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平面向量基本定理及向量的坐標表示第六章2026高中總復習優(yōu)化設計GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI內(nèi)容索引0102第一環(huán)節(jié)必備知識落實第二環(huán)節(jié)關鍵能力形成第一環(huán)節(jié)必備知識落實【知識篩查】

1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.{e1,e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.任一向量都可以由同一個基底唯一表示.溫馨提示兩個向量能否作為平面內(nèi)所有向量的一個基底,關鍵是看這兩個向量是否共線,與其長度沒有關系.只要兩個向量不共線,即可作為平面內(nèi)所有向量的一個基底.2.平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.3.平面向量的坐標表示(1)基底:在平面直角坐標系中,設與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量分別為i,j,取{i,j}作為基底.(2)坐標:對于平面內(nèi)的任意一個向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數(shù)x,y,使得a=xi+yj.我們把有序數(shù)對(x,y)叫做向量a的坐標,記作a=(x,y),其中,x叫做a在x軸上的坐標,y叫做a在y軸上的坐標.(3)坐標表示:a=(x,y)叫做向量a的坐標表示.(4)特殊向量的坐標:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).4.平面向量線性運算的坐標表示若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則:5.平面向量共線的坐標表示設a=(x1,y1),b=(x2,y2),則向量a,b共線的充要條件是

x1y2-x2y1=0.溫馨提示兩向量共線的充要條件可用口訣“交叉相乘,其差為0”來記憶.【知識鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底.(

)(2)平面向量經(jīng)過平移變換之后其坐標不變.(

)(3)在△ABC中,向量

的夾角為∠ABC.(

)(4)已知{a,b}是平面內(nèi)的一個基底,若實數(shù)λ1,μ1,λ2,μ2滿足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,則λ1=λ2,μ1=μ2.(

)(5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件是

.(

)×√×√×A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)A3.已知向量a=(1,m),b=(m,1),則“m=1”是“a∥b”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件A當m=1時,a=b,可以推出a∥b;當a∥b時,m2=1,解得m=±1,不能推出m=1.所以“m=1”是“a∥b”的充分不必要條件.故選A.4.若a=(1,1),b=(1,-1),c=(-2,4),則以{a,b}為基底表示c等于(

)A.a-3b

B.-a+3b

C.3a-b

D.-3a+bA設c=λa+μb,由題意可得(-2,4)=(λ,λ)+(μ,-μ)=(λ+μ,λ-μ),則λ+μ=-2,λ-μ=4,解得λ=1,μ=-3,故c=a-3b.5.(2024新高考Ⅰ,3)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),則x=(

)A.-2 B.-1 C.1 D.2D∵a=(0,1),b=(2,x),∴b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x-4).∵b⊥(b-4a),∴b·(b-4a)=0,即(2,x)·(2,x-4)=4+x(x-4)=0,∴x=2.第二環(huán)節(jié)關鍵能力形成能力形成點1平面向量基本定理的應用C2(3)設{e1,e2}是平面內(nèi)所有向量的一個基底,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,則向量e1+e2可以表示為另一個基底{a,b}的線性組合,即e1+e2=

.由題意,設e1+e2=ma+nb(m,n∈R).∵a=e1+2e2,b=-e1+e2,∴e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.解題心得1.應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是:先選擇一個基底,再通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件,把相關向量用這一個基底表示出來,最后運用向量的性質(zhì)解決問題.3能力形成點2平面向量的坐標運算例2

(1)已知點M(5,-6)和向量a=(1,-2),若

,則點N的坐標為(

)A.(2,0) B.(-3,6) C.(6,2) D.(-2,0)A(7,-6)解題心得向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行的.解題過程中,常利用向量相等則其坐標相同這一原則,通過列方程(組)來進行求解.BA以A為原點建立平面直角坐標系,如圖所示.能力形成點3平面向量共線的坐標表示例3

(1)已知點P(-1,2),線段PQ的中點M的坐標為(1,-1).若向量

與向量a=(λ,1)共線,則實數(shù)λ=

.

(2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,設向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若p∥q,則角C的大小為

.

60°由p∥q,得(a+c)(c-a)=b(b-a),整理,得b2+a2-c2=ab.且0°<C<180°,故C=60°.解題心得1.向量共線的兩種表示形式:設a=(x1,y1),b=(x2,y2),(1)a∥b?a=λb(b≠0);(2