第1頁/共1頁南京師范大學(xué)附屬實驗學(xué)校2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期高二年級期末考試數(shù)學(xué)試卷分值：150分時間：120分鐘一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．請把答案直接填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集定義直接計算即可.【詳解】由題，又，故，故選：C.2.已知隨機變量，，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可得到答案.【詳解】由題意得，所以.故選：C.3.已知拋物線上一點A的橫坐標(biāo)為4，則點A到拋物線焦點的距離為（）A.5 B.6C. D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線準(zhǔn)線方程，再利用定義求解.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以點A到拋物線焦點的距離為.故選：A4.，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得的大小，根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可得的大小.【詳解】因，且在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，即；又，故．故選：C.5.3個男生2個女生站成一排，其中女生相鄰的排法個數(shù)是（）A.24 B.48 C.96 D.120【答案】B【解析】【分析】可以用捆綁法解題．【詳解】根據(jù)捆綁法，“先捆再松”.可以將女生看作一個整體與男生全排，有種，女生自身“內(nèi)排”有種，則女生相鄰的排法個數(shù)是：.故選：B.6.函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則（）A. B. C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】由求得，再由即可求解.【詳解】由題意可得，解得，則.故選：C7.若關(guān)于的不等式的解集為或，則（）A.70 B.90 C.180 D.495【答案】A【解析】【分析】利用一元二次不等式的解集與相應(yīng)的一元二次方程的根的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理求出，即可求解.【詳解】關(guān)于的不等式的解集為或，則有，得，故．故選：A．8.已知函數(shù)，則使得成立的正實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】由題意可知的定義域為，且，所以為偶函數(shù)．當(dāng)時，，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且．對于不等式成立，則，解得或，又因為，所以，即正實數(shù)的取值范圍是．故選：C．二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）．9.下列命題中，真命題有（）A.數(shù)據(jù)6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位數(shù)是8.5B.若隨機變量，則C.已知兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為；若，則；D.若，則【答案】BC【解析】【分析】對于A利用百分位數(shù)的定義即可判斷，對于B利用二項分布即可求方差，進(jìn)而判斷，對于C利用回歸方程必過樣本中心點即可判斷，對于D利用條件概率公式即可判斷.【詳解】對于A：由，所以70%分位數(shù)是，故A錯誤；對于B：由，所以，故B正確；對于C：由，所以，故C正確；對于D：，，所以，故D錯誤.故選：BC.10.下列說法正確的是（）A.若向量，則“”是“”的充分不必要條件B.命題“，都有”的否定是“，使得”C.若，則的最小值是5D.函數(shù)滿足，且，則【答案】ABD【解析】【分析】對A，根據(jù)充分必要條件的定義進(jìn)行判斷；對B，根據(jù)含量詞的命題的否定進(jìn)行判斷；對C，根據(jù)基本不等式取最值“一正、二定、三相等”進(jìn)行判斷；對D，由已知得到周期進(jìn)行計算.【詳解】對于選項A，若，則，，所以，即“”是“”的充分條件；若，則，解得或，即不一定是，所以“”不是“”的必要條件；故“”是“”的充分不必要條件，A正確；對于選項B，含量詞的命題的否定，一是改量詞，二是否定結(jié)論，這里將“”改為“”，將""改為“”，B正確；對于選項C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，而，所以，C錯誤；對于選項D，由得，即的周期為，所以，D正確；故選：ABD.11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.為偶函數(shù)D.在區(qū)間的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出參數(shù)，可得函數(shù)解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷各選項，即可得答案.【詳解】由于，由圖可得，而，故，A正確；又由圖知，則，則，結(jié)合圖象可知，故，則，B錯誤；故，則為偶函數(shù)，C正確；當(dāng)時，，則，即函數(shù)最小值為，D正確，故選：ACD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）12.已知等差數(shù)列的前n項和為，，則公差_______.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式以及求和公式，建立方程組，可得答案.【詳解】由題意可得，解得.故答案為：.13.在展開式中，常數(shù)項為__________【答案】【解析】【分析】寫出展開式通項，然后令的次數(shù)為零可求出，代入計算即可.【詳解】的展開式通項為，令，得，故常數(shù)項為.故答案為：.14.若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是______________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性建立恒成立的不等式求解.【詳解】函數(shù)在定義域為R，求導(dǎo)得，依題意，，即恒成立，而，則，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：四、解答題（本大題共5小題，共77分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知函數(shù).（1）求值；（2）若，求的值.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡，將代入計算；（2）由條件得的值，將代數(shù)式化簡成由表示，代入計算即可.【小問1詳解】，所以.【小問2詳解】，所以，.16.不等式對一切實數(shù)恒成立的的取值集合為，集合．（1）求集合；（2）若“”是“”的充分條件，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時，顯然成立；當(dāng)時，由求解即可；（2）由題設(shè)得，即在上恒成立，由解出m的取值范圍即可.【小問1詳解】當(dāng)時，顯然恒成立；當(dāng)時，不等式對一切實數(shù)都成立，則，解得．綜上，．【小問2詳解】因為“”是“”的充分條件，所以．又，即在上恒成立．令，則，解得，所以的取值范圍為．17.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C對邊，且（1）求角B的大?。唬?）若，，求b的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）要求角，已知條件是邊角混合的，因此可用正弦定理化邊為角，即得，交叉相乘后利用兩角和的正弦公式化簡可得；（2）由（1）的結(jié)論選擇面積公式可求得，再由余弦定理可求得．【詳解】（1）由正弦定理可得，，，代入已知得，即，即，故，即∵，∴，又，∴.（2）因為，∴ac=1∴＝3∴．18.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面是的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，從而得到，由正三角形的性質(zhì)可得，再利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解.【小問1詳解】在正方形中，，又側(cè)面底面，側(cè)面底面，平面，所以平面，又平面，所以，因為是正三角形，是的中點，則，又，，平面，所以平面；【小問2詳解】取中點為，中點為，連接,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,所以,設(shè)平面的法向量為，則，取，則，由（1）知是平面的一條法向量，,設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，則19.已知函數(shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且．（1）求和的解析式；（2）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性，列出方程組，即可求得答案；（2）分離參數(shù)，可得