第1頁、共2頁2013年上海市秋季高考理科數(shù)學一、填空題1．計算：2．設，是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則3．若，則4．已知△ABC的內角A、B、C所對應邊分別為a、b、c，若，則角C的大小是_______________（結果用反三角函數(shù)值表示）5．設常數(shù)，若的二項展開式中項的系數(shù)為，則6．方程的實數(shù)解為________7．在極坐標系中，曲線與的公共點到極點的距離為__________8．盒子中裝有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的九個球，從中任意取出兩個，則這兩個球的編號之積為偶數(shù)的概率是___________（結果用最簡分數(shù)表示）9．設AB是橢圓的長軸，點C在上，且，若AB=4，，則的兩個焦點之間的距離為________10．設非零常數(shù)d是等差數(shù)列的公差，隨機變量等可能地取值，則方差11．若，則12．設為實常數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，若對一切成立，則的取值范圍為________13．在平面上，將兩個半圓弧和、兩條直線和圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影部分．記D繞y軸旋轉一周而成的幾何體為，過作的水平截面，所得截面面積為，試利用祖暅原理、一個平放的圓柱和一個長方體，得出的體積值為__________14．對區(qū)間I上有定義的函數(shù)，記，已知定義域為的函數(shù)有反函數(shù)，且，若方程有解，則二、選擇題15．設常數(shù)，集合，若，則的取值范圍為（）(A) (B) (C) (D)16．錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的（）(A)充分條件(B)必要條件(C)充分必要條件(D)既非充分也非必要條件17．在數(shù)列中，，若一個7行12列的矩陣的第i行第j列的元素，（）則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個數(shù)為（）(A)18 (B)28 (C)48 (D)6318．在邊長為1的正六邊形ABCDEF中，記以A為起點，其余頂點為終點的向量分別為；以D為起點，其余頂點為終點的向量分別為.若分別為的最小值、最大值，其中,,則滿足（）.(A) (B) (C) (D)三、解答題19.（本題滿分12分）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，證明直線BC1平行于平面DA1C，并求直線BC1到平面D1AC的距離.20．（6分+8分）甲廠以x 千克/小時的速度運輸生產某種產品（生產條件要求），每小時可獲得利潤是元.(1)要使生產該產品2小時獲得的利潤不低于3000元，求x的取值范圍；(2)要使生產900千克該產品獲得的利潤最大，問：甲廠應該選取何種生產速度？并求最大利潤.21．（6分+8分）已知函數(shù)，其中常數(shù)；（1）若在上單調遞增，求的取值范圍；（2）令，將函數(shù)的圖像向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)的圖像，區(qū)間（且）滿足：在上至少含有30個零點，在所有滿足上述條件的中，求的最小值．22．（3分+5分+8分）如圖，已知曲線，曲線，P是平面上一點，若存在過點P的直線與都有公共點，則稱P為“C1—C2型點”．(1)在正確證明的左焦點是“C1—C2型點”時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；(2)設直線與有公共點，求證，進而證明原點不是“C1—C2型點”；(3)求證：圓內的點都不是“C1—C2型點”．23．（3

分+6分+9分）給定常數(shù)，定義函數(shù)，數(shù)列滿足.（1）若，求及；（2）求證：對任意，；（3）是否存在，使得成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說明理由.22．（本題滿分16分）本題共有3個小題．第1小題滿分6分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分．如圖，已知雙曲線：，曲線：．是平面內一點，若存在過點的直線與、都有公共點，則稱為“型點”．（1）在正確證明的左焦點是“型點”時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；（2）設直線與有公共點，求證，進而證明原點不是“型點；（3）求證：圓內的點都不是“型點”．23．（本題滿分18分）本題共有3個小題．第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分．給定常數(shù)，定義函數(shù)．數(shù)列，，，…滿足．（1）若，求及；（2）求證：對任意，；（3）是否存在，使得，，，…，…成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的；若不存在，說明理由．以下內容，題后含答案、解析2013年上海市秋季高考理科數(shù)學一、填空題1．計算：【解答】根據(jù)極限運算法則，．2．設，是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則【解答】．3．若，則【解答】．4．已知△ABC的內角A、B、C所對應邊分別為a、b、c，若，則角C的大小是_______________（結果用反三角函數(shù)值表示）【解答】，故．