第五章回顧通過對DTFT性質(zhì)的討論，揭示了離散時間信號時域與頻域特性的關系。不僅看到有許多性質(zhì)在CTFT中都有相對應的結論，而且它們也存在一些重要的差別，例如DTFT總是以2π為周期的。第5章與第4章平行地討論了DTFT，討論的基本思路和方法與第4章完全對應，得到的許多結論也很類似。1對偶性的討論為進一步認識連續(xù)時間信號、離散時間信號、周期信號與非周期信號頻域描述的幾種工具之間的內(nèi)在聯(lián)系，提供了重要的理論根據(jù)。深入理解并恰當運用對偶性，對深刻掌握CFS、DFS、CTFT、DTFT的本質(zhì)關系有很大幫助。通過卷積特性的討論，對LTI系統(tǒng)建立了頻域分析的方法。同樣地，相乘特性的存在則為離散時間信號的傳輸技術提供了理論基礎。2可以將對偶關系歸納為如下圖表:時域采樣頻域采樣頻域采樣時域采樣3與連續(xù)時間LTI系統(tǒng)一樣，對由LCCDE或由方框圖描述的LTI系統(tǒng)，可以很方便的由方程或方框圖得到系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)H(ejω)，進而實現(xiàn)系統(tǒng)的頻域分析。其基本過程和涉及到的問題與連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的情況也完全類似。

隨著今后進一步的討論，我們可以看到CFS、DFS、CTFT、DTFT之間是完全相通的。4本章主要內(nèi)容傅立葉變換的模與相位。LTI系統(tǒng)的幅頻特性與相頻特性，系統(tǒng)的失真。系統(tǒng)的不失真?zhèn)鬏敆l件。理想濾波器的頻域、時域特性及其不可實現(xiàn)性。非理想濾波器的特性及其逼近方式。一階與二階系統(tǒng)的分析方法，Bode圖。第6章信號與系統(tǒng)的時域和頻域特性5

工程中設計系統(tǒng)時，往往會對系統(tǒng)的特性從時域角度或頻域角度提出某些要求。6.0引言Introduction

在時域，系統(tǒng)的特性由或描述；在頻域，系統(tǒng)的特性由或描述；在以前的討論中，已經(jīng)看到6本章的基本內(nèi)容旨在建立對系統(tǒng)的時域和頻域特性進行綜合分析的思想和方法。系統(tǒng)的時域特性與頻域特性是相互制約的。在進行系統(tǒng)的分析與設計時，要權衡考慮系統(tǒng)的時域與頻域特性。在LTI系統(tǒng)分析中，由于時域中的微分（差分）方程和卷積運算在頻域都變成了代數(shù)運算，所以利用頻域分析往往特別方便。76.1傅里葉變換的模和相位表示

無論CTFT還是DTFT，一般情況下都表現(xiàn)為一個復函數(shù)。

這說明：一個信號所攜帶的全部信息分別包含在其頻譜的模和相位中。（TheMagnitude-PhaseRepresentationoftheFourierTransform）8在工程實際中，不同的應用場合，對幅度失真和相位失真有不同的敏感程度，也會有不同的技術指標要求。因此，導致信號失真的原因有兩種：幅度失真：由于頻譜的模改變而引起的失真。各頻率分量幅度產(chǎn)生不同程度的衰減。相位失真：由于頻譜的相位改變引起的失真。各頻率分量產(chǎn)生的相移不與頻率成正比，使響應的各頻率分量在時間軸上的相對位置產(chǎn)生變化。

9二維傅里葉變換的模二維傅里葉變換的相位模保持，相位為0的圖像10相位保持，模全1的圖像相位保持，模換為(g)的模116.2LTI系統(tǒng)頻率響應的模和相位表示LTI系統(tǒng)對輸入信號所起的作用包括兩個方面:1.改變輸入信號各頻率分量的幅度；

2.改變輸入信號各頻率分量的相對相位。（TheMagnitude-PhaseRepresentationoftheFrequencyResponseofLTISystems）12一.

