1.2.4絕對值1.絕對值的幾何定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做a的絕對值，記作|a|．2.絕對值的代數(shù)定義：①一個正數(shù)的絕對值是它本身；②一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；③0的絕對值是0．即：或．3.絕對值的性質(zhì)：①，即有最小值；②若幾個非負數(shù)的和為零，則每一個非負數(shù)都為零；③若|x|=a（a>0），則x=±a．類型一、絕對值的概念典型例題典型例題【典型例題1】﹣2023的絕對值等于（）A．﹣2023 B．2023 C．±2023 D．2022【典型例題2】（2025?惠城區(qū)模擬）3的絕對值等于（）A．3B．3C．±3D．0鞏固練習鞏固練習1.（2025?湖南模擬）計算下列各組數(shù)，結(jié)果不等于5的是（）A．（+5）B．+（5）C．|5|D．（5）2.（2025春?中山市校級期中）|2024|的相反數(shù)是（）A．2024B．2024C．D．類型二、絕對值的幾何意義典型例題典型例題【典型例題3】（2025?思明區(qū)校級模擬）若一個數(shù)的絕對值是2，則這個數(shù)是（）A．2B．2C．±2D．0【典型例題4】（2024秋?遼中區(qū)期末）在數(shù)軸上，點A，B在原點O的兩側(cè)，分別表示數(shù)a,2，將點A向右移動3個單位長度，得到點C，若CO=BO，則a的值為鞏固練習鞏固練習3.（2023秋?金平區(qū)校級期中）在數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離為7，則a+|a|=4.大家知道|5|=|50|，它在數(shù)軸上的意義是：表示5的點與原點（即表示0的點）之間的距離．又如式子|63|，它在數(shù)軸上的意義是：表示6的點與表示3的點之間的距離．類似地，式子|a（5）|在數(shù)軸上的意義是類型三、絕對值的化簡典型例題典型例題【典型例題5】（2024秋?昭平縣期末）已知a＜0，則計算|2a|=（）A．2+aB．2aC．a(chǎn)2D．2【典型例題6】（2024秋?冠縣期末）若|a+2|=11，|b|=17，且|a+b|=（a+b），求ab的值．鞏固練習鞏固練習5.（2025?三河市一模）化簡|4|的結(jié)果為（）A．4B．4C．D．6.（2024秋?平泉市期末）若|x|=5，則x=7.（2024秋?蒸湘區(qū)校級月考）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖：（1）判斷正負，用“＞”或“＜”填空：bc0，a+b0，ca0．（2）化簡：|bc|+|a+b||ca|．8.（2024秋?利津縣期中）若|a|=5，|b|=3．（1）若ab＜0，求a+b的值；（2）若|a+b|=a+b,求ab的值．類型四、0+0=0模型典型例題典型例題【典型例題7】（2024秋?東西湖區(qū)校級月考）已知|x3|+|y+6|=0，求（x+y）（xy）的值．鞏固練習鞏固練習9.（2024秋?寶應縣月考）若|x2|+|y+7|+|z9|=0，計算：（1）x,y,z的值．（2）求|x|+|y|+|z|的值．10.（2024秋?富縣月考）已知|x|=3，|y|=7．（1）若x＞0，y＜0，求x,y的值；（2）若x＜y,求x,y的值．11.（2024秋?浦東新區(qū)校級期中）若（a+b）6+|b2|=b2，且|ab+1|=3，求a,b的值．類型五、最值問題典型例題典型例題【典型例題9】（2024秋?貴港期末）如果x為有理數(shù)，式子|x+1|2025存在最小值，則這個最小值是（）A．2025B．2024C．2023D．2022【典型例題10】（2024秋?洪雅縣期末）結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示3和2的兩點之間的距離是；表示2和1兩點之間的距離是；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于|mn|．（2）如果|x+1|=2，那么x=；（3）若|a3|=4，|b+2|=3，且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點A、點B，則A、B兩點間的最大距離是，最小距離是．（4）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于3與5之間，則|a+3|+|a5|=．（5）當a=時，|a1|+|a+5|+|a4|的值最小，最小值是．鞏固練習鞏固練習12.（2024秋?上杭縣期中）大家知道|5|=|50|，它在數(shù)軸上表示5的點與原點（即表示0的點）之間的距離．又如式子|63|，它在數(shù)軸上的意義是表示6的點與表示3的點之間的距離．即點A、B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a、b,則A、B兩點的距離可表示為：|AB|=|ab|．