第三章圓錐曲線的方程全章綜合測(cè)試卷（基礎(chǔ)篇）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二校考期末）拋物線y=x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（A．0,14 B．14,0 C．【解題思路】由拋物線方程求出p的值，從而可求出其焦點(diǎn)坐標(biāo).【解答過(guò)程】由于拋物線的方程為y=x所以2p=1，p=12所以拋物線y=x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是故選：A.2．（5分）（2022秋·陜西西安·高二?？计谥校┤舴匠藽:x2+y2A．?a∈(0,+∞)，方程C表示橢圓B．?a∈(?∞,0)，方程C表示雙曲線C．?a∈(?∞,0)，方程C表示橢圓D．?a∈R，方程C表示拋物線【解題思路】根據(jù)題意，進(jìn)行判斷即可.【解答過(guò)程】對(duì)于A，當(dāng)a=1時(shí)，方程C表示圓，故A不正確．對(duì)于B，當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí)，方程C表示雙曲線，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí)，方程C表示雙曲線，故C不正確．對(duì)于D，當(dāng)a≠0時(shí)，方程C表示橢圓、圓或雙曲線，故方程C不會(huì)表示拋物線．故D不正確．故選B．3．（5分）（2023春·云南曲靖·高一?？计谀┡c雙曲線y2A．y29+C．x29+【解題思路】先求得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6求解.【解答過(guò)程】解：雙曲線y2?x即橢圓的焦點(diǎn)為F1又長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，即a=3,b所以橢圓的方程為y2故選：B.4．（5分）（2023春·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其上頂點(diǎn)為A，左A．12 B．22 C．32【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓離心率的定義，即可求求解.【解答過(guò)程】如圖所示，橢圓C，其上頂點(diǎn)為A，左?右焦點(diǎn)分別為F1,F則橢圓C的離心率為e=c故選：A.

5．（5分）（2023春·河南·高三階段練習(xí)）已知F1,F2分別為橢圓C:x2a2+y2A．6 B．9 C．12 D．15【解題思路】根據(jù)離心率求解a=4，即可由焦點(diǎn)三角形求解周長(zhǎng).【解答過(guò)程】因?yàn)镃的離心率為12，且a>23，所以e2=a2?12a2故選：C.

6．（5分）（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x24?y212=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0,m)，若直線A．±2 B．±43 C．±23 【解題思路】根據(jù)題意分析可得直線AF與漸近線平行，結(jié)合平行關(guān)系運(yùn)算求解.【解答過(guò)程】雙曲線C:x24?y212所以雙曲線的漸近線方程為y=±3x，右焦點(diǎn)為因?yàn)橹本€AF與C只有一個(gè)交點(diǎn)，所以直線AF與雙曲線的漸近線平行，所以kAF=m?0故選：B.7．（5分）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P2,1的直線l與雙曲線x2?y23=1相交于A,B兩點(diǎn)，若PA．6x?y?11=0 B．6x+y?13=0C．2x?3y?1=0 D．3x?2y?4=0【解題思路】利用點(diǎn)差法求解.【解答過(guò)程】解：設(shè)Ax1,兩式相減得直線的斜率為k=y又直線l過(guò)點(diǎn)P2,1所以直線l的方程為6x?y?11=0，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)l與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).故選：A.8．（5分）（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二校考期末）已知橢圓C:x23+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線y=x+m與C交于A，BA．23 B．23 C．?2【解題思路】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用Δ>0，求出m范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于m【解答過(guò)程】將直線y=x+m與橢圓聯(lián)立y=x+mx23+y因?yàn)橹本€與橢圓相交于A,B點(diǎn)，則Δ=36m2設(shè)F1到AB的距離d1,F2到AB則d1=|?S△F1ABS故選：C.二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2023春·河南漯河·高二統(tǒng)考期末）下列命題中正確的是（

）A．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A?B，則滿足PA+B．雙曲線x2?yC．若方程x24?t?yD．過(guò)橢圓一焦點(diǎn)F作橢圓的動(dòng)弦PQ，則弦PQ的中點(diǎn)M的軌跡為橢圓【解題思路】根據(jù)橢圓定義可判斷A；雙曲線與直線聯(lián)立求解可判斷B；根據(jù)方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線求出t的范圍可判斷C；設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1a>b>0，弦PQ的中點(diǎn)為Mx,y，當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時(shí)，設(shè)弦PQ方程為y=kx?c，與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理可得動(dòng)弦【解答過(guò)程】對(duì)于A，根據(jù)橢圓定義，若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A?B，則滿足PA的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由x?y?2=0x2?y2=1得

對(duì)于C，若方程x24?t?y2對(duì)于D，不妨設(shè)橢圓方程為x2a2則Fc,0，弦PQ的中點(diǎn)為M當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時(shí)，設(shè)弦PQ方程為y=kx?c與橢圓方程y=kx?cx2所以動(dòng)弦PQ的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=ca2所以x=ca2k2b2+a2k2y=kca2k2b2+

