帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)考情透析考情透析命題點(diǎn)考頻分析命題特點(diǎn)核心素養(yǎng)帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)2024年：重慶T14廣西T5甘肅T15湖北T7河北T102023年：湖南T6全國(guó)甲T72022年：遼寧T8浙江6月T22本專題主要考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)，主要分為帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)（包括臨界極值問(wèn)題）、帶電粒子束在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)（放縮圓、磁聚焦、磁擴(kuò)散類問(wèn)題）、帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題（周期性造成的多解）等。高考常常結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行考查，對(duì)學(xué)生分析推理能力、綜合應(yīng)用能力要求較高。物理觀念：掌握帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的基本概念，以及半徑和周期的計(jì)算?？茖W(xué)思維：能夠根據(jù)具體問(wèn)題構(gòu)建出不同的物理模型，并對(duì)不同的模型進(jìn)行分析推理。帶電粒子束在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題熱點(diǎn)熱點(diǎn)突破命題點(diǎn)命題點(diǎn)1帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)▼考題示例1（2023·北京·模擬題）（多選）地磁場(chǎng)可以減少宇宙射線中帶電粒子對(duì)地球上生物體的危害。為研究地磁場(chǎng)，某研究小組模擬了一個(gè)地磁場(chǎng)，如圖所示，模擬地球半徑為R，赤道剖面外地磁場(chǎng)可簡(jiǎn)化為包圍地球、厚度為d、方向垂直該剖面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B），d＝2R。磁場(chǎng)邊緣某處（未畫出）有一粒子源，可在赤道平面內(nèi)以不同速度向各個(gè)方向射入某種帶正電粒子。研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)粒子速度為2v時(shí)，沿半徑方向射入磁場(chǎng)的粒子恰不能到達(dá)模擬地球。不計(jì)粒子重力及大氣對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)的影響，且不考慮相對(duì)論效應(yīng)。則（）A．粒子的比荷B．粒子的比荷C．速度為v的粒子，到達(dá)模擬地球的最短時(shí)間為D．速度為v的粒子，到達(dá)模擬地球的最短時(shí)間為答案：AD解析：AB、其軌跡如圖甲所示（和地球相切）：設(shè)該粒子軌跡半徑為r，則根據(jù)幾何關(guān)系：，解得：，又根據(jù)題意有：，聯(lián)立以上可得，，故A正確，B錯(cuò)誤；CD、速度為v的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)有：，于是得到：，若要時(shí)間最短，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)最短，則從A點(diǎn)射入，在交點(diǎn)E到達(dá)地球的弦長(zhǎng)最短，時(shí)間最短，如圖乙所示，AD＝DE＝2R，故∠ADE＝60°，則，故C錯(cuò)誤，D正確。跟蹤訓(xùn)練1（2024·河北·歷年真題）（多選）如圖，真空區(qū)域有同心正方形ABCD和abcd，其各對(duì)應(yīng)邊平行，ABCD的邊長(zhǎng)一定，abcd的邊長(zhǎng)可調(diào)，兩正方形之間充滿恒定勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于正方形所在平面。A處有一個(gè)粒子源，可逐個(gè)發(fā)射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿AD方向進(jìn)入磁場(chǎng)。調(diào)整abcd的邊長(zhǎng)，可使速度大小合適的粒子經(jīng)ad邊穿過(guò)無(wú)磁場(chǎng)區(qū)后由BC邊射出。對(duì)滿足前述條件的粒子，下列說(shuō)法正確的是（）A．若粒子穿過(guò)ad邊時(shí)速度方向與ad邊夾角為45°，則粒子必垂直BC射出B．若粒子穿過(guò)ad邊時(shí)速度方向與ad邊夾角為60°，則粒子必垂直BC射出C．若粒子經(jīng)cd邊垂直BC射出，則粒子穿過(guò)ad邊的速度方向與ad邊夾角必為45°D．若粒子經(jīng)bc邊垂直BC射出，則粒子穿過(guò)ad邊時(shí)速度方向與ad邊夾角必為60°答案：ACD解析：AC．根據(jù)幾何關(guān)系可知，若粒子穿過(guò)ad邊時(shí)速度方向與ad邊夾角為45°，則粒子必經(jīng)過(guò)cd邊，作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圖，如圖甲所示，粒子從C點(diǎn)垂直于BC射出，故AC正確；BD．