省中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專項(xiàng)練習(xí)引言中考數(shù)學(xué)的難點(diǎn)主要集中在綜合應(yīng)用類題目，如二次函數(shù)與幾何融合、幾何變換與全等/相似、動(dòng)點(diǎn)問題、圓的綜合應(yīng)用等。這些題目分值高（通常占解答題的30%以上）、區(qū)分度大，是學(xué)生提升總分的“關(guān)鍵戰(zhàn)場(chǎng)”。本專項(xiàng)練習(xí)圍繞中考核心難點(diǎn)，結(jié)合難點(diǎn)分析、解題策略、經(jīng)典例題、專項(xiàng)練習(xí)四個(gè)模塊，幫助學(xué)生系統(tǒng)突破。一、二次函數(shù)與幾何綜合題——中考?jí)狠S題的“必爭(zhēng)之地”難點(diǎn)分析二次函數(shù)綜合題是中考“壓軸大戲”，融合了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)、三角形（全等/相似、等腰/直角三角形）、四邊形（平行四邊形、矩形）等知識(shí)點(diǎn)。學(xué)生的痛點(diǎn)在于：1.無法從復(fù)雜圖形中提取關(guān)鍵條件；2.不會(huì)將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá)式（如用坐標(biāo)表示線段長(zhǎng)度、角度關(guān)系）；3.處理動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)，難以建立正確的函數(shù)關(guān)系式。解題策略1.定解析式：利用頂點(diǎn)式（$y=a(x-h)^2+k$）或一般式（$y=ax^2+bx+c$），通過已知點(diǎn)坐標(biāo)求二次函數(shù)解析式；2.析幾何性質(zhì)：明確題目要求的幾何量（如線段長(zhǎng)度、面積、圖形存在性），回憶相關(guān)幾何定理（如相似三角形判定、等腰三角形性質(zhì)）；3.設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)：用一個(gè)參數(shù)（如$t$）表示動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入解析式得縱坐標(biāo)（如$P(t,at^2+bt+c)$）；4.表幾何量：用坐標(biāo)表示線段長(zhǎng)度（如$PQ=|y_P-y_Q|$）、面積（如三角形面積用坐標(biāo)公式$S=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$）；5.建函數(shù)/方程：根據(jù)條件建立方程（求解參數(shù)值）或函數(shù)（求最值），注意變量取值范圍（由動(dòng)點(diǎn)軌跡決定）；6.驗(yàn)結(jié)果：代入原函數(shù)或圖形，驗(yàn)證是否符合題意（避免增根）。經(jīng)典例題例1拋物線$y=-x^2+2x+3$與$x$軸交于$A$、$B$兩點(diǎn)（$A$在$B$左側(cè)），與$y$軸交于點(diǎn)$C$，頂點(diǎn)為$D$。（1）求$A$、$B$、$C$、$D$的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)$P$是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（第一象限），過$P$作$PE\perpx$軸于$E$，交直線$BC$于$F$，求線段$PF$的最大值；（3）是否存在點(diǎn)$P$，使$\trianglePBC$為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)$P$坐標(biāo)；若不存在，說明理由。解答過程（1）求坐標(biāo)：令$y=0$，得$-x^2+2x+3=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，故$A(-1,0)$，$B(3,0)$；令$x=0$，得$y=3$，故$C(0,3)$；配方得$y=-(x-1)^2+4$，故頂點(diǎn)$D(1,4)$。（2）求$PF$最大值：直線$BC$解析式：設(shè)為$y=kx+b$，代入$B(3,0)$、$C(0,3)$，得$k=-1$，$b=3$，故$y=-x+3$；設(shè)$P(t,-t^2+2t+3)$（$0<t<3$），則$F(t,-t+3)$；$PF=(-t^2+2t+3)-(-t+3)=-t^2+3t$；配方得$PF=-(t-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}$，故當(dāng)$t=\frac{3}{2}$時(shí)，$PF$最大值為$\frac{9}{4}$。（3）等腰三角形存在性：設(shè)$P(t,-t^2+2t+3)$，$B(3,0)$，$C(0,3)$；情況1：$PB=PC$：$\sqrt{(t-3)^2+(-t^2+2t+3)^2}=\sqrt{t^2+(-t^2+2t)^2}$，化簡(jiǎn)得$t=1$或$t=3$（$t=3$與$B$重合，舍去），故$P(1,4)$；情況2：$PB=BC$：$BC=3\sqrt{2}$，故$\sqrt{(t-3)^2+(-t^2+2t+3)^2}=3\sqrt{2}$，化簡(jiǎn)得$t=0$（與$C$重合，舍去）或$t=2$，故$P(2,3)$；情況3：$PC=BC$：$\sqrt{t^2+(-t^2+2t)^2}=3\sqrt{2}$，化簡(jiǎn)得$t=3$（舍去）或$t=-1$（舍去），故無符合條件的點(diǎn)。結(jié)論：存在點(diǎn)$P(1,4)$或$P(2,3)$。