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函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值第二章2026高中總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI內(nèi)容索引0102第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)【知識(shí)篩查】

1.增函數(shù)與減函數(shù)的定義

溫馨提示1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或討論函數(shù)的單調(diào)性必須先求函數(shù)的定義域.2.一個(gè)函數(shù)的同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“,”連接,不能用“∪”連接.3.函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),但在整個(gè)定義域上不一定是單調(diào)函數(shù),如函數(shù)

在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上都單調(diào)遞減,但在定義域上不具有單調(diào)性.問題思考“函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是M”與“函數(shù)在區(qū)間N上單調(diào)遞增”,兩種說法的含義相同嗎?不相同,這是兩個(gè)不同的概念,顯然N?M.2.函數(shù)的最大(小)值

2.基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

3.單調(diào)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(1)若f(x),g(x)均在區(qū)間A上單調(diào)遞增(減),則f(x)+g(x)也在區(qū)間A上單調(diào)遞增(減);(2)若k>0,則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相同;若k<0,則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相反;【知識(shí)鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)函數(shù)f(x)=log5(2x+1)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞).(

)(2)設(shè)任意x1,x2∈[a,b],x1≠x2,則f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增?

.(

)(3)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞).(

)(4)若一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個(gè)子區(qū)間上都單調(diào)遞增,則這個(gè)函數(shù)在定義域上是增函數(shù).(

)(5)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值.(

)×√×××2.函數(shù)

在區(qū)間[1,+∞)上(

)A.有最大值無最小值

B.有最小值無最大值C.有最大值也有最小值

D.無最大值也無最小值A(chǔ)函數(shù)

是反比例函數(shù),當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),函數(shù)圖象下降,所以在區(qū)間[1,+∞)上f(x)單調(diào)遞減,f(1)為f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最大值,函數(shù)在區(qū)間[1,+∞)上沒有最小值.故選A.D對(duì)于A,函數(shù)單調(diào)遞減,不合題意;對(duì)于B,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)單調(diào)遞減,不合題意;對(duì)于C,函數(shù)在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性,不合題意;對(duì)于D,根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知,函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),符合題意.故選D.4.設(shè)定義在區(qū)間[-1,7]上的函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

.

[-1,1]和[5,7]由題圖可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-1,1]和[5,7].5.若函數(shù)y=(2k+1)x+b在R上是減函數(shù),則k的取值范圍是

.6.若函數(shù)f(x)滿足“對(duì)任意的x1,x2∈R,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2)”,則滿足

f(2x-1)<f(1)的實(shí)數(shù)x的取值范圍為

.

因?yàn)楹瘮?shù)y=(2k+1)x+b在R上是減函數(shù),所以2k+1<0,即

(1,+∞)由題意知,函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)為減函數(shù),∵f(2x-1)<f(1),∴2x-1>1,即x>1,∴x的取值范圍為(1,+∞).第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點(diǎn)1確定函數(shù)的單調(diào)性命題角度1確定不含參函數(shù)的單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)例1

(1)函數(shù)f(x)=|x2-3x+2|的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)B(2)函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間為

,單調(diào)遞減區(qū)間為

.

[2,+∞)(-∞,-3]命題角度2確定含參函數(shù)的單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)例2

判斷并證明函數(shù)

(其中1<a<3)在區(qū)間[1,2]上的單調(diào)性.拓展延伸如何用導(dǎo)數(shù)法求解本例?因?yàn)?≤x≤2,所以1≤x3≤8,又1<a<3,所以2ax3-1>0,所以f'(x)>0,解題心得確定一般函數(shù)單調(diào)性(區(qū)間)的方法

定義法一般步驟為設(shè)元→作差→變形→判斷符號(hào)→得出結(jié)論圖象法若f(x)是以圖象形式給出的,或者f(x)的圖象易作出,則可由圖象的上升或下降確定其單調(diào)性導(dǎo)數(shù)法先求導(dǎo)數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間性質(zhì)法對(duì)于由基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù),可根據(jù)各初等函數(shù)的單調(diào)性及f(x)±g(x)的單調(diào)性進(jìn)行判斷復(fù)合法對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)),先將函數(shù)分解成y=f(t)和t=g(x),再討論(判斷)這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性,最后根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的規(guī)則進(jìn)行判斷對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A.(-∞,-2) B.(-∞,1)C.(1,+∞) D.(4,+∞)D函數(shù)y=x2-2x-8=(x-1)2-9圖象的對(duì)稱軸為直線x=1,由x2-2x-8>0,解得x>4或x<-2,即函數(shù)y=x2-2x-8在區(qū)間(4,+∞)上單調(diào)遞增.根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4,+∞).(2)函數(shù)y=-x2+2|x|+3的單調(diào)遞減區(qū)間是

.

[-1,0],[1,+∞)由題意知,當(dāng)x≥0時(shí),y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;當(dāng)x<0時(shí),y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,該函數(shù)的圖象如圖所示,由圖象可知,函數(shù)y=-x2+2|x|+3的單調(diào)遞減區(qū)間為[-1,0],[1,+∞).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2討論函數(shù)

在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)性.能力形成點(diǎn)2利用函數(shù)的單調(diào)性求最值例3

已知函數(shù)(1)判斷f(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)的單調(diào)性,并加以證明.(2)求f(x)在區(qū)間[2,6]上的最大值和最小值.解題心得1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(減),則f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).2.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(減),在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減(增),則f(x)在區(qū)間[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的一個(gè).

1

能力形成點(diǎn)3函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題角度1利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小

B命題角度2解函數(shù)不等式例5

已知定義在區(qū)間[-2,2]上的函數(shù)f(x)滿足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,x1≠x2,且f(a2-a)>f(2a-2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.

[0,1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,x1≠x2,所以函數(shù)在區(qū)間[-2,2]上單調(diào)遞增,所以-2≤2a-2<a2-a≤2,解得0≤a<1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0,1).命題角度3利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(2)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)的增函數(shù),則滿足

的x的取值范圍是

.

解題心得1.比較函數(shù)值的大小,應(yīng)先將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),再利用函數(shù)的單調(diào)性解決.2.解有關(guān)函數(shù)的不等式,主要是利用函數(shù)的單調(diào)性將符號(hào)“f”脫掉,使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.應(yīng)注意函數(shù)的定義域以及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用.3.分段函數(shù)的單調(diào)性,除注意各段的單調(diào)性外,還要注意銜接點(diǎn)的取值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)已知函數(shù)f(x)=2-x-4x,若a=0.3-0.25,b=log0.250.3,c=log0.32.5,則(

)A.f(b)<f(a)<f(c)

B.f(c)<f(b)<f(a)C.f(c)<f(a)<f(b)

D.f(a)<f(b)<f(c)D∵y=2-x是R上的減函數(shù),y=-4x是R上的減函數(shù),∴f(x)=2-x-4x是R上的減函數(shù).∵0.3-0.25>0.30=1,0=log0.251<log0.250.3<log0.250.25=1,log0.32.5<log0.31=0,∴a>b>c,∴f(a)<f(b)<f(c).(2)已知函數(shù)f(x)=lnx+2x,若f(x2-4)<2,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

.因?yàn)楹瘮?shù)y=ln

x和y=2x在區(qū)間(0,+∞)上均單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)=ln

x+2x在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.又因?yàn)閒(1)=2,所以f(x2-4)<2等價(jià)于f(x2-4)<f(1),所以0<x2-4<1,即4<x2<5,(3)已知函數(shù)

若f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.

(4)已知函數(shù)f(x)=log2(x2-ax+3a)在區(qū)間[2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.