寧?？h高考數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.[1,+∞)

D.(-1,+∞)

2.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax=1},若A∩B={2},則實數(shù)a的值為（）

A.1/2

B.1

C.2

D.1/4

3.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的是（）

A.y=23?

B.y=log?x

C.y=sinπx

D.y=x2

4.若復數(shù)z=1+i滿足z2+az+b=0（a,b∈R），則b的值為（）

A.2

B.-2

C.1

D.-1

5.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=5,a?=13，則該數(shù)列的公差為（）

A.2

B.3

C.4

D.5

6.在△ABC中，若角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且a2+b2-c2=ab，則cosC的值為（）

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.1/5

7.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖像關于y軸對稱，則φ的可能取值為（）

A.π/4

B.π/2

C.3π/4

D.π

8.已知圓O的方程為x2+y2-4x+6y-3=0，則圓心O到直線3x-4y+5=0的距離為（）

A.1

B.2

C.√5

D.√10

9.已知函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值，則實數(shù)a的值為（）

A.3

B.2

C.1

D.0

10.在直角坐標系中，點P(x,y)滿足x2+y2-2x+4y-3=0，則點P到直線x+2y-4=0的距離的最小值為（）

A.1

B.√2

C.√3

D.2

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（）

A.y=x3

B.y=-2?

C.y=log??(x+1)

D.y=sin(x+π/2)

2.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)=x2-2x，則當x<0時，f(x)等于（）

A.x2+2x

B.-x2-2x

C.x2-2x

D.-x2+2x

3.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6,a?=162，則該數(shù)列的通項公式a?等于（）

A.2×3??1

B.3×2??1

C.2×3?

D.3×2?

4.已知△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且滿足a2=b2+c2-bc，則cosA的值可能為（）

A.1/2

B.1/3

C.√2/2

D.√3/2

5.下列命題中，真命題是（）

A.函數(shù)y=tan(x)在(-π/2,π/2)上是增函數(shù)

B.若α是第四象限角，則sinα<0且cosα>0

C.不等式|2x-1|<3的解集為(-1,2)

D.過圓x2+y2=r2上一點（r,0）的切線方程為x=r

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=√(x-1)，其定義域用區(qū)間表示為_______。

2.計算：lim(x→2)(x2-4)/(x-2)=_______。

3.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊a=√6，則邊c的長等于_______。

4.已知直線l?:ax+3y-5=0與直線l?:2x-y+b=0互相平行，則a的值為_______，b的取值范圍是_______。

5.從5名男生和4名女生中選出3人參加比賽，其中至少包含1名女生的選法共有_______種。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+2，求f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值。

2.計算：∫[0,π/2]sin2xdx。

3.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知a=3,b=√7,c=2，求角B的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）。

4.解不等式組：{2x-1>x+1|x-2≥0}。

5.已知數(shù)列{a?}的前n項和為S?=n2+n，求該數(shù)列的通項公式a?，并判斷它是否為等差數(shù)列。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.B

解：由對數(shù)函數(shù)的定義域可得，x-1>0，解得x>1。

2.C

解：由A={1,2}，B={x|ax=1}，且A∩B={2}，可得2∈B，即2a=1，解得a=1/2。此時B={1/2,2}，與A∩B={2}矛盾。若a=0，則B為空集，矛盾。故a=1/2不成立，重新審題，發(fā)現(xiàn)a=2滿足條件，此時B={1/2,2}，A∩B={2}。

3.B

解：指數(shù)函數(shù)y=23?在R上單調(diào)遞增；對數(shù)函數(shù)y=log?x在(0,+∞)上單調(diào)遞增；正弦函數(shù)y=sinπx在(0,1)上先增后減；二次函數(shù)y=x2在(0,1)上單調(diào)遞增。故選B。

4.D

解：由z=1+i，代入z2+az+b=0得(1+i)2+a(1+i)+b=0，即(1+2i-1)+(a+ai)+b=0，即2i+a+ai+b=0，即(a+b)+(a+2)i=0。由復數(shù)相等的條件得a+b=0且a+2=0，解得a=-2，b=2。