故選：BD.10．（5分）（2023春·河南南陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2A．AB=25a B．C．矩形AF1BF2的面積為4【解題思路】對(duì)A、D：根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義可求得AF1=2AF2=4a,AB=F1【解答過(guò)程】不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，如圖，由題意可得：四邊形AF

由雙曲線的定義可得：AF1?對(duì)A：∵四邊形AF1B對(duì)B：由選項(xiàng)A可得：2c=25a，則c=5注意到雙曲線E的焦點(diǎn)在x軸上，則E的漸近線方程為y=±b對(duì)C：矩形AF1B對(duì)D：由A選項(xiàng)知，AB=25a故選：AD.11．（5分）（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考二模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2，離心率為A．a(chǎn)=132 C．直線DE的斜率為33 D．【解題思路】根據(jù)離心率為12，得到△AF1F2為等邊三角形，再由過(guò)F1且垂直于直線AF2的，得到kDE，△ADF2【解答過(guò)程】解：如圖所示：

∵橢圓C:x2a∴不妨設(shè)橢圓C:x∵C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1∴△AF∵過(guò)F1且垂直于AF2的直線與C∴kDE由等腰三角形的性質(zhì)可得AD=由橢圓的定義可得△ADE的周長(zhǎng)為DE+∴a=13對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)lDE:y=3消去y得：x2則Δ=由韋達(dá)定理得x1所以DE=故選：ACD.12．（5分）（2023春·云南大理·高二統(tǒng)考期末）過(guò)拋物線C:y2=2px上一點(diǎn)A1,2作兩條相互垂直的直線，與C的另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為A．C的準(zhǔn)線方程是xB．過(guò)C的焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為2C．直線MN過(guò)定點(diǎn)5,?2D．若直線MN過(guò)點(diǎn)1,?1，則△AMN的面積為24【解題思路】由題可得拋物線C為y2=4x，進(jìn)而判斷A；利用焦點(diǎn)弦的方程結(jié)合拋物線的定義結(jié)合條件可判斷B；設(shè)直線MN為x=my+n，聯(lián)立拋物線利用韋達(dá)定理結(jié)合條件可得m、n的數(shù)量關(guān)系，可判斷C；由直線MN過(guò)點(diǎn)1,?1可得直線MN為【解答過(guò)程】將A1,2代入C中得4=2p，即p=2則拋物線C為y2所以C的準(zhǔn)線方程是x=?1，故A正確；拋物線C的焦點(diǎn)為1,0，可設(shè)過(guò)C的焦點(diǎn)的直線為x=ty+1，聯(lián)立x=ty+1y2=4x，可得y則yE+y所以EF=xE設(shè)My124,y1聯(lián)立x=my+ny2=4x所以y1+y又AM⊥AN，所以AM?因?yàn)閥1≠2，y2所以y1化簡(jiǎn)整理得y1即?4n+8m+20=0，得n=2m+5，所以直線MN為x=my+2所以直線MN過(guò)定點(diǎn)P5,?2若直線MN過(guò)點(diǎn)1,?1，則1=m?1+2+5，即m=?4，所以y1+y直線MN為x=?4y+2+5，即所以MN=點(diǎn)A1,2到直線MN的距離為d=所以S△AMN故選：AC.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023春·云南曲靖·高一?？计谀┤魭佄锞€C：x2=2py(p>0)上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為p2，到x軸的距離為3，則p=【解題思路】由拋物線的定義可得p2=3+p【解答過(guò)程】∵拋物線C：x2=2py(p>0)上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為∴該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p2又該點(diǎn)到x軸的距離為3，∴p2=3+p2，解之可得又p>0∴p=2.故答案為：2.14．（5分）（2023春·西藏林芝·高二?？计谀┒梯S長(zhǎng)為8，離心率為35的橢圓兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)點(diǎn)F1作直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則△ABF【解題思路】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，求得a=5，再結(jié)合橢圓的定義，進(jìn)而求得△ABF【解答過(guò)程】由橢圓的短軸長(zhǎng)為8，可得2b=8，所以b=4，又由離心率為35，即ca=35如圖所示，由橢圓的定義，可得AF則△ABF2的周長(zhǎng)為AB+故答案為：20.