若粒子穿過(guò)ad邊時(shí)速度方向與ad邊夾角為60°時(shí)，若粒子從cd邊再次進(jìn)入磁場(chǎng)，作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙所示，則粒子不可能垂直BC射出；若粒子從bc邊再次進(jìn)入磁場(chǎng)，作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖丙所示，則粒子一定垂直BC射出，故B錯(cuò)誤、D正確。故選ACD?？偨Y(jié)升華帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的臨界極值問(wèn)題的處理方法：（1）從關(guān)鍵詞找突破口：題干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脫離”等詞語(yǔ)對(duì)臨界狀態(tài)給以暗示，審題時(shí)，一定要抓住這些特定的詞語(yǔ)挖掘其隱含的規(guī)律，找出臨界條件。（2）數(shù)學(xué)方法和物理方法的結(jié)合：如利用“矢量圖”“邊界條件”等求臨界值，利用“三角函數(shù)”“不等式的性質(zhì)”“二次方程的判別式”等求極值。（3）四個(gè)重要結(jié)論①剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切。②當(dāng)速度v一定時(shí)，弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)；③當(dāng)速率v變化時(shí)，圓心角越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)。④在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，當(dāng)帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圓半徑大于區(qū)域圓半徑時(shí)，則入射點(diǎn)和出射點(diǎn)為磁場(chǎng)直徑的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，軌跡對(duì)應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角最大（所有的弦長(zhǎng)中直徑最長(zhǎng)）。命題點(diǎn)命題點(diǎn)2帶電粒子束在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)▼考題示例2（2023·安徽省·模擬題）如圖所示，在真空中，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，一束質(zhì)子在紙面內(nèi)以相同的速度射向磁場(chǎng)區(qū)域，質(zhì)子的電荷量為e，質(zhì)量為m，速度為，則以下說(shuō)法正確的是（）A．對(duì)著圓心入射的質(zhì)子的出射方向的反向延長(zhǎng)線不一定過(guò)圓心B．從a點(diǎn)比從b點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)的質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間短C．所有質(zhì)子都在磁場(chǎng)邊緣同一點(diǎn)射出磁場(chǎng)D．若質(zhì)子以相等的速率從同一點(diǎn)沿各個(gè)方向射入磁場(chǎng)，則它們離開磁場(chǎng)的出射方向可能垂直答案：C解析：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛侖茲力提供：，將代入，求得r＝R，即磁場(chǎng)圓的半徑與質(zhì)子軌跡圓的半徑相等。A．對(duì)著圓心射入的質(zhì)子，由幾何關(guān)系知該質(zhì)子最后從O點(diǎn)的正下方C點(diǎn)射出磁場(chǎng)，其出射方向的反向延長(zhǎng)線必過(guò)圓心，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤。BC．假設(shè)從任意點(diǎn)E水平射入的質(zhì)子，其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為D，連接EOCD構(gòu)成如圖所示的四邊形，由于DE∥OC，且DE＝OC，則四邊形DEOC是平行四邊形，所以DC＝OE＝R，所以從任意點(diǎn)E水平入射的質(zhì)子也從O點(diǎn)的正下方C射出，故C正確；由于從a點(diǎn)入射的質(zhì)子比從b點(diǎn)入射的質(zhì)子偏轉(zhuǎn)角大，根據(jù)（θ為運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角）可知，從a點(diǎn)入射的質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間長(zhǎng)，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤。D、由于質(zhì)子的速率，則質(zhì)子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑仍為R；假設(shè)這些質(zhì)子從O點(diǎn)正下方的C點(diǎn)從不同方向射入磁場(chǎng)，則這些質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過(guò)程可以看成題中的質(zhì)子束運(yùn)動(dòng)的逆過(guò)程，由此可知這些質(zhì)子從磁場(chǎng)出射時(shí)都是相互平行的；由此擴(kuò)展來(lái)看，質(zhì)子以相等的速率從同一點(diǎn)沿各個(gè)方向射入磁場(chǎng)，則它們離開磁場(chǎng)的出射方向一定是相互平行的，不可能出現(xiàn)垂直的情況，故D錯(cuò)誤。