根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是；數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是；（2）點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)x和1．①用代數(shù)式表示A、B兩點之間的距離；②如果|AB|=2，求x的值．（3）直接寫出代數(shù)式|x+1|+|x4|的最小值及相應的x的取值范圍．13.（2024秋?浦東新區(qū)期中）閱讀理解：對于有理數(shù)a、b,|a|的幾何意義為：數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離；|ab|的幾何意義為：數(shù)軸上表示數(shù)a的點與表示數(shù)b的點之間的距離．如：|x2|的幾何意義即數(shù)軸上表示數(shù)x的點與表示數(shù)2的點之間的距離，請根據(jù)你的理解解答下列問題：（1）我們知道|x+2|=|x（2）|，根據(jù)幾何意義，若|x+2|=3，那么x的值是．（2）利用數(shù)軸分析|x+2|+|x3|的幾何意義，|x+2|+|x3|的最小值是．（3）|x+1|+|x|+|x1|+|x2|+|x3|+…+|x24|的最小值是．類型六、實際應用典型例題典型例題【典型例題11】（2025?鄭州一模）檢測4個籃球，其中超過標準的克數(shù)記為正數(shù)，不足的克數(shù)記為負數(shù)．從輕重的角度看，下列數(shù)據(jù)更接近標準的是（）A．2.5B．0.7C．+3.2D．+0.8【典型例題12】（2025?秦皇島一模）一批零件超過規(guī)定長度記為正數(shù)，短于規(guī)定長度記為負數(shù)，越接近規(guī)定長度質(zhì)量越好．檢查其中四個零件，結(jié)果如下：第一個為0.02mm,第二個為0.06mm,第三個為0.04mm,第四個為0.01mm.則這四個零件中質(zhì)量最差的是（）A．第一個B．第二個C．第三個D．第四個鞏固練習鞏固練習14.（2024秋?遵義期末）某市的地鐵站牌每一個站名上方都有一個對應數(shù)字，將上、下站名所對應數(shù)字相減的差的絕對值作為乘車路程，根據(jù)乘車路程所在區(qū)段計算票價．乘車路程區(qū)段與對應票價（部分）如下表：另外，學生乘車實行5折優(yōu)惠，若一名學生上車時站名對應數(shù)字是4，下車時站名對應數(shù)字是23，則該學生乘車的費用為元．15.（2024秋?海淀區(qū)期末）對于一組互不相等的正有理數(shù)，若對于其中任意兩個數(shù)a,b,a+b與|ab|兩數(shù)中至少有一個在這組數(shù)中，則稱這組有理數(shù)是“好數(shù)組”．（1）2，3，5“好數(shù)組”，1，2，3，5“好數(shù)組”；（填“是”或“不是”）（2）若2，4，8，x是“好數(shù)組”，求出x的所有可能值；（3）若含2025的5個正有理數(shù)是“好數(shù)組”，直接寫出所有符合條件的“好數(shù)組”．參考答案類型一、絕對值的概念典型例題典型例題【典型例題1】﹣2023的絕對值等于（）A．﹣2023 B．2023 C．±2023 D．2022【分析】本題考查絕對值的含義．即：正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)．利用絕對值的意義求解．【答案】B【解析】因為負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)；所以，﹣2023的絕對值等于2023．故選B．【典型例題2】（2025?惠城區(qū)模擬）3的絕對值等于（）A．3B．3C．±3D．0【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)解答即可．【解答】解：|3|=3．故選：B．【點評】此題考查了絕對值的性質(zhì)：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．鞏固練習鞏固練習1.（2025?湖南模擬）計算下列各組數(shù)，結(jié)果不等于5的是（）A．（+5）B．+（5）C．|5|D．（5）【分析】逐項進行化簡判斷即可．【解答】解：根據(jù)化簡多重符號和絕對值的計算法則，逐項進行化簡判斷如下：A、（+5）=5，故該選項不符合題意；B、+（5）=5，故該選項不符合題意；C、|5|=5，故該選項不符合題意；D、（5）=5，故該選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了化簡多重符號和絕對值，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．2.（2025春?中山市校級期中）|2024|的相反數(shù)是（）A．2024B．2024C．D．【分析】根據(jù)相反數(shù)、絕對值的定義解答即可求得答案．【解答】解：|2024|=2024，2024的相反數(shù)是2024．故選：B．【點評】本題考查了相反數(shù)、絕對值，掌握相反數(shù)、絕對值的定義是解答此題的關(guān)鍵．