易錯(cuò)點(diǎn)提醒動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)要符合幾何意義（如$P$在第一象限，$t$取值范圍為$0<t<3$）；等腰三角形要分三種情況（兩邊相等），避免遺漏。專項(xiàng)練習(xí)1.拋物線$y=x^2-2x-3$與$x$軸交于$A$、$B$兩點(diǎn)，與$y$軸交于$C$，點(diǎn)$P$在拋物線上，過$P$作$PD\perpx$軸于$D$，交直線$AC$于$E$，求$PE$的最大值。（答案：$\frac{1}{4}$）2.拋物線$y=-x^2+bx+c$過$A(0,3)$、$B(3,0)$，頂點(diǎn)為$C$，點(diǎn)$D$在拋物線上，是否存在點(diǎn)$D$使$\triangleABD$為直角三角形？若存在，求$D$坐標(biāo)。（答案：$D(1,4)$或$D(2,3)$）二、幾何變換與全等/相似綜合——圖形變換中的不變性難點(diǎn)分析幾何變換（旋轉(zhuǎn)、平移、軸對(duì)稱）是中考幾何的“核心工具”，常與全等/相似三角形結(jié)合考查。學(xué)生的痛點(diǎn)在于：1.無法識(shí)別變換類型；2.不會(huì)找變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊；3.不能利用變換性質(zhì)（如旋轉(zhuǎn)前后圖形全等、對(duì)應(yīng)邊夾角等于旋轉(zhuǎn)角）解題。解題策略1.識(shí)別變換類型：根據(jù)題目描述或圖形特征，判斷是旋轉(zhuǎn)（有旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角）、平移（有方向、距離）還是軸對(duì)稱（有對(duì)稱軸）；2.找對(duì)應(yīng)關(guān)系：旋轉(zhuǎn)后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)相同角度，對(duì)應(yīng)邊相等；平移后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)沿同一方向移動(dòng)相同距離；軸對(duì)稱后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱；3.用全等/相似：根據(jù)變換性質(zhì)得到全等或相似三角形，利用對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等解題。經(jīng)典例題例2在$\triangleABC$中，$\angleACB=90^\circ$，$AC=BC$，$D$是$AB$中點(diǎn)，$E$、$F$分別在$AC$、$BC$上，且$DE\perpDF$。（1）求證：$DE=DF$；（2）若$AC=2$，求四邊形$DECF$的面積。解答過程（1）證明：連接$CD$，因?yàn)?AC=BC$，$\angleACB=90^\circ$，$D$是$AB$中點(diǎn)，所以$CD\perpAB$，$\angleACD=\angleBCD=45^\circ$，$CD=AD=BD$；因?yàn)?DE\perpDF$，所以$\angleEDF=90^\circ$，而$\angleCDA=90^\circ$，故$\angleADE=\angleCDF$（同角余角相等）；在$\triangleADE$和$\triangleCDF$中，$\angleA=\angleDCF=45^\circ$，$AD=CD$，$\angleADE=\angleCDF$，故$\triangleADE\cong\triangleCDF$（ASA），因此$DE=DF$。（2）求面積：由（1）知$\triangleADE\cong\triangleCDF$，故$S_{\triangleADE}=S_{\triangleCDF}$；四邊形$DECF$的面積$=S_{\triangleCDE}+S_{\triangleCDF}=S_{\triangleCDE}+S_{\triangleADE}=S_{\triangleADC}$；$\triangleADC$的面積是$\triangleABC$面積的一半（$D$是$AB$中點(diǎn)），$\triangleABC$面積為$\frac{1}{2}\times2\times2=2$，故四邊形$DECF$面積為$1$。易錯(cuò)點(diǎn)提醒旋轉(zhuǎn)問題常需連接旋轉(zhuǎn)中心與對(duì)應(yīng)點(diǎn)（如例2中的$CD$），構(gòu)造全等三角形；面積問題可通過全等三角形面積轉(zhuǎn)換簡(jiǎn)化計(jì)算，避免復(fù)雜運(yùn)算。專項(xiàng)練習(xí)1.在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$\angleBAC=120^\circ$，$D$是$BC$中點(diǎn)，$E$、$F$分別在$AB$、$AC$上，且$DE\perpDF$，求證：$BE+CF=EF$。（提示：旋轉(zhuǎn)$\triangleADF$至$\triangleABF'$）2.將$\triangleABC$繞點(diǎn)$A$順時(shí)針旋轉(zhuǎn)$90^\circ$得$\triangleADE$，連接$BD$、$CE$，求證：$BD=CE$且$BD\perpCE$。（提示：證明$\triangleABD\cong\triangleACE$）三、動(dòng)點(diǎn)問題中的函數(shù)關(guān)系與最值——?jiǎng)討B(tài)中的變量控制難點(diǎn)分析動(dòng)點(diǎn)問題是中考“?？汀?，涉及動(dòng)點(diǎn)在直線、拋物線、圓上運(yùn)動(dòng)，引起線段長(zhǎng)度、面積等幾何量變化。學(xué)生的痛點(diǎn)在于：1.無法確定動(dòng)點(diǎn)軌跡；2.不會(huì)用參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)；3.