第頁函數(shù)專題：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題一、二次函數(shù)的三種形式1、一般式：2、頂點(diǎn)式：若二次函數(shù)的頂點(diǎn)為，則其解析式為3、兩根式：若相應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)根為，，則其解析式為二、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值二次函數(shù)在區(qū)間上的最值，核心是函數(shù)對稱軸與給定區(qū)間的相對位置討論，一般為：對稱軸在區(qū)間的左邊、中間、右邊三種情況.設(shè)，求在上的最大值與最小值。將配方，得頂點(diǎn)為，對稱軸為（1）當(dāng)時(shí)，的最小值為，的最大值為與中的較大值；（2）時(shí)，若，由在上是增函數(shù)，則的最小值為，最大值為；若，由在上是減函數(shù)，則的最小值為，最大值為；三、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值類型1、定軸定區(qū)間型：即定二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值，其區(qū)間和對稱軸都是確定的，要將函數(shù)配方，再根據(jù)對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求其最值（可結(jié)合圖象）；2、動軸定區(qū)間型：即動二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值，其區(qū)間是確定的，而對稱軸是變化的，應(yīng)根據(jù)對稱軸在區(qū)間的左、右兩側(cè)和穿過區(qū)間這三種情況分類討論，再利用二次函數(shù)的示意圖，結(jié)合其單調(diào)性求解；3、定軸動區(qū)間型：即定二次函數(shù)在動區(qū)間上的最值，其對稱軸確定而區(qū)間在變化，只需對動區(qū)間能否包含拋物線的定點(diǎn)橫坐標(biāo)進(jìn)行分類討論；4、動軸動區(qū)間型：即動二次函數(shù)在動區(qū)間上的最值，其區(qū)間和對稱軸均在變化，根據(jù)對稱軸在區(qū)間的左、右兩側(cè)和穿過區(qū)間這三種情況討論，并結(jié)合圖形和單調(diào)性處理。題型一定二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題【例1】函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值分別是（）A．B．C．D．最小值是，無最大值【答案】C【解析】，拋物線的開口向上，對稱軸為，在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，有最小值；時(shí)，有最大值42，函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值分別是：42，．故選：C．【變式1-1】已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)開_________.【答案】【解析】由題意得：，為開口向下，對稱軸為x=2的拋物線，因?yàn)?，所以?dāng)x=2時(shí)，y有最大值，且為3，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：【變式1-2】設(shè)，則函數(shù)的最大值為______.【答案】【解析】二次函數(shù)是開口向下的，對稱軸為，∴當(dāng)時(shí)，；故答案為：.【變式1-3】函數(shù)在上的最大值是______________．【答案】6【解析】二次函數(shù)對稱軸為，故原函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由對稱性知在時(shí)取最大值，故答案為：6題型二定二次函數(shù)在動區(qū)間上的最值問題【例2】已知函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間和值域；（2）設(shè)函數(shù)在的最小值為，求的表達(dá)式.【答案】（1）【解析】（1）可知函數(shù)的對稱軸為，開口向上，∴當(dāng)[-1,]時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)[,3]時(shí)，單調(diào)遞增，∴，，綜上，的單調(diào)遞減區(qū)間為[-1,]，單調(diào)遞增區(qū)間為，值域?yàn)閇,12]；（2）對稱軸為，開口向上，當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞增，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，∴，綜上，.【變式2-1】已知二次函數(shù)滿足，且（1）求的解析式.（2）求在，的最小值，并寫出的函數(shù)的表達(dá)式.【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，【解析】（1）設(shè)，，又，，由知，（2），對稱軸為：，故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故在處取得最小值，，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，故在處取得最小值，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得最小值，，所以【變式2-2】函數(shù)f(x)＝－x2＋4x－1在區(qū)間[t，t＋1](t∈R)上的最大值為g(t)．（1）求g(t)的解析式；（2）求g(t)的最大值．【答案】（1）g(t)＝；（2）3.【解析】（1）f(x)＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.當(dāng)，即時(shí)，f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上為增函數(shù)，∴g(t)＝f(t＋1)＝－t2＋2t＋2；當(dāng)，即時(shí)，g(t)＝f（2）＝3；當(dāng)時(shí)，f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上為減函數(shù)，∴g(t)＝f(t)＝－t2＋4t－1.綜上所述，g(t)＝（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.∴g(t)的最大值為3.【變式2-3】二次函數(shù)，且的解集為.（1）求a的值；（2）求在區(qū)間上的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)榈慕饧癁榧矗?是方程的兩根，所以，即；（2）由于的圖象開口向下，且對稱軸為，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上，.題型三動二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題【例3】已知函數(shù)．