天天練19平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用一、選擇題1．(2018·遂寧一模)給出下列命題：①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0；②0·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0；③若a與b共線，則a·b＝|a||b|；④(a·b)·c＝a·(b·c)．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4答案：A解析：①∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(BA,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，∴該命題正確；②∵數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，∴該命題錯(cuò)誤；③∵a與b共線，當(dāng)方向相反時(shí)，a·b＝－|a||b|，∴該命題錯(cuò)誤；④當(dāng)c與a不共線，且a·b≠0，b·c≠0時(shí)，(a·b)·c≠a·(b·c)，∴該命題錯(cuò)誤．故正確命題的個(gè)數(shù)為1.故選A.2．已知向量a＝(1,3)，b＝(2，－5)．若向量c滿足c⊥(a＋b)，且b∥(a－c)，則c＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,8)，\f(33,16)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,8)，\f(33,16)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,8)，－\f(33,16)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,8)，－\f(33,16)))答案：A解析：設(shè)出c的坐標(biāo)，利用平面向量的垂直關(guān)系和平行關(guān)系得出兩個(gè)方程，聯(lián)立兩個(gè)方程求解即可．設(shè)c＝(x，y)，由c⊥(a＋b)，得c·(a＋b)＝(x，y)·(3，－2)＝3x－2y＝0，①又b＝(2，－5)，a－c＝(1－x,3－y)，且b∥(a－c)，所以2(3－y)－(－5)×(1－x)＝0.②聯(lián)立①②，解得x＝eq\f(11,8)，y＝eq\f(33,16)，所以c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,8)，\f(33,16))).故選A.3．(2018·安徽蚌埠一模)已知非零向量m，n滿足3|m|＝2|n|，〈m，n〉＝60°.若n⊥(tm＋n)，則實(shí)數(shù)t的值為()A．3B．－3C．2D．－2答案：B解析：∵非零向量m，n滿足3|m|＝2|n|，〈m，n〉＝60°，∴cos〈m，n〉＝eq\f(1,2).又∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝tm·n＋n2＝t|m||n|×eq\f(1,2)＋|n|2＝eq\f(t,3)|n|2＋|n|2＝0，解得t＝－3.故選B.4．(2018·廣東五校協(xié)作體一模)已知向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2,1)．若|a＋b|＝|a－b|，則實(shí)數(shù)λ的值為()A．－1B．2C．1D．－2答案：A解析：根據(jù)題意，對(duì)于向量a，b，若|a＋b|＝|a－b|，則|a＋b|2＝|a－b|2，變形可得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0.又由向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2,1)，得λ(λ＋2)＋1＝0，解得5．(2018·上饒二模)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為60°，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，則△ABC為()A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案：C解析：根據(jù)題意，由eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，可得eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，則|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4，由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，可得|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))|2＝eq\o(OB,\s\up6(→))2－2eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＋OA2＝4，故|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，由eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，得|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|2＝eq\o(OA,\s\up6(→))2＋2eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))2＝12，可得|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).在△ABC中，由|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，可得|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2，則△ABC為直角三角形．故選C.6．(2018·泰安質(zhì)檢)已知非零向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a＋b|，則a與2a－bA.eq\f(\r(7),7)B.eq\f(\r(7),8)C.eq\f(\r(7),14)D.eq\f(5\r(7),14)答案：D解析：不妨設(shè)|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，則|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2a·b＝1，所以a·b＝－eq\f(1,2)，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝eq\f(5,2)，又|a|＝1，|2a－b|＝eq\r(2a－b2)＝eq\r(4a2－4a·b＋b2)＝eq\r(7)，所以a與2a－b夾角的余弦值為eq\f(a·2a－b,|a|·|2a－b|)＝eq\f(\f(5,2),1×\r(7))＝eq\f(5\r(7),14).7．如圖所示，AB是圓O的直徑，P是eq\x\to(AB)上的點(diǎn)，M，N是直徑AB上關(guān)于O對(duì)稱的兩點(diǎn)，且AB＝6，MN＝4，則eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝()A．13B．7C．5D．3答案：C解析：連接AP，BP，則eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→)))·(eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→)))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))－|eq\o(AM,\s\up6(→))|2＝－eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))－|eq\o(AM,\s\up6(→))|2＝eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－|eq\o(AM,\s\up6(→))|2＝1×6－1＝5.8．(2018·洛陽二模)已知直線x＋y＋k＝0(k>0)與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|≥eq\f(\r(3),3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|，則k的取值范圍是()A．(eq\r(3)，＋∞)B．[eq\r(2)，＋∞)C．[eq\r(2)，2eq\r(2))D．[eq\r(3)，2eq\r(2))答案：C解析：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則OD⊥AB，因?yàn)閨eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|≥eq\f(\r(3),3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|，所以|2eq\o(OD,\s\up6(→))|≥eq\f(\r(3),3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|≤2eq\r(3)|eq\o(OD,\s\up6(→))|，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|2≤12|eq\o(OD,\s\up6(→))|2.因?yàn)閨eq\o(OD,\s\up6(→))|2＋eq\f(1,4)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝4，所以|eq\o(OD,\s\up6(→))|2≥1，因?yàn)橹本€x＋y＋k＝0(k>0)與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點(diǎn)A，B，所以|eq\o(OD,\s\up6(→))|2<4，所以1≤|eq\o(OD,\s\up6(→))|2<4，所以1≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|k|,\r(2))))2<4，因?yàn)閗>0，所以eq\r(2)≤k<2eq\r(2)，所以k的取值范圍是[eq\r(2)，2eq\r(2))．二、填空題9．若a＝(2,1)，b＝(3,4)，則向量a在向量b方向上的投影為________．答案：2解析：因?yàn)閍＝(2,1)，b＝(3,4)，所以a·b＝2×3＋1×4＝10，|b|＝eq\r(9＋16)＝5，則向量a在向量b方向上的投影為eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(10,5)＝2.10．在△ABC中，若(eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→)))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，(eq\o(AC,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→)))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，則△ABC的形狀為________．答案：等邊三角形解析：(eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→)))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))?(eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，即eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.(eq\o(AC,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→)))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，即(eq\o(AC,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，即eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))，即|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，而cosA＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，所以∠A＝60°，所以△ABC為等邊三角形．11．(河北衡水四調(diào))在△ABC中，AB＝3，AC＝5.若O為△ABC的外接圓的圓心，則eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝________________________________________________________________________.答案：8解析：設(shè)BC的中點(diǎn)為D，連接OD，AD，則eq\o(OD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\