考點(diǎn)規(guī)范練39立體幾何中的向量方法1.直線l的方向向量s=(-1,1,1),平面α的法向量為n=(2,x2+x,-x).若直線l∥平面α,則x的值為()A.-2 B.-2 C.2 D.±2答案:D解析:當(dāng)線面平行時(shí),直線的方向向量垂直于平面的法向量,故-1×2+1×(x2+x)+1×(-x)=0,解得x=±2.2.已知平面α的一個(gè)法向量為n=(1,-3,0),則y軸與平面α所成的角的大小為()A.π6 B.π3 C.π4答案:B解析:可知y軸的方向向量為m=(0,1,0),設(shè)y軸與平面α所成的角為θ,則sinθ=|cos<m,n>|.∵cos<m,n>=m·n|∴sinθ=32,∴θ=π3.如圖,正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,若AB=2,AF=1,點(diǎn)M在EF上,且AM∥平面BDE,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為()A.(1,1,1) B.2C.22,2答案:C解析:設(shè)M(x,x,1).由已知得A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,1),則AM=(x-2,x-2,1),BD=(2,-2,0),BE=(0,-2設(shè)平面BDE的法向量為n=(a,b,c),則n令b=1,則可取n=(1,1,2).又AM∥平面BDE,所以n·AM=0,即2(x-2)+2=0,得x=22所以M224.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn),則點(diǎn)E到平面ACD1的距離為()A.12 B.22 C.13答案:C解析:如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,1),E(1,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0),從而AE=(0,1,0),AC=(-1,2,0),AD1=(-設(shè)平面ACD1的法向量為n=(a,b,c).則n令a=2,則可取n=(2,1,2).所以點(diǎn)E到平面ACD1的距離為h=|AE5.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,則(A.EF至多與A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF與BD1相交D.EF與BD1異面答案:B解析:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.設(shè)正方體的棱長為1,則A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E(13,0,13),F(23,13,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),AAC=(-1,1,0),EF=(13,13,-13),BD1=(-1,-1,1),EF=-13BD1,A1D·EF=AC·EF6.(多選)將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C,則()A.AC⊥BDB.△ACD是等邊三角形C.AB與平面BCD所成的角為60°D.AB與CD所成的角為60°答案:ABD解析:取BD的中點(diǎn)E,連接AE,CE,則AE⊥BD,CE⊥BD.又AE∩CE=E,∴BD⊥平面AEC.∴BD⊥AC,故A正確.設(shè)正方形的邊長為a,則AD=DC=a,AE=22a=EC.由題意知∠AEC=90°,則在Rt△AEC中,可得AC=a∴△ACD為等邊三角形,故B正確.由已知得AE⊥平面BCD,則∠ABD為AB與平面BCD所成的角,為45°,故C錯(cuò)誤.以E為坐標(biāo)原點(diǎn),EC,ED,EA所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,22a),B(0,-22a,0),D(0,22a,0),C(22∴AB=(0,-22a,-22a),DC=(22a,-22∵cos<AB,DC>=∴<AB,DC>=60°,故D7.在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12,則平面SCD與平面SAB夾角的余弦值是.答案:6解析:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則有D12,0,0,C(1,1,0),S(0,0,1),可知設(shè)平面SCD的法向量n=(x,y,z),因?yàn)镾D=所以n·SD=0,n·DC=0,即x2-z=0,x2+y=令x=2,則y=-1,z=1,所以可取n=(2,-1,1).設(shè)平面SCD與平面SAB的夾角為θ,則cosθ=|AD8.(2024新高考Ⅰ,17)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=3(1)若AD⊥PB,證明:AD∥平面PBC;(2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值為427,求AD(1)證明:∵BC=1,AB=3,AC=2,∴AC2=AB2+BC2,∴AB⊥AC.又PA⊥底面ABCD,BC?底面ABCD,∴PA⊥BC.又PA,AB?平面PAB,AB∩PA=A,∴BC⊥平面PAB.∵PA⊥底面ABCD,AD?底面ABCD,∴AD⊥PA.又AD⊥PB,且PA,PB?平面PAB,PB∩PA=P,∴AD⊥平面PAB.∴AD∥BC.又BC?平面PBC,AD在平面PBC外,∴AD∥平面PBC.(2)解:∵AD⊥DC,∴以AD,DC所在直線分別為x軸、y軸,以過點(diǎn)D且與AP平行的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.令A(yù)D=t,則A(t,0,0),P(t,0,2),D(0,0,0),DC=4-t2,C(0,∴AC=(-t,4-t2,0),AP=(0,0,2),DP=(t,0,2),DC=設(shè)平面ACP的法向量為n1=(x1,y1,z1),則n∴z1=0.不妨設(shè)x1=4-t2,則y1=t,∴平面ACP的一個(gè)法向量為n1=(4-設(shè)平面CPD的法向量為n2=(x2,y2,z2),