忽略變量取值范圍。解題策略1.定軌跡：明確動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑（如線段、拋物線），確定軌跡范圍（如線段端點(diǎn)）；2.設(shè)參數(shù)：用一個(gè)參數(shù)（如運(yùn)動(dòng)時(shí)間$t$、橫坐標(biāo)$x$）表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)；3.表幾何量：用參數(shù)表示線段長(zhǎng)度（如$PQ=|x_P-x_Q|$）、面積（如三角形面積用底乘高）；4.建函數(shù)：根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系式（如$S(t)$、$L(t)$）；5.求最值：二次函數(shù)用頂點(diǎn)公式或配方求最值，一次函數(shù)在定義域端點(diǎn)求最值。經(jīng)典例題例3在矩形$ABCD$中，$AB=4$，$BC=6$，點(diǎn)$P$從$A$出發(fā)沿$AB$向$B$運(yùn)動(dòng)（速度$1$單位/秒），點(diǎn)$Q$從$B$出發(fā)沿$BC$向$C$運(yùn)動(dòng)（速度$2$單位/秒），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$t$秒（$0<t<3$），求：（1）$\trianglePBQ$的面積$S$與$t$的函數(shù)關(guān)系式；（2）$S$的最大值。解答過程（1）建函數(shù)：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$t$秒時(shí)，$AP=t$，$BQ=2t$；$PB=AB-AP=4-t$（$P$在$AB$上向$B$運(yùn)動(dòng)）；$\trianglePBQ$面積$S=\frac{1}{2}\timesPB\timesBQ=\frac{1}{2}\times(4-t)\times2t=-(t-2)^2+4$。（2）求最值：$S=-(t-2)^2+4$，因?yàn)?0<t<3$，故當(dāng)$t=2$時(shí)，$S$最大值為$4$。易錯(cuò)點(diǎn)提醒動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)要符合運(yùn)動(dòng)邏輯（如例3中$P$在$AB$上，$AP=t$，故$PB=4-t$）；變量取值范圍要嚴(yán)格限定（如例3中$t$的范圍是$0<t<3$，因?yàn)?Q$到$C$需$3$秒）。專項(xiàng)練習(xí)1.在$\triangleABC$中，$AB=6$，$AC=8$，$BC=10$，點(diǎn)$P$從$A$出發(fā)沿$AB$向$B$運(yùn)動(dòng)（速度$1$單位/秒），點(diǎn)$Q$從$B$出發(fā)沿$BC$向$C$運(yùn)動(dòng)（速度$2$單位/秒），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$t$秒（$0<t<5$），求$\triangleBPQ$的面積$S$與$t$的函數(shù)關(guān)系式及最大值。（答案：$S=-\frac{4}{5}t^2+\frac{24}{5}t$，最大值$\frac{36}{5}$）2.點(diǎn)$A(0,4)$，$B(3,0)$，點(diǎn)$P$在$x$軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)$Q$在直線$AB$上運(yùn)動(dòng)，且$PQ\perpAB$，求$PQ$的最小值。（提示：用點(diǎn)到直線距離公式，答案：$0$）四、圓的綜合應(yīng)用——圓與幾何的融合難點(diǎn)分析圓的綜合題涉及切線、圓周角、垂徑定理、相似三角形等知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生的痛點(diǎn)在于：1.不會(huì)靈活運(yùn)用圓的性質(zhì)（如切線垂直于半徑、圓周角等于圓心角的一半）；2.無法將圓的問題與其他幾何知識(shí)結(jié)合；3.不會(huì)添加輔助線（如連接半徑、作弦的垂線）。解題策略1.憶性質(zhì)：切線垂直于半徑（有切線必連半徑）；圓周角等于圓心角的一半（同弧所對(duì)圓周角相等）；垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦）；2.結(jié)合幾何知識(shí)：圓的問題常與三角形（全等、相似、直角三角形）、四邊形結(jié)合，利用這些圖形的性質(zhì)解題；3.添輔助線：切線問題連半徑，弦的問題作垂線，直徑問題找圓周角。經(jīng)典例題例4$AB$是$\odotO$的直徑，$C$是$\odotO$上一點(diǎn)，$AD$平分$\angleBAC$交$\odotO$于$D$，過$D$作$DE\perpAC$，交$AC$延長(zhǎng)線于$E$。（1）求證：$DE$是$\odotO$的切線；（2）若$AC=3$，$AB=5$，求$DE$的長(zhǎng)度。解答過程（1）證明：連接$OD$，因?yàn)?OA=OD$，所以$\angleOAD=\angleODA$；$AD$平分$\angleBAC$，故$\angleOAD=\angleCAD$，因此$\angleODA=\angleCAD$，故$OD\parallelAC$；因?yàn)?DE\perpAC$，所以$OD\perpDE$，又$OD$是$\odotO$的半徑，故$DE$是$\odotO$的切線。（2）求$DE$長(zhǎng)度：連接$BC$，因?yàn)?AB$是直徑，所以$\angleACB=90^\circ$（直徑所對(duì)圓周角是直角）；在$Rt\triangleABC$中，$AC=3$，$AB=