾何的外接球方程（立體幾何與解析幾何融合）、用向量的數(shù)量積求三角函數(shù)的夾角（三角函數(shù)與向量融合）。這類題目考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，需要靈活運用多個知識點。四、備考建議：靶向突破，提升應(yīng)試能力針對2018年高考數(shù)學(xué)命題趨勢，結(jié)合聯(lián)考試卷特點，提出以下備考建議：1.基礎(chǔ)鞏固：回歸課本，筑牢根基重點：掌握基本概念、公式、定理（如函數(shù)定義域、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、數(shù)列通項公式）；方法：做課本上的例題與習(xí)題，確?；A(chǔ)題（如集合運算、函數(shù)單調(diào)性、三角函數(shù)基本關(guān)系）不丟分；提示：基礎(chǔ)題占高考總分的70%，是備考的“重中之重