3．3.2均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.了解均勻隨機(jī)數(shù)的意義.2.會用模擬方法(包括計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬)估計(jì)概率.3.理解用模擬方法估計(jì)概率的實(shí)質(zhì)．知識點(diǎn)均勻隨機(jī)數(shù)1．均勻隨機(jī)數(shù)的概念在隨機(jī)試驗(yàn)中，如果可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)，并且這些結(jié)果都是等可能發(fā)生的，我們就稱每一個(gè)結(jié)果為試驗(yàn)中全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域上的均勻隨機(jī)數(shù)．2．均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生(1)計(jì)算器上產(chǎn)生[0,1]的均勻隨機(jī)數(shù)的函數(shù)是RAND函數(shù)．(2)Excel軟件產(chǎn)生[0,1]區(qū)間上均勻隨機(jī)數(shù)的函數(shù)為“rand()”．3．用模擬的方法近似計(jì)算某事件概率的方法(1)試驗(yàn)?zāi)M的方法：制作兩個(gè)轉(zhuǎn)盤模型，進(jìn)行模擬試驗(yàn)，并統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果．(2)計(jì)算機(jī)模擬的方法：用Excel軟件產(chǎn)生[0,1]區(qū)間上均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬．(注意操作步驟)．4．[a，b]上均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)x＝RAND，然后利用伸縮和平移交換，x＝x1*(ba)+a就可以得到[a，b]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)，試驗(yàn)的結(jié)果是[a，b]上的任何一個(gè)實(shí)數(shù)，并且任何一個(gè)實(shí)數(shù)都是等可能出現(xiàn)的．題型一用隨機(jī)模擬法估計(jì)長度型幾何概型的概率例1取一根長度為5m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，用均勻隨機(jī)模擬方法估計(jì)剪得兩段的長都不小于2m的概率有多大？解設(shè)“剪得兩段的長都不小于2m”為事件A.方法一步驟：(1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生n個(gè)0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)，x＝RAND.(2)作伸縮變換：y＝x*(5－0)，轉(zhuǎn)化為[0,5]上的均勻隨機(jī)數(shù)．(3)統(tǒng)計(jì)出[2,3]內(nèi)均勻隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)m.(4)則概率P(A)的近似值為eq\f(m,n).方法二步驟：(1)做一個(gè)帶有指針的轉(zhuǎn)盤，把圓周五等分，標(biāo)上刻度[0,5](這里5和0重合)．(2)固定指針轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，或固定轉(zhuǎn)盤旋轉(zhuǎn)指針，記下指針在[2,3]內(nèi)(表示剪斷繩子位置在[2,3]范圍內(nèi))的次數(shù)m及試驗(yàn)總次數(shù)n.(3)則概率P(A)的近似值為eq\f(m,n).反思與感悟通過模擬試驗(yàn)求某事件發(fā)生的概率，不同于古典概型和幾何概型試驗(yàn)求概率，前者只能得到概率的近似值，后者求得的是準(zhǔn)確值．跟蹤訓(xùn)練1把[0,1]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)轉(zhuǎn)化為[－2,6]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)，需實(shí)施的變換為()A.y=8*x B.y=8*x+2C.y=8*x2 D.y=8*x+6答案C解析根據(jù)平移和伸縮變換，y＝[6－(－2)]*x＋(－2)＝8*x－2.題型二用隨機(jī)模擬法估計(jì)面積型幾何概型的概率例2利用隨機(jī)模擬方法計(jì)算如圖中陰影部分(曲線y＝2x與x軸、x＝±1圍成的部分)的面積．解(1)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)，a1＝RAND，b1＝RAND.(2)經(jīng)過平移和伸縮變換，a＝(a1－0.5)*2，……，b＝b1*2,得到一組[1，1]上的均勻隨機(jī)數(shù)和一組[0，2]上的均勻隨機(jī)數(shù).(3)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)總次數(shù)N和落在陰影內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N1(滿足b＜2a的點(diǎn)(a，b)數(shù)).(4)計(jì)算頻率eq\f(N1,N)，即為點(diǎn)落在陰影部分的概率的近似值.(5)用幾何概率公式求得點(diǎn)落在陰影部分的概率為P＝eq\f(S,4).∴eq\f(N1,N)＝eq\f(S,4)，∴S≈eq\f(4N1,N)即為陰影部分面積的近似值．反思與感悟解決本題的關(guān)鍵是利用隨機(jī)模擬法和幾何概率公式分別求得概率，然后通過解方程求得陰影部分面積的近似值．跟蹤訓(xùn)練2利用隨機(jī)模擬的方法近似計(jì)算邊長為2的正方形內(nèi)切圓的面積，如圖，并估計(jì)圓周率π的近似值．解(1)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)，a1＝RAND，b1＝RAND.