人教B版高二寒假作業(yè)7：綜合訓(xùn)練卷1一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.(2024·廣西壯族自治區(qū)河池市·聯(lián)考題)如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1A.?12a+b+12c2.(2024·湖北省·模擬題)給出下列隨機(jī)變量：①某十字路口15?min內(nèi)通過的汽車數(shù)N；②某水文站一天中觀測到的長江水位X；③一個沿數(shù)軸隨機(jī)運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，它在數(shù)軸上的位置X；④某人射擊一次，中靶的環(huán)數(shù)N.其中是離散型隨機(jī)變量的為(

)A.①② B.①④ C.②③ D.③④3.設(shè)復(fù)數(shù)3?i2017在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為A，過原點(diǎn)和點(diǎn)AA.π6 B.?π6 C.24.(2024·江西省·同步練習(xí))A85+A.527 B.2554 C.3105.(2024·湖北省武漢市·月考試卷)1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子兵法》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲，西方人稱之為“中國剩余定理”.現(xiàn)有這樣一個問題：將1到200中被3整除余1且被4整除余2的數(shù)，按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，則aA.130 B.132 C.140 D.1446.(2024·安徽省·期中考試)某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)，且函數(shù)解析式為y1=17x2(x>0)，生產(chǎn)成本y2(萬元)是產(chǎn)量A.6千臺 B.7千臺 C.8千臺 D.9千臺7.(2024·江蘇省常州市·期中考試)已知曲線C:x2+y22A.曲線C的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱

B.a=9時，曲線C經(jīng)過4個整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))

C.若a=9時，直線y=kx與曲線C只有一個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為?∞,?1∪1,+∞

D.若a=4時，直線y=kx與曲線C只有一個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k8.(2024·山東省青島市·期末考試)數(shù)列{an}，{bn}滿足bn+1+bn≠0，an=b?n2，且a1=b1=1，且A.?23 B.?2936 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.(2024·湖北省黃石市·月考試卷)某企業(yè)節(jié)能降耗技術(shù)改造后，在生產(chǎn)某產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量X(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗Y(噸)的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)如表，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有個數(shù)據(jù)看不清.已知線性回歸方程為Y=6X+8，下列說法正確的是(

)X23456Y1925?3844A.看不清的數(shù)據(jù)?的值為34

B.x，y具有正相關(guān)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)r=6

C.第三個樣本點(diǎn)對應(yīng)的殘差e3=2

D.據(jù)此模型預(yù)測產(chǎn)量為7噸時，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗約為10.(2024·湖北省黃石市·月考試卷)已知曲線C：x2m+A.若m>n>0，則C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

B.若m=2n(n>0)，則C是橢圓，且其離心率32

C.若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線程為y=±?nmx

D.若11.(2024·廣東省云浮市·調(diào)研試卷)很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個棱數(shù)為24，棱長為2的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得，則(

)

A.該半正多面體的體積為203

B.A，C，D，F(xiàn)四點(diǎn)共面

C.該半正多面體外接球的表面積為12π

D.若點(diǎn)E為線段BC上的動點(diǎn)，則直線DE與直線AF所成角的余弦值的取值范圍為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(2024·上海市市轄區(qū)·模擬題)設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，···，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，···，13.(2024·遼寧省·月考試卷)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n3?n,n∈N?，該數(shù)列中個位數(shù)字為0的項(xiàng)按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列14.(2024·江蘇省·月考試卷)若不等式mx2?emxlnx≥0對x∈(0,1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(2024·廣東省·月考試卷)(本小題13分)

為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對本班48人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下列聯(lián)表：性別打籃球合計(jì)喜愛不喜愛男生6女生10合計(jì)48已知在全班48人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為23．

(1)請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整(不用寫計(jì)算過程)；

(2)根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否據(jù)此推斷喜愛打籃球與性別有關(guān)？