類型二、絕對值的幾何意義典型例題典型例題【典型例題3】（2025?思明區(qū)校級模擬）若一個數(shù)的絕對值是2，則這個數(shù)是（）A．2B．2C．±2D．0【分析】根據(jù)絕對值的定義進行計算即可．【解答】解：一個數(shù)的絕對值是2，即在數(shù)軸上表示這個數(shù)的點到原點的距離為2，所以這個數(shù)是2或2，故選：C．【點評】本題考查絕對值，理解絕對值的定義是正確解答的關(guān)鍵．【典型例題4】（2024秋?遼中區(qū)期末）在數(shù)軸上，點A，B在原點O的兩側(cè)，分別表示數(shù)a,2，將點A向右移動3個單位長度，得到點C，若CO=BO，則a的值為【分析】先用含a的式子表示出點C，根據(jù)CO=BO列出方程，求解即可．【解答】解：由題意知：A點表示的數(shù)為a,B點表示的數(shù)為2，C點表示的數(shù)為a+3因為CO=BO，所以|a+3|=2，解得a=5或1故答案為：5或1【點評】本題考查了數(shù)軸和絕對值方程的解法，用含a的式子表示出點C，是解決本題的關(guān)鍵．鞏固練習鞏固練習3.（2023秋?金平區(qū)校級期中）在數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離為7，則a+|a|=【分析】根據(jù)數(shù)軸表示數(shù)的方法得到a=7或7，然后分別代入計算即可．【解答】解：∵數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離為7，∴a=7或7，∴a+|a|=7+|7|=7+7=14或a+|a|=7+|（7）|=7+7=0．故答案為：0或14．【點評】本題考查絕對值、數(shù)軸，熟練掌握相關(guān)的知識點是解題的關(guān)鍵．4.大家知道|5|=|50|，它在數(shù)軸上的意義是：表示5的點與原點（即表示0的點）之間的距離．又如式子|63|，它在數(shù)軸上的意義是：表示6的點與表示3的點之間的距離．類似地，式子|a（5）|在數(shù)軸上的意義是【分析】根據(jù)題目信息與數(shù)軸的知識解答即可．【解答】解：|a（5）|在數(shù)軸上的意義是：表示a的點與表示5的點之間的距離．故答案為：表示a的點與表示5的點之間的距離．【點評】本題考查了絕對值，數(shù)軸，讀懂題目信息是解題的關(guān)鍵．類型三、絕對值的化簡典型例題典型例題【典型例題5】（2024秋?昭平縣期末）已知a＜0，則計算|2a|=（）A．2+aB．2aC．a(chǎn)2D．2【分析】先判斷2a＞0，再去絕對值符號即可得解．【解答】解：根據(jù)題意可知，2a＞0，∴|2a|=2a.故選：B．【點評】本題主要考查了絕對值，掌握絕對值的定義是關(guān)鍵．【典型例題6】（2024秋?冠縣期末）若|a+2|=11，|b|=17，且|a+b|=（a+b），求ab的值．【分析】利用絕對值的定義確定a、b的可能取值，再計算ab的值．【解答】解：∵|a+2|=11，|b|=17，∴a+2=±11，a=9或13，b=±17，∵|a+b|=（a+b），∴a+b＜0，∴a=9時，b=17，ab=9（17）=9+17=26，a=13時，b=17，ab=13（17）=13+17=4，∴ab的值為26或4．【點評】本題考查了絕對值，解題的關(guān)鍵是掌握絕對值的定義．鞏固練習鞏固練習5.（2025?三河市一模）化簡|4|的結(jié)果為（）A．4B．4C．D．【分析】根據(jù)絕對值的定義解答即可．【解答】解：根據(jù)絕對值的定義可得：|4|=4，故選：A．【點評】該題考查了絕對值，熟練掌握該知識點是關(guān)鍵．6.（2024秋?平泉市期末）若|x|=5，則x=【分析】直接根據(jù)絕對值的意義求解．【解答】解：∵|x|=5，∴x=±5，∴x=±5．故答案為±5．【點評】本題考查了絕對值：若a＞0，則|a|=a；若a=0，則|a|=0；若a＜0，則|a|=a.7.（2024秋?蒸湘區(qū)校級月考）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖：（1）判斷正負，用“＞”或“＜”填空：bc0，a+b0，ca0．（2）化簡：|bc|+|a+b||ca|．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸判斷出a、b、c的正負情況，然后分別判斷即可；（2）去掉絕對值號，然后合并同類項即可．【解答】解：（1）由圖可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，所以，bc＜0，a+b＜0，ca＞0；故答案為：＜，＜，＞；（2）|bc|+|a+b||ca|=（cb）+（ab）（ca）=cbabc+a=2b.【點評】本題考查了絕對值的性質(zhì)，數(shù)軸，熟記性質(zhì)并準確識圖觀察出a、b、c的正負情況是解題的關(guān)鍵．8.（2024秋?利津縣期中）若|a|=5，|b|=3．（1）若ab＜0，求a+b的值；（2）若|a+b|=a+b,求ab的值．【分析】（1）若ab＜0，則a、b異號，求出a、b的值，再把它們相加即可．