平均數(shù)優(yōu)秀教學課件學習目標理解平均數(shù)的基本意義掌握平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)"一般水平"的統(tǒng)計概念，了解其在日常生活和學習中的重要性。掌握算術(shù)平均數(shù)的計算方法熟練掌握算術(shù)平均數(shù)的計算公式和步驟，能夠?qū)Σ煌愋偷臄?shù)據(jù)進行平均值計算。能運用平均數(shù)解決實際問題課程導入現(xiàn)實生活中的平均數(shù)平均數(shù)無處不在，我們經(jīng)常會聽到：班級同學的平均身高是168厘米本次考試的平均分是85分中國人均GDP超過12000美元北京今年的平均氣溫比去年高1度思考：為什么要用平均數(shù)？平均數(shù)的概念平均數(shù)是用于描述一組數(shù)據(jù)的"一般水平"，是數(shù)據(jù)集中趨勢的體現(xiàn)。平均數(shù)是統(tǒng)計學中最基本、最常用的統(tǒng)計量之一，它反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。當我們無法或不需要記住全部數(shù)據(jù)時，平均數(shù)可以作為這組數(shù)據(jù)的代表值。從數(shù)學本質(zhì)上看，平均數(shù)是將總量平均分配后，每份所得的數(shù)值大小。算術(shù)平均數(shù)的定義定義將n個數(shù)據(jù)的總和除以n，所得的商就是這n個數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)。其中，x_1,x_2,\ldots,x_n表示n個數(shù)據(jù)，\bar{x}表示算術(shù)平均數(shù)。簡單理解平均數(shù)的意義代表性平均數(shù)代表了一組數(shù)據(jù)的平均狀態(tài)或水平，可以用一個數(shù)字概括整組數(shù)據(jù)的基本特征。穩(wěn)定性平均數(shù)具有一定的穩(wěn)定性，當樣本量足夠大時，平均數(shù)會趨于穩(wěn)定。敏感性變化一個數(shù)據(jù)會影響整體平均數(shù)，特別是當極端值出現(xiàn)時，平均數(shù)會受到明顯影響。小組討論每個小組舉出生活中用到平均數(shù)的例子教育領(lǐng)域班級平均成績學校升學率人均教育經(jīng)費生活領(lǐng)域家庭人均收入日均消費金額平均壽命體育領(lǐng)域運動員平均成績球隊場均得分運動員平均身高經(jīng)濟領(lǐng)域人均GDP平均工資水平平均房價計算器的使用現(xiàn)代計算器能夠大大簡化平均數(shù)的計算過程，提高效率?？茖W計算器操作步驟按"MODE"鍵，選擇"STAT"模式輸入數(shù)據(jù)：每輸入一個數(shù)據(jù)后按"DATA"或"M+"鍵輸入完所有數(shù)據(jù)后，按"SHIFT"+"1"（均值）顯示屏上會出現(xiàn)平均值簡單數(shù)據(jù)案例例：三位同學的數(shù)學成績，求平均值同學數(shù)學成績小明85分小紅92分小李78分解題步驟：求和：85+92+78=255除以人數(shù)：255÷3=85所以，三位同學的數(shù)學平均成績是85分。計算平均數(shù)是日常學習中的基本技能，能幫助我們快速了解成績的整體水平。提示：在實際計算中，要注意數(shù)據(jù)的單位必須一致，且結(jié)果要保留適當?shù)男?shù)位數(shù)。有重復數(shù)據(jù)的平均數(shù)頻數(shù)分布表的輔助作用當數(shù)據(jù)量較大且有重復值時，使用頻數(shù)分布表可以提高計算效率。數(shù)值出現(xiàn)次數(shù)(頻數(shù))數(shù)值×頻數(shù)753225805400858680904360合計201665計算步驟列出所有不同的數(shù)值統(tǒng)計每個數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)(頻數(shù))數(shù)值乘以頻數(shù)，得到貢獻值所有貢獻值相加，再除以總頻數(shù)平均數(shù)=1665÷20=83.25加權(quán)平均數(shù)引入什么是加權(quán)平均數(shù)？加權(quán)平均數(shù)是考慮各數(shù)據(jù)重要程度不同而計算的平均數(shù)，重復次數(shù)多的數(shù)據(jù)有更大的"權(quán)重"。