(3)現(xiàn)從女生中抽取2人進(jìn)一步調(diào)查，設(shè)其中喜愛打籃球的女生人數(shù)為X，求X的分布列與均值．

附：χ2=α0.1000.0500.0100.001x2.7063.8416.63510.82816.(2024·浙江省·單元測試)(本小題15分)如圖，在三棱錐P?ABC中，△PAC是正三角形，AC⊥BC，AC=BC=2，D是AB的中點(diǎn)．(1)證明：AC⊥PD；(2)若二面角P?AC?D為150°，求直線BC與平面PAB所成角的正弦值．17.(2024·江蘇省宿遷市·月考試卷)(本小題15分)已知數(shù)列an，bn，滿足a1=b(1)求數(shù)列an，b(2)記cn=bn18.(2024·遼寧省·模擬題)(本小題17分)已知函數(shù)fx=ax，其中(1)當(dāng)a=2時，求?x(2)曲線y=?x與直線y=1有且僅有兩個交點(diǎn)，求a的取值范圍．19.(2024·山東省青島市·月考試卷)(本小題17分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓C1:x+32+y2=16的圓心為點(diǎn)C1，點(diǎn)C2與C1關(guān)于原點(diǎn)對稱，C2關(guān)于直線l0(1)求曲線D的方程；(2)設(shè)不經(jīng)過C1的直線l:y=kx+m與曲線D交于兩個不同點(diǎn)A，B，直線AC1，l，BC1的斜率依次成等差數(shù)列，記點(diǎn)C2到直線l的距離為d，直線l上兩點(diǎn)P，Q的縱坐標(biāo)之差為1.【答案】B

【解析】【分析】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，棱柱的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題．

利用向量運(yùn)算的三角形法則、平行四邊形法則表示出AM即可．【解答】

解：在長方體ABCD?A1B1C1D1因?yàn)锳B=a，AD=則A1B1所以AM=c故選：B．2.【答案】B

【解析】【分析】本題考查離散型隨機(jī)變量的概念，屬于簡單題．隨機(jī)變量是在隨機(jī)事件中出現(xiàn)的變量，在判斷一個隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量時，觀察它所對應(yīng)的事件結(jié)果是否是離散的、可列舉的即可．【解答】解：①某十字路口15?min內(nèi)通過的汽車數(shù)N，可以一一列舉出來，是離散型隨機(jī)變量；②中的X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，屬于連續(xù)型的，不能一一列舉出來；③一個沿數(shù)軸隨機(jī)運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，它在數(shù)軸上的位置X，不能一一列舉出來，不是離散型隨機(jī)變量；④某人射擊一次，中靶的環(huán)數(shù)N，可以一一列舉出來，是離散型隨機(jī)變量，故選B．3.【答案】D

【解析】【分析】本題考查虛數(shù)i的運(yùn)算周期性和復(fù)數(shù)的幾何意義及直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于中檔題．

利用虛數(shù)i的運(yùn)算周期性，算出A對應(yīng)的坐標(biāo)，即可求解．【解答】解：

∵i=i,i2=?1,i3∴A(∴過原點(diǎn)和點(diǎn)A的直線的傾斜率為kOA∵設(shè)直線的傾斜角為α，∴tanα=?又∵0<α<π，∴α=5故選：D．4.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了排列數(shù)的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

利用排列數(shù)的計(jì)算公式即可得出．【解答】

解：A85+A84A5.【答案】A

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的第11項(xiàng)的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

推導(dǎo)出{an}是首項(xiàng)為10，公差為12【解答】

解：將1到200中被3整除余1且被4整除余2的數(shù)，按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，

3整除余1的數(shù)為：4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，???

被4整除余2的數(shù)為：6，10，14，18，22，26，30，34，38，???

則{an}是首項(xiàng)為10，公差為12的等差數(shù)列，

6.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的應(yīng)用問題，是中檔題．

根據(jù)題意，列出利潤函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出利潤函數(shù)在何時取得最大值即可．【解答】解：設(shè)利潤為y，

則y=y1?y2=17x2?(2x3?x2)=?2x3+18x2(x>0)，

∴y′=?6x2+36x=?6x(x?6)，

令y′=0，解得x=0(舍)或x=6，7.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查曲線與方程，屬于較難題．

由(x0,y0)在曲線C，通過判斷點(diǎn)(?x0,y0)，【解答】

解：A選項(xiàng)，曲線C的方程是(x2+設(shè)P(x0,y0此方程可變形為[(?x0)2+(?而點(diǎn)(?x0,?y0)與(x0,B選項(xiàng)，當(dāng)a=9時，C:x2+y22=9x2令x=±1，則1+y22令x=±2，則4+y22故曲線C經(jīng)過的整點(diǎn)只能是0,0,3,0,C選項(xiàng)，直線y=kx與曲線C顯然有一個交點(diǎn)(0,0)，下面考慮x≠0的情形：由(x2+若k2=1，則x4=0，若k2若k2<1，則x=0(舍去)或綜上，直線y=kx與曲線C只有一個交點(diǎn)，則k2≥1，即k≤?1或k≥1，D選項(xiàng)，同C選項(xiàng)解法相同，k≤?1或k≥1，D錯，故選：C．8.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查了等差數(shù)列的判定與證明，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和的應(yīng)用，