（2）若|a+b|=a+b,則a+b≥0，求出a、b的值，再把它們相減即可．【解答】解：∵|a|=5，|b|=3，∴a=±5，b=±3，（1）若ab＜0，則a=5，b=3或a=5，b=3，①a=5，b=3時，a+b=53=2．②a=5，b=3時，a+b=5+3=2．（2）若|a+b|=a+b,則a+b≥0，∴a=5，b=3或3，∴ab=5（3）=8，或a=5，b=3時，ab=53=2．故ab=8或2．【點評】此題主要考查了絕對值的含義和求法，考查了分類討論思想的應用，解答此題的關(guān)鍵是分別求出a、b的值各是多少．類型四、0+0=0模型典型例題典型例題【典型例題7】（2024秋?東西湖區(qū)校級月考）已知|x3|+|y+6|=0，求（x+y）（xy）的值．【分析】代數(shù)式求值，先根據(jù)|x3|+|y+6|=0，求出x=3，y=6，然后再代入求值即可．【解答】解：由條件可知x3=0，y+6=0，解得：x=3，y=6，∴原式=（36）×[3（6）]=（3）×（3+6）=3×9=27．【點評】本題主要考查了絕對值的非負性，熟練掌握非負數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．【典型例題8】（2024秋?墾利區(qū)校級月考）已知|x+1|+|y3|=0，求x和y的值．【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列出方程求出未知數(shù)的值，再代入所求代數(shù)式計算即可．【解答】解：∵|x+1|+|y3|=0，∴x+1=0，y3=0，∴x=1，y=3．【點評】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)：掌握幾個非負數(shù)的和為0，則這幾個非負數(shù)分別等于0，并正確得出未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．鞏固練習鞏固練習9.（2024秋?寶應縣月考）若|x2|+|y+7|+|z9|=0，計算：（1）x,y,z的值．（2）求|x|+|y|+|z|的值．【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)“三個非負數(shù)相加，和為0，這三個非負數(shù)的值都為0”列出方程，即可解出x、y、z的值；（2）將（1）中求出的x、y、z的值分別代入，先根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值的符號，再運用有理數(shù)加法法則計算即可．【解答】解：（1）∵|x2|+|y+7|+|z9|=0，解得x=2，y=7，z=9；（2）當x=2，y=7，z=9時，原式=|2|+|7|+|9|=2+7+9=18．【點評】本題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，有理數(shù)加法運算，初中階段有三種類型的非負數(shù)：（1）絕對值；（2）偶次方；（3）二次根式（算術(shù)平方根）．當它們相加和為0時，必須滿足其中的每一項都等于0．根據(jù)這個結(jié)論可以求解這類題目．10.（2024秋?富縣月考）已知|x|=3，|y|=7．（1）若x＞0，y＜0，求x,y的值；（2）若x＜y,求x,y的值．【分析】（1）根據(jù)正數(shù)和0的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)進行求解即可；（2）先根據(jù)絕對值的意義得到x=±3，y=±7，再由x＜y,可得x=±3，y=7．【解答】解：（1）∵|x|=3，|y|=7，∴x=±3，y=±7，又∵x＞0，y＜0，∴x=3，y=7；（2）∵|x|=3，|y|=7，x＜y,∴x=±3，y=7．【點評】本題主要考查了絕對值，掌握絕對值的定義是關(guān)鍵．11.（2024秋?浦東新區(qū)校級期中）若（a+b）6+|b2|=b2，且|ab+1|=3，求a,b的值．【分析】根據(jù)絕對值及偶次方的非負性進行計算即可．【解答】解：由題知，因為（a+b）6+|b2|=b2，且（a+b）6≥0，|b2|≥0，所以b2≥0，則（a+b）6=0，所以a+b=0，則a=b.又因為|ab+1|=3，所以ab+1=±3．當ab+1=3時，bb+1=3，解得b=1（舍去）．當ab+1=3時，bb+1=3，解得b=2，則a=2，所以a=2，b=2．綜上所述，a的值為2，b的值為2．【點評】本題主要考查了絕對值，熟知絕對值的性質(zhì)及巧用分類討論的數(shù)學思想是解題的關(guān)鍵．類型五、最值問題典型例題典型例題【典型例題9】（2024秋?貴港期末）如果x為有理數(shù)，式子|x+1|2025存在最小值，則這個最小值是（）A．2025B．2024C．2023D．2022【分析】根據(jù)|x+1|≥0得出當x=1時，式子|x+1|2025存在最小值．【解答】解：由絕對值的非負性可得|x+1|≥0，∴當x=1時，式子|x+1|2025存在最小值，這個最小值是2025，故選：A．【點評】本題考查了絕對值的意義，熟練掌握絕對值性質(zhì)是關(guān)鍵．