第1頁/共1頁眉山一中辦學(xué)共同體2025屆第四期半期測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（文）命題人：審題人：一、選擇題.(每小題5分，共60分）1.東方中學(xué)共有160名教職工，其中一般教師120名，行政人員16名，后勤人員24名．為了了解教職工對(duì)學(xué)校在校務(wù)公開方面的意見，用分層抽樣抽取一個(gè)容量為20的樣本，則應(yīng)抽取的后勤人員人數(shù)是．A.3 B.2 C.15 D.4【答案】A【解析】【詳解】分析：根據(jù)分層抽樣的定義知：教師，行政人員，后勤人員的人數(shù)比為，由樣本容量為20，計(jì)算可得答案．詳解：∵某校有160名教職工，其中教師120名，行政人員16名，后勤人員24名

∴教師，行政人員，后勤人員抽取的比例應(yīng)為，

∴抽取一個(gè)容量為20的樣本中后勤人員應(yīng)抽人數(shù)為3

故選A．點(diǎn)睛：本題考查了分層抽樣方法，解簡(jiǎn)單的比例方程，屬于基礎(chǔ)題．2.復(fù)數(shù)A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.關(guān)于莖葉圖的說法，結(jié)論錯(cuò)誤的一個(gè)是A.甲的極差是29 B.甲的中位數(shù)是25C.乙的眾數(shù)是21 D.甲的平均數(shù)比乙的大【答案】B【解析】【詳解】分析：通過莖葉圖找出甲的最大值及最小值求出極差判斷出A正確；

找出甲中間的兩個(gè)數(shù)，求出這兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)即數(shù)據(jù)的中位數(shù)，判斷出B錯(cuò)誤，根據(jù)眾數(shù)的定義判斷C正確；

根據(jù)圖的集中于離散程度，判斷出甲的平均值比乙的平均值大，判斷出D正確；詳解：由莖葉圖知，

甲的最大值為37，最小值為8，所以甲的極差為29，A正確；

甲中間的兩個(gè)數(shù)為22，24，

所以甲的中位數(shù)為，B錯(cuò)誤；

乙的數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是21，所以眾數(shù)是21，C正確；

甲命中個(gè)數(shù)集中在20以上，乙命中個(gè)數(shù)集中在10和20之間，

所以甲的平均數(shù)大，D正確．

故選B．點(diǎn)睛：本題考查了利用莖葉圖中的數(shù)據(jù)計(jì)算極差、中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．4.進(jìn)入互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代，經(jīng)常發(fā)送電子郵件，一般而言，發(fā)送電子郵件要分成以下幾個(gè)步驟：打開電子郵件；輸入發(fā)送地址；輸入主題；輸入信件內(nèi)容；點(diǎn)擊“寫郵件”；點(diǎn)擊“發(fā)送郵件”；則正確的步驟是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)發(fā)電子郵件的操作步驟，依次操作，即可得答案.【詳解】發(fā)電子郵件的操作步驟：第一步：打開電子郵件；

第二步：點(diǎn)擊“寫郵件”；第三步：輸入發(fā)送地址；第四步：輸入主題；第五步：輸入信件內(nèi)容；第六步：點(diǎn)擊“發(fā)送郵件”；