根據(jù)已知及等差數(shù)列的判定與證明，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的計(jì)算，可知{bn}為b1=1，公差d=1的等差數(shù)列，可知bn【解答】

解：記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn=an+bn2，

所以Tn+1=an+1+bn+12，

所以bn+1=Tn+1?Tn=an+1+bn+12?an+bn2，

所以bn+1+bn=an+1?an=bn+12?bn2．

因?yàn)閎9.【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查相關(guān)系數(shù)r與殘差知識，考查利用回歸直線方程對樣本進(jìn)行估計(jì)，屬于基礎(chǔ)題．【解答】

對于A，x=2+3+4+5+65=4，由線性回歸方程得y=6x+8=32，則32×5?(19+25+38+44)=34，A正確;對于B，由線性回歸方程及數(shù)表知，X，Y具有正相關(guān)關(guān)系，而相關(guān)系數(shù)的絕對值不超過1，B不正確;對于C，第三個樣本點(diǎn)對應(yīng)的殘差e3=34?(6×4+8)=2，C正確;對于D，在線性回歸方程Y=6X+8中，當(dāng)X=7時，生產(chǎn)能耗約6×7+8=50(10.【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查曲線與方程，橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題．

由m>n>0，可得C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，可判斷A；由m=2n(n>0)，求得離心率，可判斷B；由mn<0，求得雙曲線的漸近線方程，可判斷C；由m=?2n，討論n>0，n<0，求得離心率，可判斷D．

【解答】

解：對于A，當(dāng)m>n>0時，由橢圓定義知，C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，A正確；對于B，當(dāng)m=2n(n>0)時，由橢圓定義知，C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，離心率e，

有e2=1?nm=對于C，當(dāng)mn<0時，若m>0,n<0，則曲線C:x2m?y若m<0,n>0，則曲線C:y2n?x2?m對于D，當(dāng)m=?2n時，若n<0，則曲線C:x2?2n?y2?n=1是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，離心率若n>0，則曲線C:y2n?x22n=1是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，離心率e211.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查體積求法，考查四點(diǎn)共面，考查球的表面積求法，以及異面直線所成的角，屬于拔高題．A選項(xiàng)，將該半正多面體補(bǔ)成正方體，從而求出正方體的體積，減去8個三棱錐的體積，求出答案；B選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量共面定理進(jìn)行求解；

C選項(xiàng)，求出該半正多面體的半徑，從而求出外接球體積；D選項(xiàng)，設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，用空間向量表達(dá)出直線DE與直線AF所成角的余弦值，換元后，使用二次函數(shù)的取值范圍求出直線DE與直線AF所成角的余弦值的取值范圍．【解答】

解：將該半正多面體補(bǔ)成正方體．因?yàn)樵摪胝嗝骟w的棱長為2，所以正方體的棱長為2該半正多面體的體積V=8?8×13×該半正多面體的外接球球心即正方體的外接球球心，設(shè)正方體的外接球球心為M，

則該半正多面體的外接球半徑R=MF=22×2=建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(2,1,0),F(2,2,1),B(1,0,2),C(0,1,2)，D(1,2,2),AF=(0,1,1),CD可解得x=y=1，則AF，CD，F(xiàn)D共面，即A，C，D，F(xiàn)四點(diǎn)共面，B正確．又BC=(?1,1,0)，設(shè)BE=λBC=(?λ,λ,0)，所以λ∈[0,1]，cos<AF=?12×則cos?因?yàn)?t2+2t+1∈故直線DE與直線AF所成角的余弦值的取值范圍為12,12.【答案】1

【解析】【分析】本題考查方差的計(jì)算公式，注意方差的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，由方差的性質(zhì)，若x1，x2，···，xn的方差為s2，則ax1，【解答】

解：根據(jù)題意，

一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，···，xn的方差S2=0.01，

則數(shù)據(jù)10x1，10x2，···13.【答案】0

【解析】【分析】本題考查求解數(shù)列中的項(xiàng)，數(shù)列的周期性，屬于中檔題．

由個位數(shù)字代入通項(xiàng)公式可知，連續(xù)10項(xiàng)中有6項(xiàng)的個位數(shù)字為0，從而把數(shù)列bn中的第2017項(xiàng)轉(zhuǎn)化到數(shù)列an中的第3361項(xiàng)，再通過3361除以7的余數(shù)為【解答】解：因?yàn)閍n=n3?n=nn?1n+1，