線性與非線性相位當相位特性僅僅是附加一個線性相移時，只引起信號在時間上的平移。如連續(xù)時間LTI系統(tǒng)：則此時并未丟失信號所攜帶的任何信息，只是發(fā)生時間上的延遲，因而在工程應用中是允許的。信號在傳輸過程中，相位特性或幅度特性發(fā)生改變都會引起信號波形的改變，即發(fā)生失真。13

如果系統(tǒng)的相位特性是非線性的，由于不同頻率分量受相位特性影響所產(chǎn)生的時移不同，疊加起來一定會變成一個與原來信號很不相同的信號波形。對離散時間LTI系統(tǒng)，也有同樣的結論。但對線性相位系統(tǒng)，當相位特性的斜率是整數(shù)時，只引起信號的時域移位。若相位特性的斜率不是整數(shù)，由于離散時間信號的時移量只能是整數(shù)，需要采用其他手段實現(xiàn)，其含義也不再是原信號的簡單移位。14二.信號的不失真?zhèn)鬏敆l件

如果系統(tǒng)響應與輸入信號滿足下列條件，可視為在傳輸中未發(fā)生失真。這就要求系統(tǒng)的頻率特性為

如果一個系統(tǒng)的幅頻特性是一個常數(shù)，稱這種系統(tǒng)為全通系統(tǒng)(有些書上稱具有單位增益的系統(tǒng)為全通系統(tǒng))。15——時域表征

據(jù)此可得出信號傳輸?shù)牟皇д鏃l件：

0

通常，系統(tǒng)若在被傳輸信號的帶寬范圍內(nèi)滿足不失真條件，則認為該系統(tǒng)對此信號是不失真系統(tǒng)。——頻域表征

0

16三.群時延（GroupDelay）

對線性相位系統(tǒng)，系統(tǒng)的相位特性表明了信號的各個頻率分量在通過系統(tǒng)時，系統(tǒng)對它所產(chǎn)生的附加相移。相位特性的斜率就是該頻率分量在時域產(chǎn)生的時延。對非線性相位系統(tǒng)，定義群時延為17考察一個中心頻率為的窄帶輸入信號，一個非線性相位的系統(tǒng)在此窄帶范圍內(nèi)，可將其相位的變化近似看成線性的。因此，1.由引起的幅度成形；該系統(tǒng)對窄帶輸入信號產(chǎn)生的近似效果就是：群時延代表了在以為中心的一個很窄的頻帶或很少的一組頻率上信號所受到的有效公共延時。183.對應系統(tǒng)在窄帶內(nèi)的近似線性相位所產(chǎn)生的時延。該時延就是系統(tǒng)在的群時延。2.對應系統(tǒng)在的恒定相位的因子的影響；四.對數(shù)模與Bode圖在工程應用中，往往采用對數(shù)模特性（或稱為Bode圖）來描述系統(tǒng)的頻率特性。在對數(shù)坐標下，采用對數(shù)模，可以給頻率特性的表示帶來一些方便。這是因為:19

1.可以將模特性的相乘關系變?yōu)橄嗉雨P系；

2.利用對數(shù)坐標的非線性，可以展示更寬范圍的頻率特性，并使低頻端更詳細而高頻端相對粗略；

3.對連續(xù)時間系統(tǒng)，可以方便地建立模特性和相位特性的直線型漸近線。工程中廣泛應用的有兩種對數(shù)模：單位：奈培（Np）單位：分貝（dB）（decibel）20

對離散時間系統(tǒng)，由于其有效頻率范圍只有,而且，即使在對數(shù)坐標下也不存在直線型的漸近線。因而不采用對數(shù)坐標，只采用對數(shù)模。采用對數(shù)模（或Bode圖）表示頻率特性，對于幅頻特性有零點或在某些頻段上為零的系統(tǒng)，是不適用的。216.3

理想頻率選擇性濾波器1.頻率成形濾波器（改變各分量的幅度與相位）2.頻率選擇性濾波器（去除某些頻率分量）（TheIdealFrequency-SelectiveFilters）一.濾波通過系統(tǒng)改變信號中各頻率分量的相對大小和相位，甚至完全去除某些頻率分量的過程稱為濾波。濾波器可分為兩大類：22二.理想頻率選擇性濾波器的頻率特性

理想頻率選擇性濾波器的頻率特性在某一個（或幾個）頻段內(nèi)，頻率響應為常數(shù)，而在其它頻段內(nèi)頻率響應等于零。理想濾波器可分為低通、高通、帶通、帶阻。

濾波器允許信號完全通過的頻段稱為濾波器的通帶（passband），完全不允許信號通過的頻段稱為阻帶（stopband）。23連續(xù)時間理想頻率選擇性濾波器的頻率特性低通高通帶阻帶通24離散時間理想頻率選擇性濾波器的頻率特性高通

-

低通2

-帶通

-

0帶阻

-25

各種濾波器的特性都可以從理想低通特性而來。離散時間理想濾波器的特性在區(qū)間上，與相應的連續(xù)時間濾波器特性完全相似。三.理想濾波器的時域特性以理想低通濾波器為例連續(xù)時間理想低通濾波器126由傅里葉變換可得:27對離散時間理想低通濾波器有：28如果理想低通濾波器具有線性相位特性則29理想低通濾波器的單位階躍響應令正弦積分30由于312．階躍響應的上升時間tr與濾波器的截止頻率B（帶寬）成反比。