依次操作，不能顛倒．

則正確順序?yàn)椋?故選：C5.下列說法正確的是A.某事件發(fā)生的概率為1.1 B.對(duì)立事件也是互斥事件C.不能同時(shí)發(fā)生的的兩個(gè)事件是兩個(gè)對(duì)立事件 D.某事件發(fā)生的概率是隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的變化而變化的【答案】B【解析】【分析】利用概率的定義及基本性質(zhì)判斷選項(xiàng)A，D；利用對(duì)立事件、互斥事件的定義判斷選項(xiàng)B，C作答.【詳解】因事件發(fā)生概率的范圍是，則A不正確；因?qū)α⑹录潜赜幸粋€(gè)發(fā)生的兩個(gè)互斥事件，則B正確；不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件是互斥事件，它們可以同時(shí)不發(fā)生，即不一定是對(duì)立事件，則C不正確；根據(jù)概率的定義，事件發(fā)生的概率是固定值，不會(huì)隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的變化而變化，則D不正確.故選：B6.用反證法證明命題：“若R，則函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)”時(shí)，假設(shè)應(yīng)為（）A.函數(shù)沒有零點(diǎn) B.函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn) D.函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)原命題寫出結(jié)論的否定，得出結(jié)論．【詳解】對(duì)原命題的結(jié)論“函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)”進(jìn)行否定為“函數(shù)沒有零點(diǎn)”．故選：A．7.下列說法中正確的是A.先把高三年級(jí)的2000名學(xué)生編號(hào)：1到2000，再從編號(hào)為1到50的50名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，其編號(hào)為，然后抽取編號(hào)為的學(xué)生，這樣的抽樣方法是分層抽樣法B.線性回歸直線不一定過樣本中心點(diǎn)C.若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1D.若一組數(shù)據(jù)1、、3的平均數(shù)是2，則該組數(shù)據(jù)的方差是【答案】D【解析】【詳解】對(duì)于，先把高三年級(jí)的2000名學(xué)生編號(hào)：1到2000，再從編號(hào)為1到50的50名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，其編號(hào)為，然后抽取編號(hào)為的學(xué)生，這樣的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣，故錯(cuò)誤；對(duì)于，線性回歸直線一定過樣本中心點(diǎn)，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若一組數(shù)據(jù)1、、3的平均數(shù)是2，則，則該組數(shù)據(jù)的方差是，故正確故選8.為了研究高中學(xué)生對(duì)鄉(xiāng)村音樂的態(tài)度（喜歡和不喜歡兩種態(tài)度）與性別的關(guān)系，運(yùn)用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算K2=8.01，附表如下：P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828參照附表，得到的正確的結(jié)論是（）A.有99%以上的把握認(rèn)為“喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別有關(guān)”B.有99%以上的把握認(rèn)為“喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別無關(guān)”C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別有關(guān)”D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別無關(guān)”【答案】A【解析】【詳解】分析：由題目所給數(shù)據(jù)，結(jié)合獨(dú)立檢驗(yàn)的規(guī)律可作出判斷．詳解：：∴在犯錯(cuò)誤概率不超過0.1的前提下認(rèn)為“喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別有關(guān)”，

即有99%以上的把握認(rèn)為“喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別有關(guān)”．

故選A．點(diǎn)睛：本題考查獨(dú)立檢驗(yàn)的實(shí)際應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．9.某廣播電臺(tái)只在每小時(shí)的整點(diǎn)和半點(diǎn)開始播送新聞，時(shí)長(zhǎng)均為5分鐘，則一個(gè)人在不知道時(shí)間的情況下打開收音機(jī)收聽該電臺(tái)，能聽到新聞的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】分析：電臺(tái)在每小時(shí)的整點(diǎn)和半點(diǎn)開始播送新聞，事件總數(shù)包含的時(shí)間長(zhǎng)度是30，一個(gè)人只有在播送新聞的5分鐘時(shí)間內(nèi)打開收音機(jī)收聽該電臺(tái)，才能聽到新聞，由測(cè)度比為長(zhǎng)度比得答案．詳解：由題意知這是一個(gè)幾何概型，