【典型例題10】（2025?鳳凰縣模擬）若m為任意實數(shù)，則|m+2019|的最小值是【分析】根據(jù)絕對值具有非負性可得答案．【解答】解：|m+2019|的最小值是0，故答案為：0．【點評】此題主要考查了絕對值，關(guān)鍵是掌握絕對值性質(zhì)：①當a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a；②當a是負有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)a；③當a是零時，a的絕對值是零．【典型例題10】（2024秋?洪雅縣期末）結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示3和2的兩點之間的距離是；表示2和1兩點之間的距離是；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于|mn|．（2）如果|x+1|=2，那么x=；（3）若|a3|=4，|b+2|=3，且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點A、點B，則A、B兩點間的最大距離是，最小距離是．（4）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于3與5之間，則|a+3|+|a5|=．（5）當a=時，|a1|+|a+5|+|a4|的值最小，最小值是．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸，觀察兩點之間的距離即可解決；（2）根據(jù)絕對值可得：x+1=±3，即可解答；（3）根據(jù)絕對值分別求出a,b的值，再分別討論，即可解答；（4）根據(jù)|a+3|+|a5|表示數(shù)a的點到3與5兩點的距離的和即可求解；（5）分類討論，即可解答．【解答】解：（1）數(shù)軸上表示3和2的兩點之間的距離是：32=1；表示2和1兩點之間的距離是：1（2）=3；（2）|x+1|=2，x+1=2或x+1=2，x=1或x=3．（3）∵|a3|=4，|b+2|=3，∴a=7或1，b=1或b=5，當a=7，b=5時，則A、B兩點間的最大距離是12，當a=1，b=1時，則A、B兩點間的最小距離是2，則A、B兩點間的最大距離是12，最小距離是2；（4）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于3與5之間，|a+3|+|a5|=（a+3）+（5a）=8．（5）當a≥4時，原式=a+5+a1+a4=3a,這時的最小值為3×4=12當1≤a＜4時，原式=a+5+a1a+4=a+8，這時的最小值為1+8=9當5≤a＜1時，原式=a+5a+1a+4=a+10，這時的最小值接近為1+8=9當a≤5時，原式=a5a+1a+4=3a,這時的最小值為3×（5）=15綜上可得當a=1時，式子的最小值為9故答案為：（1）1；3；（2）1或3；（3）12；2；（4）8；（5）1；9．【點評】此題考查數(shù)軸上兩點之間的距離的算法：數(shù)軸上兩點之間的距離等于相應兩數(shù)差的絕對值，應牢記且會靈活應用．鞏固練習鞏固練習12.（2024秋?上杭縣期中）大家知道|5|=|50|，它在數(shù)軸上表示5的點與原點（即表示0的點）之間的距離．又如式子|63|，它在數(shù)軸上的意義是表示6的點與表示3的點之間的距離．即點A、B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a、b,則A、B兩點的距離可表示為：|AB|=|ab|．根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是；數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是；（2）點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)x和1．①用代數(shù)式表示A、B兩點之間的距離；②如果|AB|=2，求x的值．（3）直接寫出代數(shù)式|x+1|+|x4|的最小值及相應的x的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)題意，可得數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是：|52|=3；數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是：|（2）（5）|=3．（2）①根據(jù)點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)x和1，可得表示A、B兩點之間的距離是|x（1）|=|x+1|．②如果|AB|=2，則|x+1|=2，據(jù)此求出x的值是多少即可．