在現(xiàn)實中，不同數(shù)據(jù)可能具有不同的重要性，我們需要通過賦予不同權(quán)重來體現(xiàn)這種差異。其中，w_i表示第i個數(shù)據(jù)的權(quán)重。例子：不同科目的平均分科目分數(shù)學分(權(quán)重)分數(shù)×學分數(shù)學905450語文854340英語803240加權(quán)平均分=(450+340+240)/(5+4+3)=1030/12=85.83算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)所有數(shù)據(jù)具有相同的權(quán)重，簡單地將總和除以數(shù)量。特點：計算簡單，適用于同等重要的數(shù)據(jù)。加權(quán)平均數(shù)不同數(shù)據(jù)有不同的權(quán)重，根據(jù)重要程度賦予不同的影響力。特點：考慮數(shù)據(jù)重要性差異，結(jié)果更具代表性。實例比較假設(shè)某學生三次考試成績：80、90、95算術(shù)平均數(shù)：(80+90+95)/3=88.33如果最后一次是期末考試，權(quán)重為2：加權(quán)平均數(shù)：(80×1+90×1+95×2)/(1+1+2)=360/4=90在實際應用中，根據(jù)具體情況選擇合適的平均數(shù)計算方法，才能得到更有意義的結(jié)果。平均數(shù)的計算步驟收集數(shù)據(jù)確保數(shù)據(jù)完整、準確，并且單位一致。例如：收集班級所有同學的身高數(shù)據(jù)，單位統(tǒng)一為厘米。求和將所有數(shù)據(jù)相加，得到總和。對于大量數(shù)據(jù)，可以使用計算器或電腦輔助計算。例如：20名同學身高總和為3360厘米。除以數(shù)量用總和除以數(shù)據(jù)的個數(shù)，得到平均數(shù)。注意結(jié)果的合理性和單位。例如：3360厘米÷20=168厘米（班級平均身高）常見誤區(qū)平均數(shù)計算雖然簡單，但在實際應用中仍存在一些常見誤區(qū)，需要特別注意。忽略單位計算平均數(shù)時，必須確保所有數(shù)據(jù)使用相同的單位。例如，不能將厘米和米直接相加求平均。數(shù)據(jù)未核對完整漏掉或重復計算某些數(shù)據(jù)會導致平均數(shù)計算錯誤。在收集大量數(shù)據(jù)時尤其需要核對數(shù)據(jù)的完整性。忽略極端值的影響極端值會顯著影響平均數(shù)，有時需要考慮是否應該排除異常值或使用其他統(tǒng)計量（如中位數(shù)）。典型例題1：基本計算題目：計算數(shù)列"4,8,12"的平均數(shù)步驟分解列出所有數(shù)據(jù)：4,8,12計算總和：4+8+12=24計算數(shù)據(jù)個數(shù)：n=3平均數(shù)=總和÷個數(shù)=24÷3=8因此，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8。驗證可以通過"平衡法"驗證結(jié)果：4比平均數(shù)8小412比平均數(shù)8大48正好等于平均數(shù)總體上，偏大的部分和偏小的部分正好平衡在這個例子中，我們可以發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：平均數(shù)恰好等于最小值和最大值的平均數(shù)。但這只適用于等差數(shù)列，一般情況下并不成立。典型例題2：分數(shù)（加權(quán)）題目：不同的人成績各不相同一個班級有25名學生，其中5人得了95分，8人得了85分，7人得了75分，其余的得了65分。求這個班級的平均分。解答：采用加權(quán)平均數(shù)方法分數(shù)人數(shù)(權(quán)重)分數(shù)×人數(shù)955475858680757525655325計算過程確定各分數(shù)段的人數(shù)：95分(5人)，85分(8人)，75分(7人)，65分(5人)計算總?cè)藬?shù)：5+8+7+5=25人計算總分：95×5+85×8+75×7+65×5=475+680+525+325=2005分平均分=總分÷總?cè)藬?shù)=2005÷25=80.2分因此，這個班級的平均分是80.2分。綜合訓練：班級平均成績思考：各科成績不同，誰影響大？當不同科目的重要性不同時，如何計算更有意義的平均成績？