所以當(dāng)n的個位數(shù)字為1,4,5,6,9,0時，an的個位數(shù)字為0，

則在數(shù)列而2017=336×6+1，

由此推斷數(shù)列bn中的第2017項(xiàng)相當(dāng)于數(shù)列an中的第即b2017=a3361=33613?3361，

而3361=480×7+1，因?yàn)?k+13=7k3+37k2+37k+1，而它們的差33613?3361一定能被7整除，

所以b2017被故答案為：0．14.【答案】[?2ln【解析】【分析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立與存在性問題，屬于較難題．

討論m取值范圍，當(dāng)m?0時，易證不等式恒成立，當(dāng)m<0時，可整理得xlnx?emxmx對【解答】

解：當(dāng)m>0時，x∈(0,12],mx2>0,?emxlnx>0,

∴mx2?emxlnx>0恒成立，

當(dāng)m=0時，x∈(0,12],∴?lnx?0恒成立，

當(dāng)m<0時，可整理得xlnx?emxmx對x∈(0,12]恒成立，

可構(gòu)造ft=tlnt，求導(dǎo)得f′t=lnt?1ln2t，可知ft在15.【答案】解：(1)∵全班48人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為23

∴喜歡打籃球的學(xué)生人數(shù)為48×23性別打籃球合計(jì)喜愛不喜愛男生22628女生101020合計(jì)321648(2)零假設(shè)H0：喜愛打籃球與性別無關(guān)，

由(1)得χ2=48×(22×10?10×6)228×20×32×16≈4.286>3.841=x0.05，

根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，

即認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.05；

(3)∵在女生中抽取2人調(diào)查，其中喜愛打籃球的女生人數(shù)可能是0人、1人、2人，

∴X的所有可能取值為0，1，2，

此時P(X=0)=X012P9109故E(X)=0×938【解析】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、期望以及獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

(1)由題意，先求出喜歡打籃球的學(xué)生總?cè)藬?shù)，進(jìn)而可補(bǔ)全列聯(lián)表；

(2)結(jié)合(1)中信息，代入公式求出χ2，將其與臨界值進(jìn)行對比，進(jìn)而即可求解；

(3)先得到X16.【答案】解(1)取AC的中點(diǎn)O，連接OP，OD，

因?yàn)椤鱌AC是正三角形，所以PO⊥AC，

因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以DO//BC，

因?yàn)锳C⊥BC，所以DO⊥AC，

又PO∩DO=O，PO，DO?平面POD，

所以AC⊥平面POD，

又因?yàn)镻D?平面POD，所以AC⊥PD．(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，OD為x軸、y軸，過O作z軸⊥底面ABC，

建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則O(0,0,0)，A(1,0,0)，D(0,1,0)，C(?1,0,0)，B(?1,2,0)，

由(1)可得二面角P?AC?D的平面角為∠POD，

則∠POD=150°，又PO=3，則P0,?32,32，

由DO//BC易得直線BC的一個方向向量為m=(0,1,0)，

設(shè)平面PAB的法向量為n=(x,y,z)，

AB=(?2,2,0)，AP=?1,?32,32，

則n·AB=0n·AP=0，

即?2x+2y+0=0?x?3

【解析】本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)，二面角，直線與平面所成角，屬于中檔題．

(1)取AC中點(diǎn)記為O，連OP，OD，易證AC⊥OD，PO⊥AC，從而可得AC⊥面POD，即可求解；

(2)以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OD為x軸，y軸(z軸?平面POD)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出BC的方向向量以及平面PAB的法向量即可求解．17.【答案】解：(1)根據(jù)bn+1=3(1+1所以n?2時，bn當(dāng)n=1時，b1=1×3an+1所以n?2時a=3當(dāng)n=1時，a1=3(2)由(1)可得cn所以c=2因?yàn)?2?1

【解析】本題考查由數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和，屬于綜合題．

(1)分別利用累乘法和累加法求通項(xiàng)即可；(2)利用裂項(xiàng)相消得到c118.【答案】解：(1)?(x)=xa當(dāng)

a=2

時，

?(x)=x2?′(x)=2x?2令

?′(x)>0

，得

2?xln2>0

，即

0<x<令

?′(x)<0

，得

2?xln2<0

，即

x>所以

?(x)

的增區(qū)間為

(0,2ln2)

，減區(qū)間為

(2ln(2