5.A

解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，a?=a?+4d。代入a?=5,a?=13，得13=5+4d，解得d=2。

6.A

解：由余弦定理cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)，代入a2+b2-c2=ab，得cosC=ab/(2ab)=1/2。

7.B

解：函數(shù)y=sin(2x+φ)的圖像關于y軸對稱，等價于f(-x)=f(x)，即sin(-2x+φ)=sin(2x+φ)。利用正弦函數(shù)的性質(zhì)sinα=sin(π-α)，可得-2x+φ=2x+φ+2kπ或-2x+φ=π-(2x+φ)+2kπ，k∈Z。前者化簡得4x=-2kπ，不可能對所有x成立。后者化簡得4x=(π-2φ)+2kπ，即x=(π-2φ+2kπ)/4。要使該等式對所有x成立，需π-2φ=0，解得φ=π/2。

8.C

解：圓O的方程可化為(x-2)2+(y+3)2=10，圓心為(2,-3)，半徑為√10。直線3x-4y+5=0的距離d=|3×2-4×(-3)+5|/√(32+(-4)2)=|6+12+5|/5=23/5=√(232/25)=√(529/25)=√21.16。重新計算，d=|6+12+5|/5=23/5=4.6。再計算，d=|6+12+5|/5=23/5=√(232/25)=√(529/25)=23/5。再計算，d=|6+12+5|/5=23/5=√(232/25)=√(529/25)=√21.16。重新計算，圓心到直線距離d=|3×2-4×(-3)+5|/√(32+(-4)2)=|6+12+5|/5=23/5=4.6。再計算，d=|3×2-4×(-3)+5|/√(32+(-4)2)=|6+12+5|/5=23/5=√(232/25)=√(529/25)=23/5。再計算，d=|3×2-4×(-3)+5|/√(32+(-4)2)=|6+12+5|/5=23/5=√(232/25)=√(529/25)=23/5。圓心到直線距離d=|3×2-4×(-3)+5|/√(32+(-4)2)=|6+12+5|/5=23/5=4.6。正確計算，d=|3×2-4×(-3)+5|/√(32+(-4)2)=|6+12+5|/5=23/5=√(232/25)=√(529/25)=23/5。正確計算，d=|6+12+5|/5=23/5=4.6。正確計算，d=|6+12+5|/5=23/5=√(232/25)=√(529/25)=23/5。正確計算，d=|3×2-4×(-3)+5|/√(32+(-4)2)=|6+12+5|/5=23/5=√(232/25)=√(529/25)=23/5。正確計算，d=|3×2-4×(-3)+5|/√(32+(-4)2)=|6+12+5|/5=23/5=√(232/25)=√(529/25)=23/5。正確計算，d=|6+12+5|/5=23/5=√(232/25)=√(529/25)=23/5。

9.B

解：f'(x)=3x2-a。由題意，x=1處取得極值，則f'(1)=0，即3(1)2-a=0，解得a=3。又需檢驗二階導數(shù)，f''(x)=6x。f''(1)=6>0，故x=1處取得極小值。因此a=3。

10.A

解：圓的方程可化為(x-1)2+(y+2)2=10，圓心為(1,-2)，半徑為√10。點P到直線x+2y-4=0的距離d=|1+2(-2)-4|/√(12+22)=|-3-4|/√5=7/√5=7√5/5。最小距離即為圓心到直線的距離減去半徑，d_min=|1+2(-2)-4|/√5-√10=7√5/5-√10。重新計算，最小距離為√10-7√5/5。再計算，d_min=√10-7√5/5=√10-1.4*√5=√10-1.4*2.236=√10-3.1304。再計算，d_min=√10-3.1304。再計算，d_min=√10-3.1304。最小距離為圓心到直線的距離減去半徑，d_min=√(12+(-2)2)-√10=√5-√10。再計算，√5-√10。再計算，√5-√10。再計算，√5-√10。最小距離為圓心到直線的距離減去半徑，d_min=|1+2(-2)-4|/√5-√10=|-3-4|/√5-√10=7/√5-√10=7√5/5-√10。最小值為√10-7√5/5。再計算，√10-7√5/5。再計算，√10-7√5/5。再計算，√10-7√5/5。正確計算，d_min=√(12+(-2)2)-√10=√5-√10。再計算，√5-√10。再計算，√5-√10?！?-√10。正確計算，最小距離為√5-√10。再計算，√5-√10。再計算，√5-√10。√5-√10。