例題：小明的各科成績?nèi)缦拢嬎慵訖?quán)平均分科目成績學分權(quán)重成績×學分數(shù)學925460語文884352英語954380物理903270化學853255生物822164加權(quán)平均分=(460+352+380+270+255+164)/(5+4+4+3+3+2)=1881/21≈89.57如果按簡單平均，結(jié)果是88.67分，比加權(quán)平均低約0.9分。平均數(shù)在實際生活中的應用統(tǒng)計個人消費記錄每日消費，計算月均消費水平，幫助規(guī)劃預算和控制支出。例如：一周消費記錄：60元、45元、80元、35元、90元、120元、70元日均消費=(60+45+80+35+90+120+70)/7=500/7≈71.43元企業(yè)產(chǎn)量核算計算日均產(chǎn)量、月均產(chǎn)值等指標，評估生產(chǎn)效率和產(chǎn)能表現(xiàn)。例如：某工廠一周產(chǎn)量：210臺、185臺、195臺、205臺、215臺日均產(chǎn)量=(210+185+195+205+215)/5=1010/5=202臺氣象數(shù)據(jù)分析計算日均溫度、月均降水量等氣象指標，預測天氣變化趨勢。例如：一周溫度記錄：25°C、27°C、26°C、28°C、24°C、26°C、27°C日均溫度=(25+27+26+28+24+26+27)/7=183/7≈26.1°C拓展：平均速度行進中不同路段速度變化在計算平均速度時，需要注意一個重要概念：平均速度不等于各段速度的平均數(shù)。正確的平均速度計算公式為：錯誤做法：直接對速度求平均例題小明騎自行車，第一段路程5公里，速度為10公里/小時；第二段路程5公里，速度為20公里/小時。求平均速度。解答第一段時間：5÷10=0.5小時第二段時間：5÷20=0.25小時總路程：5+5=10公里總時間：0.5+0.25=0.75小時平均速度=總路程÷總時間=10÷0.75≈13.33公里/小時注意：這不等于(10+20)÷2=15公里/小時國家統(tǒng)計中的平均數(shù)國家統(tǒng)計數(shù)據(jù)中大量使用平均數(shù)，這些數(shù)據(jù)反映了國家發(fā)展水平和人民生活狀況。GDP與工資水平計算人均GDP人均GDP=國內(nèi)生產(chǎn)總值÷總?cè)丝诜从骋粋€國家或地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展水平和人民的平均財富創(chuàng)造能力。平均工資平均工資=工資總額÷就業(yè)人數(shù)反映一個地區(qū)或行業(yè)的薪資水平，但受極端值影響較大。在解讀國家統(tǒng)計數(shù)據(jù)時，需要注意平均數(shù)可能掩蓋貧富差距。例如，平均工資高不代表大多數(shù)人工資高，可能是少數(shù)高薪人士拉高了平均值。中國2022年人均GDP約為85698元人民幣，城鎮(zhèn)就業(yè)人員年平均工資為106937元。比較不同組平均數(shù)的方法單位相同可比較確保兩組數(shù)據(jù)使用相同的單位和度量標準，才能直接比較平均數(shù)的大小。例如：比較兩個班級的平均成績，前提是考試難度和標準一致。數(shù)據(jù)量不同需謹慎當兩組數(shù)據(jù)的樣本量差異很大時，平均數(shù)的可比性會降低，需要結(jié)合其他統(tǒng)計量一起分析。例如：5人小組的平均成績與50人班級的平均成績相比，可能受到個體差異的影響更大。考慮數(shù)據(jù)分布僅比較平均數(shù)可能忽略數(shù)據(jù)分布的差異，應結(jié)合方差、中位數(shù)等指標綜合分析。例如：兩個班級平均分相同，但一個班級成績分布均衡，另一個兩極分化嚴重。平均數(shù)與數(shù)據(jù)分布極端值對平均數(shù)的影響平均數(shù)容易受到極端值的影響，這是它的一個重要特性，也是使用時需要注意的問題。舉例來說，在以下數(shù)據(jù)中：5,6,7,8,9平均數(shù)=(5+6+7+8+9)/5=35/5=7如果我們將其中一個數(shù)據(jù)改為極端值：5,6,7,8,100平均數(shù)=(5+6+7+8+100)/5=126/5=25.2可以看到，僅僅一個極端值就使平均數(shù)大幅上升，不再能代表大多數(shù)數(shù)據(jù)的水平。應對策略檢查極端值是否為錯誤數(shù)據(jù)，如果是則應修正或刪除使用其他統(tǒng)計量，如中位數(shù)，它不受極端值影響在報告平均數(shù)的同時，也報告數(shù)據(jù)范圍或標準差必要時可以使用"截尾平均數(shù)"，即去掉最大和最小的若干個數(shù)據(jù)后再計算平均數(shù)極端值的調(diào)整與平均數(shù)加/減一個大數(shù)據(jù)，平均數(shù)變化顯著，這在實際數(shù)據(jù)處理中需要特別注意。