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直線的交點坐標與距離公式第八章2026高中總復習優(yōu)化設計GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI內容索引0102第一環(huán)節(jié)必備知識落實第二環(huán)節(jié)關鍵能力形成第一環(huán)節(jié)必備知識落實【知識篩查】

1.兩條直線的交點坐標

2.三種距離

溫馨提示應用點到直線的距離公式和兩條平行線間的距離公式時應注意:(1)將直線方程化為最簡的一般形式;(2)應用兩條平行直線間的距離公式時,應使兩條平行直線的方程中x,y的系數分別對應相等.1.與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).2.與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R).3.過直線l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但要注意此直線系不包括直線l2.【知識鞏固】

×√√(4)若兩條直線的方程組成的方程組有解,則兩條直線相交.(

)(5)兩平行線間的距離是一條直線上任意一點到另一條直線的距離,也可以看作是兩條直線上各取一點的最短距離.(

)×√2.已知直線l1:x-y=0與l2:2x-3y+1=0的交點在直線mx+3y+5=0上,則實數m的值為(

)A.3 B.5

C.-5 D.-83.已知A(-2,-4),B(1,5)兩點到直線l:ax+y+1=0的距離相等,則實數a的值為(

)A.-3 B.3或-3 C.3 D.1DB4.點(1,2)關于直線x+y-2=0的對稱點的坐標是(

)A.(1,0) B.(0,1) C.(0,-1) D.(2,1)B5.直線2x+2y+1=0與x+y+2=0之間的距離是

.

第二環(huán)節(jié)關鍵能力形成能力形成點1兩條直線的交點與距離問題例1

(1)若直線l經過點(-1,-2),且原點到直線l的距離為1,則直線l的方程為(

)A.3x-4y-5=0

B.x=-1或3x-4y-5=0C.y=-1

D.3x+4y-5=0B當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=-1,滿足原點到直線l的距離為1.當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y+2=k(x+1),即kx-y+k-2=0.(2)已知直線y=kx+2k+1與直線

的交點位于第一象限,則實數k的取值范圍是

.

(方法二)如圖,直線

與x軸、y軸分別交于點A(4,0),B(0,2).直線方程y=kx+2k+1可化為y-1=k(x+2),則該直線過定點P(-2,1),斜率為k.因為兩條直線的交點在第一象限,所以兩條直線的交點必在線段AB上(不包括端點),所以k需滿足kPA<k<kPB.(3)已知直線l1:x+ay-2=0(a∈R)與l2:平行,則a=

,直線l1與l2之間的距離為

.

解題心得1.求過兩條直線交點的直線方程的方法:(1)先求出兩條直線的交點坐標.(2)再結合其他條件寫出直線方程.2.利用距離公式應注意:(1)點P(x0,y0)到直線x=a的距離為|x0-a|,到直線y=b的距離為|y0-b|.(2)使用兩條平行線間的距離公式時,要保證兩個直線方程中x,y的系數對應相等.對點訓練1(1)若兩條平行直線l1:x-2y+m=0與l2:2x+ny-6=0之間的距離為,則m+n的值為(

)A.3或-17 B.-17

C.-3 D.17或-3A所以|m+3|=10,解得m=-13或m=7.當m=-13時,m+n=-13-4=-17;當m=7時,m+n=7-4=3.所以m+n的值為3或-17.(2)已知△ABC三邊所在直線的方程分別為AB:3x+4y+12=0,BC:4x-3y+16=0,AC:2x+y-2=0,則AC邊上的高BD所在直線的方程為

.x-2y+4=0能力形成點2對稱問題命題角度1點關于點對稱例2

過點P(0,1)作直線l,使它被直線l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的線段被點P平分,則直線l的方程為

.

x+4y-4=0設l1與l的交點為A(a,8-2a),則由題意知,點A關于點P的對稱點B(-a,2a-6)在l2上,則有-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即點A(4,0)在直線l上,故直線l的方程為

,即x+4y-4=0.命題角度2點關于直線對稱例3

如圖,已知點A(4,0),B(0,4),從點P(2,0)射出的光線經直線AB反射后射到直線OB上,再經直線OB反射后又回到點P,則光線所經過的路程是(

)C由已知得直線AB的方程為x+y=4.如圖,點P(2,0)關于直線AB的對稱點為D(4,2),關于y軸的對稱點為C(-2,0).易知點C,D在直線MN上,命題角度3直線關于點對稱例4

直線y=-4x+1關于點M(2,3)對稱的直線方程為

.4x+y-21=0(方法一)設P(x,y)為所求直線上任意一點,Q(x0,y0)為點P關于點M(2,3)的對稱點,則點Q在直線y=-4x+1上.所以y0=-4x0+1,所以6-y=-4(4-x)+1,即4x+y-21=0.故所求直線方程為4x+y-21=0.(方法二)由題意可知,所求直線與直線y=-4x+1平行,且點M到兩條直線的距離相等.將直線方程y=-4x+1化為4x+y-1=0.設所求直線方程為4x+y+c=0(c≠-1),解得c=-21或c=-1(舍去).故所求直線方程為4x+y-21=0.命題角度4直線關于直線對稱例5

直線2x-y+3=0關于直線x-y+2=0對稱的直線方程是

.x-2y+3=0設所求直線上任意一點P(x,y),點P關于直線x-y+2=0的對稱點為P'(x0,y0),又點P'在直線2x-y+3=0上,所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.故所求直線方程為x-2y+3=0.解題心得1.點關于點的對稱:求點P關于點M(a,b)的對稱點Q的問題,主要依據M是線段PQ的中點,即xP+xQ=2a,yP+yQ=2b.2.點關于直線的對稱:求已知點A(m,n)關于已知直線l:y=kx+b的對稱點A'(x0,y0)的坐標,主要依據直線l是線段AA'的垂直平分線,分別以垂直和平分關系列出方程,得到關于x0,y0的方程組.3.直線關于點的對稱:求直線l關于點M(m,n)的對稱直線l'的問題,主要依據直線l'上的任意一點T(x,y)關于點M(m,n)的對稱點T'(2m-x,2n-y)在直線l上.4.直線關于直線的對稱:此類問題一般轉化為點關于直線的對稱來解決.其中有兩種情況:一是已知直線與對稱軸相交;二是已知直線與對稱軸平行.對點訓練2已知直線l:3x-y+3=0,求:(1)點P(4,5)關于直線l的對稱點的坐標;(2)直線x-y-2=0關于直線l對稱的直線方程;(3)直線l關于點(1,2)對稱的直線方程.解

(1)設點P(4,5)關于直線l的對稱點的坐標為(x,y),故點P關于直線l的對稱點的坐標為(-2,7).(2)