(2)經(jīng)過平移和伸縮變換，a＝(a1－0.5)*2，b＝(b1－0.5)*2，得到兩組[－1,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)．(3)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)總次數(shù)N和點(diǎn)落在圓內(nèi)的次數(shù)N1(滿足a2＋b2≤1的點(diǎn)(a，b)數(shù))．(4)計(jì)算頻率eq\f(N1,N)，即為點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率．(5)設(shè)圓的面積為S，由幾何概率公式，得P＝eq\f(S,4).∴eq\f(S,4)≈eq\f(N1,N)，即S≈eq\f(4N1,N)即為圓面積的近似值．又∵S圓＝πr2＝π，∴π＝S≈eq\f(4N1,N)，即為圓周率π的近似值．題型三幾何概型的應(yīng)用問題例3甲、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過時(shí)即可離去．求兩人能會面的概率．解以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間，則兩人能夠會面的充要條件為|x－y|≤15，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系下，(x，y)的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形，而事件A“兩人能會面”的可能結(jié)果由圖中的陰影部分表示．uA＝602－452＝1575，uΩ＝602＝3600，P(A)＝eq\f(uA,uΩ)＝eq\f(1575,3600)＝eq\f(7,16).反思與感悟本題的難點(diǎn)是把兩個(gè)時(shí)間分別用x軸，y軸表示，構(gòu)成平面內(nèi)的點(diǎn)(x，y)，從而把時(shí)間這個(gè)一維長度問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問題，轉(zhuǎn)化成與面積有關(guān)的幾何概型問題．跟蹤訓(xùn)練3從甲地到乙地有一班車在9：30～10：00到達(dá)，若某人從甲地坐該班車到乙地轉(zhuǎn)乘9：45～10：15出發(fā)的汽車到丙地去，問他能趕上車的概率是多少？解記事件A＝{能趕上車}．(1)利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生兩組[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)，x1＝RAND，y1＝RAND.(2)經(jīng)過平移和伸縮變換，x=x1*0.5+9.5，y=y1*0.5+9.75，得到一組［9.5，10］，一組［9.75，10.25］上的均勻隨機(jī)數(shù).(3)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)總次數(shù)N及趕上車的次數(shù)N1(滿足x<y的點(diǎn)(x，y)數(shù)).(4)計(jì)算頻率fn(A)=eq\f(N1,N)即為能趕上車的概率的近似值.隨機(jī)變換公式的應(yīng)用例4用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生20個(gè)[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)x，但是基本事件都在區(qū)間[－1,3]上，則需要經(jīng)過的線性變換是()A．y＝3x－1 B．y＝3x＋1C．y＝4x＋1 D．y＝4x－1錯(cuò)解因?yàn)殡S機(jī)數(shù)x∈[0,1]，而基本事件都在[－1,3]上，其長度為4.由平移變換得y＝4x＋1.錯(cuò)解分析分析解題過程，你知道錯(cuò)在哪里嗎？錯(cuò)誤的根本原因是沒有考慮隨機(jī)數(shù)x的范圍，實(shí)際上要保證左端點(diǎn)從0開始，用公式“x＝x1*(b－a)+a”正解因?yàn)殡S機(jī)數(shù)x∈[0,1]，而基本事件都在區(qū)間[－1,3]上，其區(qū)間長度為4，所以把x變?yōu)?x，因?yàn)閰^(qū)間左端值為－1，所以4x再變?yōu)?x－1，故變換公式為y＝4x－1.答案D1．用均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行隨機(jī)模擬，可以解決()A．只能求幾何概型的概率，不能解決其他問題B．不僅能求幾何概型的概率，還能計(jì)算圖形的面積C．不但能估計(jì)幾何概型的概率，還能估計(jì)圖形的面積D．最適合估計(jì)古典概型的概率答案C解析很明顯用均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行隨機(jī)模擬，不但能估計(jì)幾何概型的概率，還能估計(jì)圖形的面積，但得到的是近似值，不是精確值，用均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行隨機(jī)模擬，不適合估計(jì)古典概型的概率．2．用隨機(jī)模擬方法求得某幾何概型的概率為m，其實(shí)際概率的大小為n，則()A．m>n B．m<nC．m＝n D．m是n的近似值答案D解析隨機(jī)模擬法求其概率，只是對概率的估計(jì)．3．設(shè)x是[0,1]內(nèi)的一個(gè)均勻隨機(jī)數(shù)，經(jīng)過變換y＝2x＋3，則x＝eq\f(1,2)對應(yīng)變換成的均勻隨機(jī)數(shù)是()A．0B．2C．4D．5答案C解析當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，y＝2×eq\f(1,2)＋3＝4.4．在線段AB上任取三個(gè)點(diǎn)x1，x2，x3，則x2位于x1與x3之間的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．1答案B解析因?yàn)閤1，x2，x3是線段AB上任意的三個(gè)點(diǎn)，任何一個(gè)數(shù)在中間的概率相等且都是eq\f(1,3).5．利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a－1＜0”的概率為________．答案eq\f(1,3)解析已知0≤a≤1，事件“3a－1