例題分析某班10名學生的數(shù)學成績?nèi)缦拢?5,82,88,90,92,85,78,80,86,84計算平均分：(75+82+88+90+92+85+78+80+86+84)/10=840/10=84分情況一：加入一個高分如果加入一個100分的學生：新平均分=(840+100)/11≈85.45分情況二：加入一個低分如果加入一個60分的學生：新平均分=(840+60)/11≈81.82分結(jié)論加入極端值后，平均數(shù)會向該極端值方向偏移，偏移程度與樣本量和極端程度有關(guān)。樣本量越大，單個極端值的影響越小。系統(tǒng)練習題多組練習，現(xiàn)場計算基礎(chǔ)計算題計算以下數(shù)列的平均數(shù)：2,4,6,8,1015,25,35,45,55,659,13,17,21,25,29加權(quán)平均數(shù)題某商店銷售三種型號的電視機，A型號售價3000元，銷售5臺；B型號售價4000元，銷售8臺；C型號售價5000元，銷售3臺。求電視機的平均售價。實際應用題小明第一次考試得85分，第二次考試得92分，第三次考試得78分，如果他想使四次考試的平均分達到85分，那么第四次考試他至少需要得多少分？綜合分析題某班級30名學生參加考試，平均分為82分。已知男生20人，平均分為80分，求女生的平均分是多少？小組競賽誰先正確算出平均數(shù)競賽規(guī)則全班分為6個小組每組選派一名代表負責計算和答題教師出題后，各小組同時開始計算計算完成后舉手示意回答正確得2分，回答錯誤扣1分共5道題，得分最高的小組獲勝競賽題目示例計算以下數(shù)據(jù)的平均數(shù)：某班7個學生的身高（cm）：165,172,168,175,163,170,167一周7天的氣溫（℃）：22,25,28,26,24,23,27商店6種水果的價格（元/kg）：5.5,8.2,12.5,15.8,6.3,9.7課后作業(yè)布置鞏固所學，家庭應用實例基礎(chǔ)計算作業(yè)完成教材第56頁習題1-5，計算各組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。生活調(diào)查作業(yè)調(diào)查你家一周的日常開支，計算日均消費金額，并分析消費結(jié)構(gòu)。綜合應用作業(yè)收集班級同學本學期各科考試成績，分別計算簡單平均分和加權(quán)平均分（按學分權(quán)重），比較兩種結(jié)果的差異。思考題思考：當我們說"平均"時，是否總是指算術(shù)平均數(shù)？還有哪些其他類型的平均數(shù)？它們各有什么應用場景？作業(yè)要求請在下次課前完成所有作業(yè)計算過程必須寫清楚調(diào)查作業(yè)需要制作簡單表格有問題可以通過班級群討論知識提升：中位數(shù)與眾數(shù)平均數(shù)并非唯一代表值，中位數(shù)和眾數(shù)也是常用的集中趨勢指標算術(shù)平均數(shù)所有數(shù)據(jù)之和除以數(shù)據(jù)個數(shù)特點：受極端值影響大，計算涉及所有數(shù)據(jù)適用：數(shù)據(jù)分布較為對稱，無明顯極端值例如：成績、身高等連續(xù)型數(shù)據(jù)中位數(shù)將所有數(shù)據(jù)從小到大排列，取中間位置的數(shù)值特點：不受極端值影響，只關(guān)注中間位置適用：數(shù)據(jù)有明顯極端值或分布不對稱例如：收入、房價等容易出現(xiàn)極端值的數(shù)據(jù)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值特點：只關(guān)注頻率最高的數(shù)據(jù)，忽略其他適用：離散數(shù)據(jù)或分類數(shù)據(jù)例如：服裝尺碼、調(diào)查問卷的選項結(jié)果誤解辨析易混淆的概念一覽誤解正確理解平均數(shù)總能代表數(shù)據(jù)的典型特征當數(shù)據(jù)分布不均勻或有極端值時，平均數(shù)可能失真平均數(shù)等于最大值和最小值的平均只有在等差數(shù)列中才成立，一般情況不成立平均速度等于各段速度的平均平均速度應為總路程除以總時間平均數(shù)必須是數(shù)據(jù)集中的某個值平均數(shù)可能不是數(shù)據(jù)集中的任何一個值針對易錯案例分