第頁(yè)2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式一、一元二次不等式的相關(guān)概念1、定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式2、一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)）3、一元二次不等式的解集使某一個(gè)一元二次不等式成立的x的值，叫作這個(gè)一元二次不等式的解；一元二次不等式的所有解組成的集合，叫作這個(gè)一元二次不等式的解集；將一個(gè)不等式轉(zhuǎn)化為另一個(gè)與它解集相同的不等式，叫作不等式的同解變形。二、一元二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地，對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)．三、二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖像與軸的位置關(guān)系也分為三種情況.因此我們分三種情況來(lái)討論一元二次不等式或的解集.判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??四、解一元二次不等式的步驟第一步：先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；第二步：寫(xiě)出相應(yīng)的方程，計(jì)算判別式：①時(shí)，求出兩根，且（注意靈活運(yùn)用因式分解和配方法）；②時(shí)，求根；③時(shí)，方程無(wú)解第三步：根據(jù)不等式，寫(xiě)出解集.五、含參數(shù)的一元二次不等式討論依據(jù)1、對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行大于0，小于0，等于0分類討論；2、當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí)，再對(duì)判別式進(jìn)行大于0，小于0，等于0的分類討論；3、當(dāng)判別式大于0時(shí)，再對(duì)兩根的大小進(jìn)行討論，最后確定出解集。題型一解不含參數(shù)一元二次不等式【例1】的解集為（）A．B．或C．D．【答案】B【解析】因?yàn)闀r(shí)，解得或，所以的解集為或.故選：B.【變式1-1】不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，解得：.故選：C.【變式1-2】不等式的解集是（）A．RB．C．或D．【答案】B【解析】由題意得所求，令，為開(kāi)口向上的拋物線，，所以恒成立，所以不成立，故的解集為.故選：B【變式1-3】不等式的解集是（）A．B．C．或D．【答案】D【解析】原式化為，即，故不等式的解集為.故選:D【變式1-4】不等式的解集為（）A．B．或C．D．或【答案】B【解析】依題意可得，故，解得或，所以不等式的解集為或故選：B．【變式1-5】求下列不等式的解集：（1）；（2）；（3）；【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1），解得：不等式解集為：.（2），整理得：，即解得：，不等式解集為：.（3），整理得：，故不等式再實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解，不等式解集為：.題型二解含參數(shù)一元二次不等式【例2】解關(guān)于的不等式：【解析】方程的解為，，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.【變式2-1】解關(guān)于x的不等式【解析】關(guān)于x的不等式，可化為（1）當(dāng)時(shí)，，解得．（2）當(dāng)，所以所以方程的兩根為-1和，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為或}，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為．當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為或}．（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)榉匠痰膬筛鶠椤?和，又因?yàn)?，所以．即不等式的解集是，綜上所述：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為當(dāng)時(shí)，不等式的解集為當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或當(dāng)時(shí)，不等式的解集為當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或}.【變式2-2】（多選）下列關(guān)于不等式的解集討論正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，的解集為B．當(dāng)時(shí)，的解集為C．當(dāng)時(shí)，的解集為D．無(wú)論a取何值時(shí)，的解集均不為空集【答案】CD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，原不等式為，解得，故A不正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，原不等式為，解得或，故B不正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，原不等式為，解得或，故C正確；對(duì)于D，由二次函數(shù)，開(kāi)口向上，所以無(wú)論a取何值時(shí)，不等式均有解，故D正確；故選：CD.【變式2-3】（多選）已知關(guān)于的一元二次不等式，其中，則該不等式的解集可能是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】不等式變形為，又，所以，時(shí)，不等式解集為空集；，，時(shí)，，因此解集可能為ABD．【變式2-4】設(shè)關(guān)于x的一元二次不等式與的解集分別為與，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】的解集為，則的解集為R.的解集為，則的解集為，轉(zhuǎn)化為所以不等式的解集為.故選：B.題型三由一元二次不等式的解確定參數(shù)【例3】關(guān)于的不等式的解集為空集，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．B．C．或D．【答案】A【解析】因不等式的解集為空集，則當(dāng)時(shí)，不成立，因此，滿足題意，當(dāng)時(shí)，必有，解得，綜上得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是：.故選：A【變式3-1】已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集是（）A．或B．C．或D．【答案】B【解析】由題意得，即，所以，即，解得．故選：B【變式3-2】若關(guān)于x的不等式的解集為，則ab的值為（）A．1B．2C．3D．－1【答案】A【解析】由題意知，解得，故選：A．【變式3-3】已知關(guān)于x的不等式的解集為M，若，則a的取值范圍為（）A．[－2，4]B．（－2，4）C．D．【答案】A【解析】由于，所以，即，解得，所以的取值范圍是.故選：A【變式3-4】若關(guān)于x的不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】不等式，即，當(dāng)時(shí)，不等式解集為，此時(shí)要使解集中恰有3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)只能是4，5，6，故；當(dāng)時(shí)，不等式解集為，此時(shí)不符合題意；當(dāng)時(shí)，不等式解集為，此時(shí)要使解集中恰有3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)只能是0，1，2，故；故實(shí)數(shù)m的取值范圍為．故選：C題型四一元二次不等式恒成立與有解問(wèn)題【例4】已知關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，該不等式為，成立；當(dāng)時(shí)，要滿足關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，只需，解得，綜上所述，的取值范圍是，故選：A.【變式4-1】若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立恒成立，恒成立故，解之得：故選：A【變式4-2】對(duì)任意的，恒成立，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，由得：，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），，解得：，即的取值范圍為.故選：D.【變式4-3】命題“存在，”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【解析】由于“存在，”為假命題，所以“”，為真命題，所以在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，所以.【變式4-4】已知命題“，”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A．B．