∵電臺(tái)在每小時(shí)的整點(diǎn)和半點(diǎn)開始播送新聞，

∴事件總數(shù)包含的時(shí)間長(zhǎng)度是30，

∵時(shí)長(zhǎng)均為5分鐘，

∴一個(gè)人在不知道時(shí)間的情況下打開收音機(jī)收聽該電臺(tái)，

能聽到新聞的概率是．

故選C．點(diǎn)睛：本題考查了幾何概型，正確理解題意是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．10.設(shè)，“”是“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【詳解】當(dāng)a=0時(shí)，如果b=0，此時(shí)實(shí)數(shù)，不是純虛數(shù)，因此不是充分條件；而如果已經(jīng)是純虛數(shù)，由定義實(shí)部為零，虛部不為零可以得到a=0，因此是必要條件，故選B【考點(diǎn)定位】本小題主要考查的是充分必要條件，但問題中又涉及到了復(fù)數(shù)問題，復(fù)數(shù)部分本題所考查的是純虛數(shù)的定義11.函數(shù)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象為A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可得到結(jié)論.詳解：觀察函數(shù)圖象，從左到右單調(diào)性先單調(diào)遞增，然后單調(diào)遞減，最后單調(diào)遞增.對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)為正，負(fù)，正.,選項(xiàng)D的圖象正確.故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題關(guān)鍵.12.已知點(diǎn)P在曲線上，為曲線在點(diǎn)P處切線的傾斜角，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到曲線在點(diǎn)P處切線的斜率，結(jié)合基本不等式求出的范圍，再根據(jù)，求出的范圍．【詳解】根據(jù)題意得，曲線在點(diǎn)P處切線的斜率為，顯然，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，又，，可得．故選：A．二、填空題.（每小題5分，共20分）13.若，則＝________.【答案】1【解析】【詳解】根據(jù)函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)的定義知，即答案為1.14.如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自寶馬汽車車標(biāo)的里面部分，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形對(duì)邊中點(diǎn)連線成軸對(duì)稱，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是_____________．【答案】【解析】【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則黑色部分的面積為：，結(jié)合幾何概型的計(jì)算公式可得，滿足題意的概率值為：.15.觀察如圖，則第__行的各數(shù)之和等于20172．【答案】1009【解析】【詳解】分析：由題意及所給的圖形找準(zhǔn)其排放的規(guī)律，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)及其前n項(xiàng)和公式即可求解．詳解：由題意及所給的數(shù)據(jù)排放規(guī)律如下：

①第一行一個(gè)數(shù)字就是1；第二行3個(gè)數(shù)字，構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列；第三行5個(gè)數(shù)字，構(gòu)成以3為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列…

②第一行的最后一項(xiàng)為1；第二行的最后一項(xiàng)為4；第三行的最后一項(xiàng)為7…

③所給的圖形中的第一列構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列；

④有圖形可以知道第行構(gòu)成以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，有等差數(shù)列的通項(xiàng)公式給以知道第行共個(gè)數(shù)；

由以上的規(guī)律及等差數(shù)列的知識(shí)可以設(shè)第行的所有數(shù)的和為，

列出式為.故答案為1009．點(diǎn)睛：此題重點(diǎn)考查了準(zhǔn)確由圖抽取信息考查了學(xué)生的觀察能力，還考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式的準(zhǔn)確應(yīng)用．16.以下四個(gè)命題錯(cuò)誤的序號(hào)為_______(1)樣本頻率分布直方圖中小矩形的高就是對(duì)應(yīng)組的頻率.(2)過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程是.(3)若樣本的平均數(shù)是5，方差是3，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)是11，方差是12.(4)拋擲一顆質(zhì)地均勻骰子，事件“向上點(diǎn)數(shù)不大于4”和事件“向上點(diǎn)數(shù)不小于3”是對(duì)立事件.【答案】（1）（2）（4）【解析】【分析】(1)頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積是該組的頻率值；(2)先考慮點(diǎn)是切點(diǎn)的情形，求出切線方程，然后設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)切點(diǎn)與點(diǎn)的斜率等于切線的斜率建立等量關(guān)系，解之即可求出切點(diǎn)，從而求出切線方程；(3)利用平均數(shù)與方差的性質(zhì)分別進(jìn)行解答即可得出答案；(4)由對(duì)立事件的定義可知其錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于(1)，頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的高是該組的頻率與組距的比值，頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積是該組的頻率值.判斷錯(cuò)誤；對(duì)于(2),設(shè)直線