故選C。跟蹤訓(xùn)練2（2023·四川·模擬題）如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，圖中虛線為磁場(chǎng)的邊界，其中bc段是半徑為R的四分之一圓弧，ab、cd的延長(zhǎng)線通過(guò)圓弧的圓心，Ob長(zhǎng)為R。一束質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子，在紙面內(nèi)以不同的速率從O點(diǎn)垂直ab射入磁場(chǎng)，已知所有粒子均從圓弧邊界射出，其中M、N是圓弧邊界上的兩點(diǎn)，不計(jì)粒子間的相互作用和重力。則下列分析中正確的是（）A．粒子帶負(fù)電B．從M點(diǎn)射出粒子的速率一定大于從N點(diǎn)射出粒子的速率C．從M點(diǎn)射出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間一定小于從N點(diǎn)射出粒子所用時(shí)間D．所有粒子所用最短時(shí)間為答案：D解析：A．粒子做逆時(shí)針的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)左手定則，可知粒子帶正電，A錯(cuò)誤；B．根據(jù)得，從M點(diǎn)射出粒子的圓周半徑更小，則速度更小，B錯(cuò)誤；CD．解法一：由，粒子周期不變，圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)，由幾何關(guān)系可知，弦切角等于圓心角的一半，當(dāng)弦切角越小，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短，如圖：當(dāng)弦與bc圓弧邊界相切時(shí)，弦切角最小。Ob等于R，由幾何關(guān)系，此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角為120°，則最短時(shí)間為，M、N兩點(diǎn)具體位置未知，則無(wú)法判斷從M點(diǎn)射出粒子所用時(shí)間和從N點(diǎn)射出粒子所用時(shí)間的大小關(guān)系，C錯(cuò)誤，D正確。解法二：設(shè)圓弧邊界的圓心為A，質(zhì)子打在圓弧邊界上的落點(diǎn)為E，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為P點(diǎn)，則過(guò)A點(diǎn)做OE弦的垂線AH，如圖所示2α＋θ＝180°，α越大，則θ越小，由幾何關(guān)系sinα＝＝，則E在圓周上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)OE恰好與圓A相切時(shí)，AH最大，此時(shí)AH＝R，故可得α＝30°，所以θ最小值為120°，則最短時(shí)間為，M、N兩點(diǎn)具體位置未知，則無(wú)法判斷從M點(diǎn)射出粒子所用時(shí)間和從N點(diǎn)射出粒子所用時(shí)間的大小關(guān)系，C錯(cuò)誤，D正確。故選D?？偨Y(jié)升華帶電粒子束在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的幾種特殊情況：1．磁聚焦和磁發(fā)散（1）磁發(fā)散：帶電粒子從圓形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)邊界上同一點(diǎn)射入，如果軌跡半徑與磁場(chǎng)半徑相等，則粒子出射方向與入射點(diǎn)的切線方向平行。（2）磁聚集：帶電粒子平行射入圓形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如果軌跡半徑與磁場(chǎng)半徑相等，則粒子從磁場(chǎng)邊界上同一點(diǎn)射出，該點(diǎn)切線與入射方向平行。2．動(dòng)態(tài)放縮法當(dāng)帶電粒子射入磁場(chǎng)的方向確定，但射入時(shí)的速度v的大小或磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小變化時(shí)，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R隨之變化。在確定粒子運(yùn)動(dòng)的臨界情景時(shí)，可以以入射點(diǎn)為定點(diǎn)，將軌道半徑放縮，作出一系列的軌跡，從而探索出臨界條件。如圖所示，粒子進(jìn)入長(zhǎng)方形區(qū)域OABC，從BC邊射出的臨界情景為②和④。3．定圓旋轉(zhuǎn)法當(dāng)帶電粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度v大小一定，但方向變化時(shí)，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R是確定的。在確定粒子運(yùn)動(dòng)的臨界情景時(shí)，可以以入射點(diǎn)為定點(diǎn)，將軌跡圓旋轉(zhuǎn)，作出一系列軌跡，從而探索出臨界條件。粒子進(jìn)入單邊界磁場(chǎng)時(shí)的情景如圖所示。