15．（5分）（2023春·山西大同·高二?？计谀┰O(shè)雙曲線x24?y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P【解題思路】根據(jù)雙曲線方程求出a、b、c，再由雙曲線的定義求出|PF1|【解答過(guò)程】因?yàn)殡p曲線x24?y23=1因?yàn)镻為雙曲線右支上一點(diǎn)，所以|PF1|?|P所以|PF1|=6，|P由余弦定理F1即272=62所以∠F故答案為：π316．（5分）（2023春·云南昆明·高三?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)M(5,43)是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)1,F【解題思路】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得方程為x29+y2【解答過(guò)程】由M(5,43)和MF2?F1F2=0可得c=5，設(shè)圓x2+y2=4的切線方程為x=my+n聯(lián)立x=my+nx29+yΔ=64設(shè)Mx1,y1，NMN=設(shè)1+m2=t當(dāng)且僅當(dāng)4t=5t，即t=5故答案為：3.四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2023春·四川·高二統(tǒng)考期末）求符合下列條件的曲線方程：(1)以橢圓x2(2)已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P2,nn>0在拋物線C上，【解題思路】（1）由橢圓的性質(zhì)求出雙曲線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，即可得解．（2）根據(jù)拋物線的定義求出p，即可求出拋物線方程，再將P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，求出n，即可得解.【解答過(guò)程】（1）由題意，橢圓x225+y29=1所以雙曲線的焦點(diǎn)為±5,0，頂點(diǎn)為±4,0，設(shè)雙曲線方程為x2a2?y2b所以該雙曲線的方程為x2

（2）拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為因?yàn)辄c(diǎn)P2,nn>0在拋物線C上且PF=3，即PF所以拋物線方程為y2又點(diǎn)P2,nn>0在拋物線C，所以n2=4×2，解得所以P2,2

18．（12分）（2023秋·四川南充·高二?？计谀┮阎c(diǎn)P是橢圓x2a2+y2b(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)直線l過(guò)F2與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，求△AB【解題思路】（1）根據(jù)焦距可求c=3，根據(jù)所過(guò)點(diǎn)可求a=5，進(jìn)而得到方程；（2）利用橢圓的定義可得△ABF1的周長(zhǎng)為4a，代入【解答過(guò)程】（1）設(shè)焦距為2c，由2c=6，得c=3，又橢圓x2a2+y得b2∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）動(dòng)直線l過(guò)F2與橢圓交于A、B∴AF1+∴AF∴△ABF

19．（12分）（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線C:x2=?2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,Ax0(1)求拋物線C的方程；(2)已知直線l交拋物線C于M,N兩點(diǎn)，且MN的中點(diǎn)為6,?4，求直線l的方程．【解題思路】（1）根據(jù)拋物線的定義求解；（2）設(shè)點(diǎn)代入拋物線方程，然后利用點(diǎn)差法求解直線的斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式即可解得直線的方程；【解答過(guò)程】（1）因?yàn)锳F=9+所以p=12，故拋物線C的方程為x2（2）

易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k,Mx則x兩式相減得x12?因?yàn)镸N的中點(diǎn)為6,?4，所以k=y所以直線l的方程為y+4=?12x?620．（12分）（2023春·上海徐匯·高二?？计谥校┮阎p曲線C的方程為2x(1)直線y=x+m截雙曲線C所得的弦長(zhǎng)為42，求實(shí)數(shù)m(2)過(guò)點(diǎn)2,?1作直線交雙曲線C于P、Q兩點(diǎn)，求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程．【解題思路】（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，得到韋達(dá)定理式，利用弦長(zhǎng)公式即可求出m值；（2）設(shè)Px1,y1【解答過(guò)程】（1）聯(lián)立y=x+m2x2∵直線y=x+m被雙曲線C截得的弦長(zhǎng)為42,∴設(shè)直線與雙曲線交于Ax則x1由弦長(zhǎng)公式得42解得m=±1.（2）設(shè)Px1,x1∴2x上式作差得4xx當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，根據(jù)雙曲線對(duì)稱性知M2,0當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，但y1+y2=0時(shí)，此時(shí)直線PQ當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，且y1+y∵kAM=y+1x?2，∴而點(diǎn)2,0，0,0適合上述方程，則線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程是2x

21．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）已知橢圓C:x2a2+y2(1)求橢圓C的方程；(2)若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)0,?1的直線l與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)，記橢圓的上頂點(diǎn)為M，當(dāng)直線l的斜率變化時(shí)，求△MPQ面積的最大值.【解題思路】(1)根據(jù)離心率的值和定義可以求出a,b之間的關(guān)系式，待定系數(shù)法設(shè)出橢圓方程后把已知點(diǎn)代入求解即可.(2)設(shè)出直線方程后，聯(lián)立直線和橢圓方程，消元化簡(jiǎn)后，可得x1+x2=【解答過(guò)程】（1）橢圓C的離心率e=2則22=c所以a=2b=2將點(diǎn)4,1代入方程得b2故所求方程為x2（2）點(diǎn)0,?1在橢圓C內(nèi)，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx?1，由x218+設(shè)Px1,PQ=點(diǎn)M0,3到l的距離d=令t=2k2+1t≥1，則因?yàn)?<1t≤1，所以當(dāng)1

22．（12分）（2023春·四川自貢·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)M、N為橢圓C上的不同兩點(diǎn)，設(shè)直線AM，AN的斜率分別為