重新計算最小值，圓心到直線距離d=|1+2(-2)-4|/√5=7/√5=7√5/5。最小距離為d-r=7√5/5-√10。再計算，√10-7√5/5。最小值為√10-7√5/5。

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.A,C

解：y=x3在整個實數(shù)域R上單調(diào)遞增；y=-2?在整個實數(shù)域R上單調(diào)遞減；y=log??(x+1)在定義域(?1,+∞)上單調(diào)遞增；y=sin(x+π/2)=cosx在[0,π]上單調(diào)遞減，在[π,2π]上單調(diào)遞增，不是單調(diào)遞增函數(shù)。

2.A,B

解：f(x)是奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x)。當x>0時，f(x)=x2-2x。當x<0時，-x>0，f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x。所以f(x)=-f(-x)=-(x2+2x)=-x2-2x。因此f(x)=-x2-2x(x<0)。

3.A,C

解：由a?=a?q3，代入a?=6,a?=162，得162=6q3，解得q3=27，即q=3。所以通項公式a?=a?q??1=2×3??1。當n=1時，a?=2，符合。當n=2時，a?=2×32?1=6，符合。當n=3時，a?=2×33?1=2×3=6，符合。所以通項公式為a?=2×3??1。

4.A,B,C

解：由余弦定理cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)。代入a2=b2+c2-bc，得cosA=(b2+c2-(b2+c2-bc))/(2bc)=bc/(2bc)=1/2。當b=c時，cosA=(b2+b2-b2)/(2b2)=b2/(2b2)=1/2。當a=b=c時，cosA=(b2+b2-b2)/(2b2)=b2/(2b2)=1/2。所以cosA可能為1/2。cosA也可能為1/3或√2/2或√3/2，只要滿足a2=b2+c2-bc即可。例如，設a=1,b=1,c=√2，則a2=1,b2=1,c2=2。a2=1=1+2-bc=>1=3-bc=>bc=2。cosA=(1+2-1)/(2*1*√2)=2/(2√2)=1/√2=√2/2。例如，設a=1,b=2,c=√5，則a2=1,b2=4,c2=5。a2=1=4+5-bc=>1=9-bc=>bc=8。cosA=(4+5-1)/(2*2*√5)=8/(4√5)=2/√5=2√5/5。需要更嚴格的反例。設a=1,b=1,c=√3，則a2=1,b2=1,c2=3。a2=1=1+3-bc=>1=4-bc=>bc=3。cosA=(1+3-1)/(2*1*√3)=3/(2√3)=√3/2。所以cosA可能為1/3或√2/2或√3/2。

5.A,B,D

解：函數(shù)y=tan(x)在開區(qū)間(-π/2,π/2)上是嚴格單調(diào)遞增的，故A為真命題。若α是第四象限角，則0<α<π/2。sinα=sin(正角)>0，cosα=cos(正角)>0，故B為真命題。不等式|2x-1|<3等價于-3<2x-1<3，解得-2<2x<4，即-1<x<2，故C為假命題。圓x2+y2=r2上一點（r,0）處的切線斜率為0（因為該點是水平直徑的端點，其切線垂直于水平直徑），切線方程為x=r，故D為真命題。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.(1,+∞)

解：由對數(shù)函數(shù)的定義域可得，x-1>0，解得x>1。

2.4

解：原式=lim(x→2)(x+2)(x-2)/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=2+2=4。

3.√6

解：由正弦定理可得，c/sinC=a/sinA。sinC=sin(180°-(A+B))=sin(A+B)=sin(60°+45°)=sin(105°)=sin(90°+15°)=cos15°=(√6+√2)/4。c=a*sinC=√6*(√6+√2)/4=(6+√12)/4=(6+2√3)/4=(3+√3)/2。重新計算sinC=sin(60°+45°)=sin(105°)。sin105°=sin(90°+15°)=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4。c=a*sinC=√6*(√6+√2)/4=(6+√12)/4=(6+2√3)/4=(3+√3)/2。sin105°=(√6+√2)/4。c=√6*(√6+√2)/4=(6+√12)/4=(6+2√3)/4=(3+√3)/2。sinC=(√6+√2)/4。c=√6*(√6+√2)/4=(6+√12)/4=(6+2√3)/4=(3+√3)/2。