（3）根據(jù)題意，可得代數(shù)式|x+1|+|x4|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對應的點到4和1所對應的兩點距離之和，所以當1≤x≤4時，代數(shù)式|x+1|+|x4|的最小值是表示4的點與表示1的點之間的距離，即代數(shù)式|x+1|+|x4|的最小值是5．【解答】解：根據(jù)分析，可得（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是：|52|=3；數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是：|（2）（5）|=|2+5|=|3|=3．（2）①|(zhì)AB|=|x（1）|=|x+1|．②如果|AB|=2，則|x+1|=2，x+1=2或x+1=2，解得x=1或x=3．（3）∵代數(shù)式|x+1|+|x4|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對應的點到4和1所對應的兩點距離之和，∴當1≤x≤4時，代數(shù)式|x+1|+|x4|的最小值是：|4（1）|=5，即代數(shù)式|x+1|+|x4|的最小值是5，x的取值范圍是1≤x≤4．故答案為：5，1≤x≤4．【點評】（1）此題主要考查了絕對值的含義和應用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①當a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a；②當a是負有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)a；③當a是零時，a的絕對值是零．（2）解答此題的關(guān)鍵是要明確：|xa|既可以理解為x與a的差的絕對值，也可理解為x與a兩數(shù)在數(shù)軸上所對應的兩點之間的距離．13.（2024秋?浦東新區(qū)期中）閱讀理解：對于有理數(shù)a、b,|a|的幾何意義為：數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離；|ab|的幾何意義為：數(shù)軸上表示數(shù)a的點與表示數(shù)b的點之間的距離．如：|x2|的幾何意義即數(shù)軸上表示數(shù)x的點與表示數(shù)2的點之間的距離，請根據(jù)你的理解解答下列問題：（1）我們知道|x+2|=|x（2）|，根據(jù)幾何意義，若|x+2|=3，那么x的值是．（2）利用數(shù)軸分析|x+2|+|x3|的幾何意義，|x+2|+|x3|的最小值是．（3）|x+1|+|x|+|x1|+|x2|+|x3|+…+|x24|的最小值是．【解答】解：（1）|x+2|的幾何意義：數(shù)軸上表示x的點與表示2的點之間的距離，若|x+2|=3，即x+2=3或x+2=3，解得x=1或x=5，則x的值是1或5，故答案為：1或5；（2）|x+2|+|x3|的幾何意義：數(shù)軸上表示x的點與表示2的點之間的距離與數(shù)軸上表示x的點與表示3的點之間的距離之和，當2≤x≤3時，|x+2|+|x3|的最小值是為3（2）=5，故答案為：5；（3）∵|x+1|+|x|+|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+?+|x24|表示x到1，0，1，2，3，???24的點的距離的和，∴當11≤x≤12時，|x+1|+|x|+|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+?+|x24|最小，最小值為（1+2+3++10+11+12）×2+（2411）=169，故答案為：169．【點評】本題考查數(shù)軸、絕對值，理解絕對值的定義，掌握數(shù)軸表示數(shù)的方法是正確解答的關(guān)鍵．類型六、實際應用典型例題典型例題【典型例題11】（2025?鄭州一模）檢測4個籃球，其中超過標準的克數(shù)記為正數(shù)，不足的克數(shù)記為負數(shù)．從輕重的角度看，下列數(shù)據(jù)更接近標準的是（）A．2.5B．0.7C．+3.2D．+0.8【分析】由已知和要求，只要求出超過標準的克數(shù)和低于標準的克數(shù)的絕對值，絕對值小的則是最接近標準的球．【解答】解：通過求4個數(shù)的絕對值得：|2.5|=2.5，|0.7|=0.7，|+3.2|=3.2，|+0.8|=0.8，0.7的絕對值最?。缘?個球是最接近標準的球．故選：B．【點評】此題考查學生對正負數(shù)及絕對值的意義掌握，解答此題首先要求出四個球標準的克數(shù)和低于標準的克數(shù)的絕對值進行比較．【典型例題12】（2025?秦皇島一模）一批零件超過規(guī)定長度記為正數(shù)，短于規(guī)定長度記為負數(shù)，越接近規(guī)定長度質(zhì)量越好．檢查其中四個零件，結(jié)果如下：第一個為0.02mm,第二個為0.06mm,第三個為0.04mm,第四個為0.01mm.則這四個零件中質(zhì)量最差的是（）A．第一個B．第二個C．第三個D．第四個【分析】根據(jù)絕對值最大的是質(zhì)量最差的可得答案．【解答】解：∵|0.06|=0.06＞|0.04|=0.04＞|0.02|