命題點(diǎn)命題點(diǎn)3帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題▼考題示例3（2022·河南省·模擬題）如圖所示，圓心為O、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，A、B、C三點(diǎn)為圓形區(qū)域邊緣上的三等分點(diǎn)，三點(diǎn)外沿半徑方向的極窄區(qū)域存在電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E（圖中未畫出）、方向與過(guò)三點(diǎn)的磁場(chǎng)邊緣的切線垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為－q的帶電粒子從A點(diǎn)沿著半徑方向射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力，求：（1）若粒子恰從A點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)又返回A點(diǎn)，求粒子首次返回A點(diǎn)所用的時(shí)間；（2）現(xiàn)改變粒子從A點(diǎn)入射速度的大小，同時(shí)將圓形區(qū)域外的電場(chǎng)改為輻射狀沿圓形區(qū)域半徑向外的電場(chǎng)，使粒子仍能返回A點(diǎn)，求粒子首次返回A點(diǎn)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（粒子沒(méi)有越過(guò)A點(diǎn)）。答案：（1）（2）（n＝3，4??）解析：（1）帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系知粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為：r＝帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的速率為v，周期為T，由牛頓第二定律知：Bvq＝由圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律知：T＝粒子在磁場(chǎng)中由A到B的過(guò)程中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為，對(duì)應(yīng)的時(shí)間t′＝，由對(duì)稱性可知，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1＝3t′解得t1＝，v＝粒子運(yùn)動(dòng)到B、C兩點(diǎn)后先在電場(chǎng)中做勻減速直線運(yùn)動(dòng)再反向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)進(jìn)入磁場(chǎng)，加速度為：a＝，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律知，粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t2＝＝則粒子從A點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到返回A點(diǎn)所用的時(shí)間t＝t1＋t2＝；（2）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)n（n≥3）段相同的圓弧后返回A點(diǎn)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的第一段圓弧的軌跡如圖所示，由圖可知：β＝（n＝3，4??），α＝π－β則粒子從A點(diǎn)出發(fā)到首次返回A點(diǎn)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝＝解得t＝（n＝3，4??）跟蹤訓(xùn)練3（2023·全國(guó)·模擬題）如圖所示，紙面內(nèi)有互相垂直的虛線邊界PA、QA，且PA與水平方向夾角為45°，在PAQ上方和下方存在方向相反、大小相等的勻強(qiáng)磁場(chǎng)?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q（q＞0）的粒子從P點(diǎn)沿PQ方向以初速度v0射出。已知AP＝AQ＝L，不計(jì)粒子重力。（1）若僅經(jīng)兩側(cè)磁場(chǎng)各一次偏轉(zhuǎn)，使粒子從P經(jīng)A到Q，求此時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B0的大小及該過(guò)程粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；（2）若保持粒子入射速度不變，兩側(cè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可以調(diào)整（保持兩側(cè)磁場(chǎng)大小始終相等），則為使粒子能始終從P經(jīng)A到Q，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小應(yīng)滿足的條件。答案：（1）（2）（n＝1，2，3，?）解析：（1）如圖所示，設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為r，由幾何關(guān)系知：2r2＝L2由牛頓第二定律知：qv0B0＝聯(lián)立解得：B0＝兩側(cè)的圓弧剛好是一個(gè)圓周，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝＝（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，粒子能從P經(jīng)A到達(dá)Q，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)每次偏轉(zhuǎn)圓弧對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)為x，由圖可得L＝nx（n＝1，2，3，?）由幾何關(guān)系知，偏轉(zhuǎn)圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為或。設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)