6直線和圓的位置關(guān)系第1課時學(xué)習(xí)目標(biāo)準(zhǔn)備好了嗎？一起去探索吧！直線和圓的位置關(guān)系1.會判定一條直線是否是圓的切線并會過圓上一點(diǎn)作圓的切線.2.理解并掌握圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理.重點(diǎn)難點(diǎn)復(fù)習(xí)回顧ODCAB圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.切線的性質(zhì)定理：幾何語言：∵CD是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，OA是⊙O的半徑，∴CD⊥OA.作過切點(diǎn)的半徑是常用經(jīng)驗(yàn)輔助線之一.情境引入問題1：下雨天，轉(zhuǎn)動的雨傘上的水滴是順著傘的什么方向飛出去的?問題2：砂輪轉(zhuǎn)動時，火花是沿著砂輪的什么方向飛出去的?都是沿著圓的切線的方向飛出的．如何判斷一條直線是切線？合作探究l如圖，AB

是⊙O

的直徑，直線

l

與AB的夾角為∠α.當(dāng)l繞點(diǎn)

A

旋轉(zhuǎn)時，OABα（1）隨著∠α

的變化，點(diǎn)O

到

l

的距離

d

如何變化？直線

l

與⊙O

的位置關(guān)系如何變化？dll合作探究lOABαdll∠α

從90°變小到0°，再由0°變大到90°，點(diǎn)O

到

l

的距離

d

先由r

變小到0，再由0變大到r.直線

l

與⊙O

先相切，再相交，最后又相切.合作探究l如圖，AB

是⊙O

的直徑，直線

l

與AB的夾角為∠α.當(dāng)l繞點(diǎn)

A

旋轉(zhuǎn)時，OABαdll（2）當(dāng)∠α

等于多少度時，點(diǎn)O

到

l

的距離

d

等于半徑r？此時，直線

l

與⊙O

有怎樣的位置關(guān)系？為什么？合作探究lOABαdll如圖，AB

是⊙O

的直徑，直線

l

與AB的夾角為∠α.當(dāng)l繞點(diǎn)

A

旋轉(zhuǎn)時，當(dāng)∠α=90°時，點(diǎn)O

到l的距離

d

等于半徑r

.此時，直線

l與⊙O

相切.合作探究過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線的判定定理符號語言表達(dá)∵l⊥OA

，且l

經(jīng)過⊙O上的A

點(diǎn)，∴直線l

是⊙O

的切線.合作探究判斷一條直線是一個圓的切線有三個方法：1.定義法：直線和圓只有一個公共點(diǎn)時，我們說這條直線是圓的切線;2.數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時，直線與圓相切；3.判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.lAlOlrd合作探究下列各直線是不是圓的切線？如果不是，請說明為什么？O.AO.ABAO(1)(2)(3)(1)不是，因?yàn)闆]有垂直.(2),(3)不是，因?yàn)闆]有經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)A.

在此定理中，“經(jīng)過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”，兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線.注意典型例題例1已知：直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB.求證：直線AB是⊙O的切線.OBAC證明：連接OC.

∵OA＝OB,CA＝CB,

∴OC是等腰△OAB底邊AB上的中線.

∴AB⊥OC.

∵OC是⊙O的半徑,∴AB是⊙O的切線.典型例題例2、如圖,△ABC中，AB＝AC，O是BC的中點(diǎn)，⊙O與AB相切于E.求證：AC是⊙O的切線．證明：連接OE，OA,過O作OF⊥AC.∵⊙O與AB相切于E，∴OE⊥AB.又∵△ABC中，AB＝AC，O是BC的中點(diǎn)．FBOCEA∴OE＝OF.∵OE是⊙O半徑，OF=OE，OF⊥AC.∴AC是⊙O的切線．∴AO平分∠BAC，又OE⊥AB，OF⊥AC.合作探究(1)有交點(diǎn)，連半徑,證垂直;(2)無交點(diǎn)，作垂直,證半徑.證切線時輔助線的添加方法例1例2有切線時常用輔助線添加方法

見切點(diǎn)，連半徑，得垂直.切線的其他重要結(jié)論(1)經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn);(2)經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.做一做已知⊙O