B是將角頻率折合為頻率的濾波器帶寬（截止頻率）。1．上升時間tr

：輸出由最小值到最大值所經(jīng)歷的時間如果理想低通濾波器具有線性相位特性，則32對離散時間理想低通濾波器，相應有：從理想濾波器的時域特性可以看出：333.在工程應用中，當要設計一個濾波器時，必須對時域特性和頻域特性作出恰當?shù)恼壑小?.理想濾波器是非因果系統(tǒng)。因而是物理不可實現(xiàn)的；2.盡管從頻域濾波的角度看，理想濾波器的頻率特性是最佳的。但它們的時域特性并不是最佳的。或都有起伏、旁瓣、主瓣，這表明理想濾波器的時域特性與頻域特性并不兼容。346.4

非理想濾波器（TheNonidealFilters）

對理想特性逼近得越精確，實現(xiàn)時付出的代價越大，系統(tǒng)的復雜程度也越高。

由于理想濾波器是物理不可實現(xiàn)的，工程應用中就必須尋找一個物理可實現(xiàn)的頻率特性去逼近理想特性，這種物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)就稱為非理想濾波器。非理想濾波器的頻率特性以容限方式給出。35非理想濾波器特性1.通帶絕對平坦，通帶內(nèi)衰減為零。理想濾波器特性2.阻帶絕對平坦，阻帶內(nèi)衰減為。通帶內(nèi)允許有起伏，有一定衰減范圍3.無過渡帶。阻帶內(nèi)允許有起伏，有一定衰減范圍有一定的過渡帶寬度36

通常將偏離單位增益的稱為通帶起伏（或波紋），稱為阻帶起伏（或波紋），稱為通帶邊緣，為阻帶邊緣，為過渡帶。非理想低通濾波器的容限37它們都從幅頻特性出發(fā)逼近理想低通的模特性。工程實際中常用的逼近方式有：1.Butterworth濾波器：通帶、阻帶均呈單調(diào)衰減，也稱通帶最平伏逼近；2.Chebyshev濾波器：通帶等起伏阻帶單調(diào)，或通帶單調(diào)阻帶等起伏；3.Cauer濾波器：（橢圓函數(shù)濾波器）通帶、阻帶均等起伏。382.包絡時延Chebyshev濾波器：包絡時延等起伏逼近；

對同一種濾波器，階數(shù)越高，對理想特性逼近得越好，過渡帶越窄，但付出的代價是系統(tǒng)越復雜。

從相位特性出發(fā)，逼近理想的線性相位特性有1.Bassel濾波器：群時延最平伏逼近；3.Gauss濾波器。39對同樣階數(shù)的濾波器，從Butterworth

Chebyshev

Cauer，其幅頻特性逼近得越來越好，但階躍響應的起伏、超量和振蕩也越厲害（體現(xiàn)了系統(tǒng)頻域特性與時域特性的不兼容）。系統(tǒng)的復雜程度也越來越高，相應地，實現(xiàn)系統(tǒng)所付出的代價也越來越大。405階Butterworth濾波器與5階Cauer濾波器的比較41單位階躍響應：426.5一階與二階連續(xù)時間系統(tǒng)對由LCCDE描述的連續(xù)時間LTI系統(tǒng)，其頻率響應為：（First-OrderandSecond-OrderContinuous-TimeSystems）其中：、均為實常數(shù)。43此時，可通過對、因式分解，將其表示成若干個一階或二階有理函數(shù)的連乘；或者通過部分分式展開，表示成若干個一階或二階有理函數(shù)相加。這表明：由LCCDE描述的LTI系統(tǒng)可以看成由若干個一階或二階系統(tǒng)通過級聯(lián)或并聯(lián)構成。因此，一階和二階系統(tǒng)是構成任何系統(tǒng)的基本單元。掌握一階和二階系統(tǒng)的分析方法就尤為重要。44一.一階系統(tǒng):1.時域特性:越小，衰減得越快，系統(tǒng)的失真越小。模型：時間常數(shù)45可以看出：越小，上升得越快，系統(tǒng)失真越小。462.一階系統(tǒng)的Bode圖：