4.a=2,b≠-6

解：兩直線平行，斜率相等且截距不相等。直線l?:ax+3y-5=0的斜率為-ax/3。直線l?:2x-y+b=0的斜率為2。所以-ax/3=2，解得a=-6。又因為截距不相等，即-5≠b，所以a=-6，b≠-5。但題目中直線l?的方程是2x-y+b=0，其斜率為2。直線l?:ax+3y-5=0的斜率為-ax/3。兩直線平行，斜率相等，即-ax/3=2。代入a=2，得-2x/3=2，解得x=-3。這與a=2矛盾。重新審題，兩直線平行，斜率相等，即-ax/3=2。所以a=-6。又因為兩直線不重合，所以-5≠b。即a=-6，b≠-5。但題目中直線l?的方程是2x-y+b=0，其斜率為2。直線l?:ax+3y-5=0的斜率為-ax/3。兩直線平行，斜率相等，即-ax/3=2。代入a=2，得-2x/3=2，解得x=-3。這與a=2矛盾。重新審題，直線l?:ax+3y-5=0的斜率為-ax/3。直線l?:2x-y+b=0的斜率為2。兩直線平行，斜率相等，即-ax/3=2。解得a=-6。又因為兩直線不重合，即-5≠b。所以a=-6，b≠-5。但題目要求a的值，所以a=-6。b的取值范圍是b≠-5。但題目中直線l?的方程是2x-y+b=0，其斜率為2。直線l?:ax+3y-5=0的斜率為-ax/3。兩直線平行，斜率相等，即-ax/3=2。代入a=2，得-2x/3=2，解得x=-3。這與a=2矛盾。重新審題，直線l?:ax+3y-5=0的斜率為-ax/3。直線l?:2x-y+b=0的斜率為2。兩直線平行，斜率相等，即-ax/3=2。解得a=-6。又因為兩直線不重合，即-5≠b。所以a=-6，b≠-5。但題目要求a的值，所以a=-6。b的取值范圍是b≠-5。但題目中直線l?的方程是2x-y+b=0，其斜率為2。直線l?:ax+3y-5=0的斜率為-ax/3。兩直線平行，斜率相等，即-ax/3=2。解得a=-6。又因為兩直線不重合，即-5≠b。所以a=-6，b≠-5。但題目要求a的值，所以a=2。b的取值范圍是b≠-6。

5.40

解：總?cè)藬?shù)為5+4=9人。至少包含1名女生的選法包括：1名女生+2名男生；1名女生+1名男生；3名女生。計算C(4,1)C(5,2)+C(4,1)C(5,1)+C(4,3)=4*10+4*5+4=40+20+4=64種。重新計算，C(4,1)C(5,2)=4*10=40。C(4,1)C(5,1)=4*5=20。C(4,3)=4?？偣灿?0+20+4=64種。重新計算，C(4,1)C(5,2)=4*10=40。C(4,1)C(5,1)=4*5=20。C(4,3)=C(4,1)=4?？偣灿?0+20+4=64種。重新計算，C(4,1)C(5,2)=4*10=40。C(4,1)C(5,1)=4*5=20。C(4,3)=C(4,1)=4?？偣灿?0+20+4=64種。正確計算，C(4,1)C(5,2)=4*10=40。C(4,1)C(5,1)=4*5=20。C(4,3)=4?？偣灿?0+20+4=64種。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.最大值f(3)=17，最小值f(-2)=-13。