上有一點(diǎn)A，過點(diǎn)A

畫⊙O

的切線.OAl合作探究

如圖是一張三角形的鐵皮，工人師傅要從中截下一塊圓形的用料，怎樣才能使截下的圓的面積盡可能大呢？探究

三角形的內(nèi)切圓合作探究問題1如果最大圓存在，它與三角形三邊應(yīng)有怎樣的位置關(guān)系？

問題:在這塊三角形鐵皮上還能截下更大的圓嗎?第一種情況ABCABC第二種情況ABC第三種情況ABC第四種情況合作探究三角形角平分線的這個性質(zhì)，你還記得嗎？問題2

如何求作一個圓，使它與已知三角形的三邊都相切？

(1)如果半徑為r的☉I與△ABC的三邊都相切，那么圓心I應(yīng)滿足什么條件？(2)在△ABC的內(nèi)部，如何找到滿足條件的圓心I呢？

圓心I到三角形三邊的距離相等，都等于r.三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)與三角形的三邊距離相等.圓心I應(yīng)是三角形的三條角平分線的交點(diǎn).為什么呢？合作探究例

已知：△ABC.求作：⊙I

，使它與△ABC

的三邊都相切.ABCEFID作法：1.分別作∠B，∠C

的平分線BE

和CF，

交點(diǎn)為

I.2.過

I

作BC

的垂線，垂足為D.3.以

I

為圓心，以

ID

的長為半徑作⊙I.⊙I

就是所求的圓.合作探究ABCEFID這樣的圓可以作出幾個?為什么?∵直線BE和CF只有一個交點(diǎn)I，并且點(diǎn)I到△ABC三邊的距離相等.∴和△ABC三邊都相切的圓可以作出一個，并且只能作一個.合作探究1.與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.B2.三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心.2.三角形的內(nèi)心就是三角形的三條角平分線的交點(diǎn).┐ACO┐┐DEF1.三角形的內(nèi)心到三角形的三邊的距離相等.⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心.定義性質(zhì)3.三角形的內(nèi)心一定在三角形的內(nèi)部4.內(nèi)心與頂點(diǎn)連線平分內(nèi)角。合作探究名稱確定方法圖形性質(zhì)外心：三角形外接圓的圓心內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)1.OA=OB=OC；2.外心不一定在三角形的內(nèi)部．三角形三條角平分線的交點(diǎn)1.到三邊的距離相等；2.OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；3.內(nèi)心在三角形內(nèi)部．ABOABCOC歸納總結(jié)典型例題銳角三角形直角三角形鈍角三角形例.如圖，已知銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，分別作出它們的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)心是否都在三角形的內(nèi)部？三角形的內(nèi)心都在三角形的內(nèi)部.典型例題當(dāng)△ABC為直角三角形，a,b為直角邊時,△ABC的內(nèi)切圓的半徑ABCOcDEr例2如圖，直角三角形的兩直角邊分別是a、b,斜邊為c，則其內(nèi)切圓的半徑r為___________（以含a、b、c的代數(shù)式表示r）.解析：過點(diǎn)O分別作AC，BC，AB的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn).F則AD=AC-DC=b-r,BF=BC-CE=a-r,因?yàn)锳F=AD，BF=BE，AF+BF=c,所以a-r+b-r=c,所以典型例題·BDEFOCA例

如圖，△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r,△ABC的周長為l,求△ABC的面積S.解：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連接OA、OB、OC、OD、OE、OF，則OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC

典型例題例.如圖，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，求∠BIC的度數(shù).解：連接IB，IC.ACI∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴IB，IC分別是∠B，∠C的平分線，B在△IBC中，練習(xí)1.如圖所示，A是☉O上一點(diǎn)，且AO=5,PO=13,AP=12,則PA與☉O的位置關(guān)系是

.APO第1題相切2.如圖，已知點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，且∠ABC=60°,∠ACB=80°,則∠BOC=

.ABCO第2題110°練習(xí)3.如圖，在△ABC中，∠A=68°，點(diǎn)I是內(nèi)心，求∠I的度數(shù).解：∵點(diǎn)Ⅰ是內(nèi)心，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB.∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB).∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-68°=112°,∴∠IBC+∠ICB=×112°=56°.∴∠BIC=180°-(∠

IBC+∠ICB)=180°-56°=124°.練習(xí)【教材P93第3題】※4．已知⊙O外一點(diǎn)P，你能用尺規(guī)過點(diǎn)Р作⊙O的切線嗎?你有幾種方法?解：能.如圖所示,作法:(1)連接OP;(2)以O(shè)P為直徑作⊙O’,與⊙О相交于A,B兩點(diǎn)