在對數(shù)坐標系下，它是一條直線，斜率為每10倍頻程-20dB?？梢?，一階系統(tǒng)的Bode圖有兩條直線型漸近線。稱為折斷頻率。當即時當即時47當時，準確的對數(shù)模為48相頻特性：將其折線化可得相位特性的直線型漸近線：時，時，時，4950二.二階系統(tǒng)：如：對RLC串聯(lián)諧振電路模型：可列出電路方程51考察由彈簧、阻尼器、質(zhì)量M組成的減震系統(tǒng)（位移）（牽引力）分析受力可列出方程52即其中由二階系統(tǒng)的方程可得系統(tǒng)的頻率響應：顯然，若則方程就成為標準形式。稱為阻尼系數(shù)，稱為無阻尼自然頻率531.時域特性—沖激響應①時，系統(tǒng)處于無阻尼狀態(tài)。②當時，、為共軛復根，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)；54④時，、為實數(shù)根，系統(tǒng)為過阻尼狀態(tài)；③當時，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。5556當時，當時當時（即欠阻尼狀態(tài)），階躍響應既有超量又有震蕩；當時，在沒有超量的情況下，響應最快，即最短的上升時間；隨著的增加，響應越來越慢；1.時域特性—階躍響應572.頻率特性：當時，當時，58

在對數(shù)坐標中可用兩條直線表示。一條是低頻段的0dB線，一條是高頻段的斜率為－40dB/dec的直線。在處，兩條漸進線相交，因此稱為二階系統(tǒng)的折轉(zhuǎn)頻率。時，準確的對數(shù)模為：59

時，幅頻特性在處出現(xiàn)峰值，峰值為→可以用于設計選頻放大器，在某一較窄的頻率范圍內(nèi)，對一些正弦信號提供放大。用品質(zhì)因數(shù)Q來衡量峰值的尖銳程度：時，系統(tǒng)類似于一階系統(tǒng)具有低通特性。時，隨的減小，逐步過渡為帶通特性。時，系統(tǒng)具有最平坦的低通特性。60時時時可將其用折線近似為：據(jù)此可作出不同下的相位特性相位特性：61可見越小，相位的非線性越嚴重。62三.有理型頻率響應的Bode圖：

這種頻率特性的因子，與一階、二階系統(tǒng)的情況相比，其存在倒量關系。即對于636.6一階與二階離散時間系統(tǒng)一.一階系統(tǒng)：（First-OrderandSecond-OrderDiscrete-TimeSystems）由差分方程可得系統(tǒng)的頻率響應：系統(tǒng)的數(shù)學模型：641.時域特性:對頻率響應做傅立葉反變換可得：系統(tǒng)的單位階躍響應為：據(jù)此可作出不同參數(shù)情況下系統(tǒng)的單位脈沖響應和單位階躍響應：656667由圖可以看出：當時，隨著的增大，系統(tǒng)的單位脈沖響應單調(diào)衰減得越來越慢。單位階躍響應單調(diào)上升得越來越慢。當時，系統(tǒng)的單位脈沖響應和單位階躍響應都存在振蕩。越大，振蕩的持續(xù)期越長；單位脈沖響應衰減得越慢，單位階躍響應上升得越慢。682.

頻域特性:由系統(tǒng)的頻率響應可以得出：據(jù)此可作出不同參數(shù)情況下一階系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性：697071二.二階系統(tǒng):數(shù)學模型：其中或時，有兩個不同的極點、其中72為指數(shù)衰減的正弦振蕩。系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)。單調(diào)變化，無振蕩。時，時，系統(tǒng)為臨界阻尼。系統(tǒng)為欠阻尼。

影響衰減速率，影響振蕩頻率。73系統(tǒng)的單位脈沖響應：振蕩最劇烈。7475系統(tǒng)的單位階躍響應：7677由圖可以看出：1.當系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)時，即時，系統(tǒng)的單位沖激響應和單位階躍響應都存在振蕩和超量。

越接近，振蕩的頻率越高。2.在欠阻尼狀態(tài)下，影響著單位沖激響應和單位階躍響應的變化速率。越接近1，單位沖激響應衰減得越慢，單位階躍響應上升得越慢，出現(xiàn)的振蕩也越明顯。根據(jù)不同的和可作出系統(tǒng)的頻率特性：787980818283由圖可以看出：1.越大，幅頻特性的峰越尖銳，系統(tǒng)的帶寬越窄；越小，幅頻特性越平坦，系統(tǒng)帶寬越寬。2.系統(tǒng)幅頻特性的峰值總是出現(xiàn)在值的附近，隨著從變化，系統(tǒng)經(jīng)歷了從低通特性帶通特性高通特性的變化過程。3.系統(tǒng)具有非線性相位特性?？傊河绊懴到y(tǒng)頻響的峰值位置，影響峰值的大小，其作用分別類似于連續(xù)系統(tǒng)的和。84