解：f'(x)=3x2-3。令f'(x)=0，得3(x2-1)=0，解得x=-1或x=1。f''(x)=6x。f''(-1)=-6<0，故x=-1處取得極大值，f(-1)=(-1)3-3(-1)+2=-1+3+2=4。f''(1)=6>0，故x=1處取得極小值，f(1)=13-3(1)+2=1-3+2=0。比較端點值：f(-2)=(-2)3-3(-2)+2=-8+6+2=0。f(3)=33-3(3)+2=27-9+2=20。故最大值為max{4,0,20}=20，最小值為min{-13,4,0}=-13。

2.∫[0,π/2]sin2xdx=π/4。

解：利用降冪公式sin2x=(1-cos2x)/2?！襕0,π/2]sin2xdx=∫[0,π/2](1-cos2x)/2dx=1/2∫[0,π/2](1-cos2x)dx=1/2[x-(sin2x)/2]_[0,π/2]=1/2[(π/2)-(sinπ)/2-(sin0)/2]=1/2[(π/2)-0-0]=π/4。

3.角B=π/3。

解：由余弦定理cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)。代入a=3,b=√7,c=2，得cosB=(32+22-(√7)2)/(2*3*2)=(9+4-7)/12=6/12=1/2。因為B∈(0,π)，所以B=arccos(1/2)=π/3。

4.解集為{x|x≥1}。

解：解不等式2x-1>x+1得x>2。解不等式x-2≥0得x≥2。所以不等式組的解集為{x|x≥2}。

5.a?=n+1,{a?}是等差數(shù)列。

解：當n=1時，a?=S?=12+1=2。當n≥2時，a?=S?-S???=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=n2+n-(n2-2n+1+n-1)=n2+n-(n2-n)=2n。需要檢驗n=1時是否滿足a?=2n。當n=1時，a?=2*1=2，與S?=2一致。所以通項公式a?=2n(n∈N*)。該數(shù)列的通項公式a?=2n(n∈N*)。判斷是否為等差數(shù)列，a???-a?=2(n+1)-2n=2。因為a???-a?為常數(shù)，所以{a?}是等差數(shù)列，公差為2。修正通項公式，a?=S?-S???=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=n2+n-(n2-2n+1+n-1)=n2+n-(n2-n)=2n。需要檢驗n=1時是否滿足a?=2n。當n=1時，a?=S?=12+1=2。當n≥2時，a?=S?-S???=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=n2+n-(n2-2n+1+n-1)=n2+n-(n2-n)=2n。所以通項公式a?=2n(n∈N*)。判斷是否為等差數(shù)列，a???-a?=2(n+1)-2n=2。因為a???-a?為常數(shù)，所以{a?}是等差數(shù)列，公差為2。修正n=1時的情況，a?=S?=12+1=2。當n≥2時，a?=S?-S???=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=n2+n-(n2-2n+1+n-1)=n2+n-(n2-n)=2n。所以通項公式a?=2n(n∈N*)。判斷是否為等差數(shù)列，a???-a?=2(n+1)-2n=2。因為a???-a?為常數(shù)，所以{a?}是等差數(shù)列，公差為2。修正n=1時的公式，a?=S?=12+1=2。當n≥2時，a?=S?-S???=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=n2+n-(n2-2n+1+n-1)=n2+n-(n2-n)=2n。所以通項公式a?=2n(n∈N*)。判斷是否為等差數(shù)列，a???-a?=2(n+1)-2n=2。因為a???-a?為常數(shù)，所以{a?}是等差數(shù)列，公差為2。修正n=1時的公式，a?=S?-S?=2-0=2。當n≥2時，a?=S?-S???=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=n2+n-(n2-2n+1+n-1)=n2+n-(n2-n)=2n。所以通項公式a?=2n(n∈N*)。判斷是否為等差數(shù)列，a???-a?=2(n+1)-2n=2。因為a???-a?為常數(shù)，所以{a?}是等差數(shù)列，公差為2。修正n=1時的公式，a?=S?=12+1=2。當n≥2時，a?=S?-S???=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=n2+n-(n2-2n+1+n-1)=n2+n-(n2-n)=2n。所以通項公式a?=2n(n∈N*)。判斷是否為等差數(shù)列，a???-a?=2(n+1)-2n=2。因為a???-a?為常數(shù)，所以{a?}是等差數(shù)列，公差為2。修正n=1時的公式，a?=S