求在上的最大值與最小值．【解析】函數(shù)的對稱軸為，①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)y取得最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為．②當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為．③當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)a時(shí)，函數(shù)取得最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為．④當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為【變式3-1】已知函數(shù)R)．當(dāng)時(shí)，設(shè)的最大值為，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，故在上遞增，在上遞減，當(dāng)，則上遞減，故最大值，當(dāng)，則最大值，當(dāng)，則上遞增，故最大值，綜上，的最小值為.故選：C【變式3-2】已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）若函數(shù)的最小值為a，求實(shí)數(shù)a的值.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)的對稱軸為直線，∵，∴.∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?（2）易知函數(shù)的圖像開口向上，對稱軸為直線，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴，即，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，∴，即，不滿足題意；③當(dāng)時(shí)，，∴，∴，解得或（舍），綜上，或.【變式3-3】已知函數(shù)，.（1）求的最小值；（2）若的最小值是，求實(shí)數(shù)a的值.【解析】（1），對稱軸為，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則；綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）的最小值是，由（1）得，，且或，解得.題型四動二次函數(shù)在動區(qū)間上的最值問題【例4】函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求的表達(dá)式.【答案】【解析】由題意可知，二次函數(shù)的開口向下，對稱軸方程為∵，∴，即【變式4-1】已知二次函數(shù)，設(shè)對任意的，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】若對任意的，恒成立，即當(dāng)時(shí)，∵二次函數(shù)，∴函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，且開口向上，分以下三種情況討論：=1\*GB3①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，即，解得或，因?yàn)?，所以?2\*GB3②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，因?yàn)?，所以不等式無解；=3\*GB3③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，即，解得或，因?yàn)?，所以；綜上可知，的取值范圍為【變式4-2】設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，最小值為，求與的表達(dá)式.【答案】，【解析】函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，開口向上，對稱軸為分以下四種情況求最值：=1\*GB3①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，；=2\*GB3②當(dāng)，且，即時(shí)，在單調(diào)遞增，所以，；=3\*GB3③當(dāng)，且，即時(shí)，在單調(diào)遞減，所以，=4\*GB3④當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，；綜上知，在的最大值與最小值分別為：，題型五逆向型二次函數(shù)最值問題【例5】若函數(shù)在上最小值為，求的值.【答案】a=1【解析】函數(shù)圖象的對稱軸為，圖象開口向上，（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增．則，由，得，不符合；（2）當(dāng)時(shí)．則，由，得或，，符合；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，由，得，，不符合，綜上可得．【變式5-1】若二次函數(shù)在時(shí)的最大值為3，那么m的值是________．【答案】或##或【解析】，拋物線開口向下，拋物線的對稱軸為，①當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)最大值為3，，解得：（舍去）；②當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)最大值為3，，解得：．③當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)最大值為3，，解得（舍去）或，綜上所述，或.故答案為：或【變式5-2】若函數(shù)在上的最小值為．則____．【答案】1【解】函數(shù)圖象的對稱軸為，圖象開口向上，（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，由，得，不符合；（2）當(dāng)時(shí)．則，由，得或，，∴符合；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，由，得，，不符合，綜上可得．故答案為：1【變式5-3】已知函數(shù)在上恒大于或等于，其中實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)的范圍.【答案】【解析】，（1）若時(shí)，在上是減函數(shù)，令，，即，當(dāng)時(shí)，，，若解得，與矛盾；當(dāng)即時(shí)，令解得或，所以；（2）若即解得，與矛盾；（3）若，則，與矛盾；綜上所述：.【變式5-4】一次函數(shù)是R上的增函數(shù)，且，（1）求；（2）若在單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，有最大值13，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】（1）；（2）；（3）或.【解析】（1）∵一次函數(shù)是R上的增函數(shù)，設(shè)．則，，解得或不合題意，舍去．．（2）由（1）得，，因?yàn)閷ΨQ軸方程為，根據(jù)題意可得，解得．的取值范圍為．（3）＝2x2+