又∵直線與曲線均過點(diǎn)，于是直線與曲線相切于切點(diǎn)時(shí)，

若直線與曲線切于點(diǎn)則又

故直線的方程為或．故(2)錯(cuò)；對(duì)于(3)，若樣本的平均數(shù)是5，方差是3，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)是方差是.故(3)正確；對(duì)于(4)，擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，事件“向上點(diǎn)數(shù)不大于4”和事件“向上點(diǎn)數(shù)不小于3”不是互斥事件，因而二者不是對(duì)立事件.故（4）錯(cuò)誤.故答案為：（1）（2）（4）三、解答題.（第17小題滿分10分，其余各小題滿分12分，共70分）17.已知復(fù)數(shù)（1）若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限，求|z|的最小值．【答案】（1）m=1；（2）【解析】【分析】（1）利用純虛數(shù)的定義即可得出．（2）利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式、幾何意義即可得出．【詳解】（1）∵為純虛數(shù)，∴且∴（2）z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為由題意：∴即實(shí)數(shù)m的取值范圍是而當(dāng)時(shí)，18.已知函數(shù)（1）分別求的值；（2）歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明．【答案】（1）1；（2）1.【解析】【詳解】分析：（1）利用函數(shù)表達(dá)式，能求出的值．（2）由，利用函數(shù)性質(zhì)能證明是定值1．詳解：（Ⅰ）（Ⅱ）猜想：證明：∵，∴∴∴點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．19.已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線方程為.（I）求和的值.（II）求函數(shù)的解析式.【答案】（1）；（2）【解析】【詳解】分析：（1）利用切線方程得到斜率，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．

（2）利用點(diǎn)的坐標(biāo)切線的斜率，曲線經(jīng)過的點(diǎn)列出方程組求法即可．詳解：（1）∵f（x）在點(diǎn)M（﹣1，f（﹣1））處的切線方程為6x﹣y+7=0．故點(diǎn)（﹣1，f（﹣1））在切線6x﹣y+7=0上，且切線斜率為6．得f（﹣1）=1且f′（﹣1）=6．（2）∵f（x）過點(diǎn)P（0，2）∴d=2∵f（x）=x3+bx2+cx+d∴f′（x）=3x2+2bx+c由f′（﹣1）=6得3﹣2b+c=6又由f（﹣1）=1，得﹣1+b﹣c+d=1聯(lián)立方程得故f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程以及函數(shù)的解析式的求法，考查計(jì)算能力．20.某廠家為了了解某新產(chǎn)品使用者的年齡情況，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查100位使用者的年齡整理后畫出的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求100名使用者中各年齡組的人數(shù)，并利用所給的頻率分布直方圖估計(jì)所有使用者的平均年齡；（2）若已從年齡在的使用者中利用分層抽樣選取了6人，再從這6人中選出2人，求這2人在不同的年齡組的概率.【答案】（1）各組年齡的人數(shù)分別為：10，30，40，20，平均年齡為：37歲；（2）.【解析】【詳解】試題分析：（1）由直方圖可得各組年齡的人數(shù)，由直方圖計(jì)算平均值的方法可得平均年齡；

（2）在[35，45）的人數(shù)為4人，記為a，b，c，d；在[45，55）的人數(shù)為2人，記為m，n．列舉可得總的情況共有15種，“這兩人在不同年齡組”包含8種，由古典概型概率公式可得．試題解析：（1）由圖可得，各組年齡的人數(shù)分別為：10，30，40，20.估計(jì)所有使用者的平均年齡為：(歲）（2）由題意可知抽取的6人中，年齡在范圍內(nèi)的人數(shù)為4，記為；年齡在范圍內(nèi)的人數(shù)為2，記為.從這6人中選取2人，結(jié)果共有15種：.設(shè)“這2人在不同年齡組“為事件.則事件所包含基本事件有8種，故，所以這2人在不同年齡組的概率為.21.隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，我市居民收入逐年增長(zhǎng)，下表是我市一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲(chǔ)蓄存款（年底余額）：年份201120122013201420