第1頁/共1頁2024－2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市賓縣一中高二（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.如果函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，那么（）A. B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：A．2.函數(shù)f(x)＝1－x＋x2的極小值為（）A.1 B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，結(jié)合極值的定義可得結(jié)果.【詳解】f′(x)＝－1＋2x＝2，令f′(x)＝0，得x＝．當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：xf′(x)－0＋f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增當(dāng)x＝時(shí)，f(x)有極小值．故選：B．3.下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)和積的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)即可．【詳解】因?yàn)?，，，，所以函?shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的是D選項(xiàng).故選：D．4.已知曲線上一點(diǎn)，記為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)可得，進(jìn)而求解.【詳解】，，所以，所以.故選：D5.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.0 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】的變號(hào)零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為所求.【詳解】由圖可知，的圖象有三個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，1個(gè)不變號(hào)零點(diǎn)，所以極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3.故選：C.6.若對(duì)任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（）A.3 B.2 C.-2 D.-3【答案】A【解析】【分析】先利用分離參數(shù)法得到對(duì)任意的恒成立.定義函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可得到答案.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，所以對(duì)任意的恒成立.令，只需..令，解得：；令，解得：；所以在上單增，在上單減，所以.所以.即實(shí)數(shù)a的最小值為3.故選：A.7.若，則以下不等式正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先構(gòu)造函數(shù)判斷出最小，再依據(jù)函數(shù)單調(diào)性去比較的大小即可解決.【詳解】令，則，由，得，由，得，即當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)取得最小值，則有，，即，，又，綜上的大小關(guān)系為.故選：A8.函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為．若，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定在R上單調(diào)遞減，不等式等價(jià)于，即，運(yùn)算得解.【詳解】令，則，，，即在R上單調(diào)遞減，又，則不等式等價(jià)于，，即，，解得.所以不等式的解集為.故選：C.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)可能取值是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】求出函數(shù)的極值點(diǎn)，分析可知，函數(shù)區(qū)間內(nèi)存在極值點(diǎn)，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋瑒t，由可得，由可得或，所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，所以，函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在極值點(diǎn)，即或，解得或，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：CD.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的有A.有唯一零點(diǎn)B.無最大值C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.為的一個(gè)極小值點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】求出函數(shù)的零點(diǎn)判斷A；利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在上的取值情況判斷B；利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性及極值情況判斷CD.【詳解】對(duì)于A，依題意，，即和是函數(shù)的零點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上遞增，當(dāng)時(shí)，，而在上遞增，值域?yàn)?，因此?dāng)時(shí)，，則無最大值，B正確；對(duì)于C，，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，令，則，即在上遞增，，則在上遞增，，因此在上遞增，即在上單調(diào)遞增，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，顯然函數(shù)在上遞增，而，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即當(dāng)時(shí)，，則，又，因此為的一個(gè)極小值點(diǎn)，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：①直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．②零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．③利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．11.對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.若是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則C.對(duì)任意都有，則D.設(shè)在定義域上有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)求導(dǎo)利用單調(diào)性求解；B選項(xiàng)令，求導(dǎo)利用單調(diào)性證明即可；C選項(xiàng)化簡構(gòu)造函數(shù)即可；D選項(xiàng)兩個(gè)不同的極值點(diǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，得到的取值，再利用極值點(diǎn)偏移即可得解.【詳解】對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)?，所以，?duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以，即，所以B正確；對(duì)于C，由題可得，對(duì)于任意，恒成立，令，，則，且，于是，解得，所以C正確；對(duì)于D，，，則，令，得，由題可知有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，所以直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，對(duì)求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)有最大值，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，由題可知，，不妨設(shè)，則，要證明，只需要證明，即證，也就是證明，令，，，，則，即在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，即，所以D正確，故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：極值點(diǎn)偏移問題的一般題設(shè)形式：1.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，求證：（為函數(shù)極值點(diǎn)）；2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；3.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值為______.【答案】【解析】【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式結(jié)合兩函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)公式得到，再代入求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值為.故答案為：13.已知函數(shù)，若有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及圖象并根據(jù)已知條件列式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，解得，所以或，，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)橛?個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為.故答案為：.14.已知，對(duì)任意的，不等式恒成立，則的最小值為_____.【答案】【解析】【分析】將已知轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意，恒成立，利用同構(gòu)思想，構(gòu)造函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化為，再線合函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立，利用參變分離，構(gòu)造函數(shù)即可求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，不等式恒成立，所以對(duì)任意的，不等式恒成立，即恒成立，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，又，所以，所以在上單調(diào)遞增，由，可得，所以對(duì)恒成立，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足.（1）求及的值；（2）求在點(diǎn)處的切線方程.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由題設(shè)，代入即可求，進(jìn)而求出.（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合（1）的結(jié)果，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出切線方程.【小問1詳解】由題設(shè)，，故，可得，所以.【小問2詳解】由（1）知：切點(diǎn)且切線斜率為，所以切線方程為，即.16.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值．【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為，的極大值為，的極小值為（2）最大值為，最小值為【解析】【分析】（1）求得，分別令，，解得范圍，即可得出的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與極值，比較即可得出函數(shù)在區(qū)間，上的最值．【小問1詳解】（1）因?yàn)?，令，可得或，和隨的變化情況如下：300單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為，的極大值為，的極小值為；【小問2詳解】由（1）可知函數(shù)在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，，，．函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為，最小值為．17.已知函數(shù)．（1）設(shè)是的極值點(diǎn)．求的值，并討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1），有兩個(gè)零點(diǎn)（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)極值點(diǎn)定義代入計(jì)算可得，得出相應(yīng)單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理可得結(jié)論；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得出其單調(diào)性求出的最小值，可證明得出結(jié)論.【小問1詳解】的定義域?yàn)椋?，由題設(shè)知，，所以，從而，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，由易知，由零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)【小問2詳解】證明：當(dāng)時(shí)，；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴是的極小值點(diǎn)，也是最小值，故當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，18.已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直．（1）求b；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線垂直斜率之積為求解即可；（2）求導(dǎo)分與大小關(guān)系討論即可；（3）由題意在上恒成立，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】，故，又斜率為1，故，解得.【小問2詳解】因?yàn)?，故，則，當(dāng)時(shí)，，故在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令有，，且，故在上，，單調(diào)遞減；在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上，，單調(diào)遞減；在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減.【小問3詳解】，由題意在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)?，故，?所以a的取值范圍為.19.函數(shù)，（），．（1）若，求函數(shù)的最小值；（2）任意時(shí)，關(guān)于x的不等式恒成立，求參數(shù)a的范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）將代入可得，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性即可求最值.（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，令，求出導(dǎo)函數(shù)，討論或，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性判斷是否