5．設常數(shù)，若的二項展開式中項的系數(shù)為，則【解答】，故．6．方程的實數(shù)解為________【解答】原方程整理后變?yōu)椋?．在極坐標系中，曲線與的公共點到極點的距離為__________【解答】聯(lián)立方程組得，又，故所求為．8．盒子中裝有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的九個球，從中任意取出兩個，則這兩個球的編號之積為偶數(shù)的概率是___________（結果用最簡分數(shù)表示）【解答】9個數(shù)5個奇數(shù)，4個偶數(shù)，根據(jù)題意所求概率為．9．設AB是橢圓的長軸，點C在上，且，若AB=4，，則的兩個焦點之間的距離為________【解答】不妨設橢圓的標準方程為，于是可算得，得．10．設非零常數(shù)d是等差數(shù)列的公差，隨機變量等可能地取值，則方差【解答】，．11．若，則【解答】，，故．12．設為實常數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，若對一切成立，則的取值范圍為________【解答】，故；當時，即，又，故．13．在平面上，將兩個半圓弧和、兩條直線和圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影部分．記D繞y軸旋轉一周而成的幾何體為，過作的水平截面，所得截面面積為，試利用祖暅原理、一個平放的圓柱和一個長方體，得出的體積值為__________【解答】根據(jù)提示，一個半徑為1，高為的圓柱平放，一個高為2，底面面積的長方體，這兩個幾何體與放在一起，根據(jù)祖暅原理，每個平行水平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即的體積值為．14．對區(qū)間I上有定義的函數(shù)，記，已知定義域為的函數(shù)有反函數(shù)，且，若方程有解，則【解答】根據(jù)反函數(shù)定義，當時，；時，，而的定義域為，故當時，的取值應在集合，故若，只有．二、選擇題15．設常數(shù)，集合，若，則的取值范圍為（）(A) (B) (C) (D)【解答】集合A討論后利用數(shù)軸可知，或，解答選項為B．16．錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的（）(A)充分條件(B)必要條件(C)充分必要條件(D)既非充分也非必要條件【解答】根據(jù)等價命題，便宜沒好貨，等價于，好貨不便宜，故選B．17．在數(shù)列中，，若一個7行12列的矩陣的第i行第j列的元素，（）則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個數(shù)為（）(A)18 (B)28 (C)48 (D)63【解答】，而，故不同數(shù)值個數(shù)為18個，選A．18．在邊長為1的正六邊形ABCDEF中，記以A為起點，其余頂點為終點的向量分別為；以D為起點，其余頂點為終點的向量分別為.若分別為的最小值、最大值，其中,,則滿足（）.(A) (B) (C) (D)【解答】作圖知，只有，其余均有，故選D．三、解答題19.（本題滿分12分）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，證明直線BC1平行于平面DA1C，并求直線BC1到平面D1AC的距離.【解答】因為ABCD-A1B1C1D1為長方體，故，故ABC1D1為平行四邊形，故，顯然B不在平面D1AC上，于是直線BC1平行于平面DA1C； 直線BC1到平面D1AC的距離即為點B到平面D1AC的距離設為考慮三棱錐ABCD1的體積，以ABC為底面，可得而中，，故所以，，即直線BC1到平面D1AC的距離為．20．（6分+8分）甲廠以x 千克/小時的速度運輸生產某種產品（生產條件要求），每小時可獲得利潤是元.(1)要使生產該產品2小時獲得的利潤不低于3000元，求x的取值范圍；(2)要使生產900千克該產品獲得的利潤最大，問：甲廠應該選取何種生產速度？并求最大利潤.【解答】(1)根據(jù)題意，又，可解得(2)設利潤為元，則故時，元．21．（6分+8分）已知函數(shù)，其中常數(shù)；（1）若在上單調遞增，求的取值范圍；（2）令，將函數(shù)的圖像向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)的圖像，區(qū)間（且）滿足：在上至少含有30個零點，在所有滿足上述條件的中，求的最小值．【解答】(1)因為，根據(jù)題意有(2)，或，即的零點相離間隔依次為和，故若在上至少含有30個零點，則的最小值為．22．（3分+5分+8分）如圖，已知曲線，曲線，P是平面上一點，若存在過點P的直線與都有公共點，則稱P為“C1—C2型點”．(1)在正確證明的左焦點是“C1—C2型點”時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；(2)設直線與有公共點，求證，進而證明原點不是“C1—C2型點”；(3)求證：圓內的點都不是“C1—C2型點”．【解答】：（1）C1的左焦點為，過F的直線與C1交于，與C2交于，故C1的左焦點為“C1-C2型點”，且直線可以為；（2）直線與C2有交點，則，若方程組有解，則必須；直線與C2有交點，則，若方程組有解，則必須故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點，即原點不是“C1-C2型點”。（3）顯然過圓內一點的直線若與曲線C1有交點，則斜率必存在；根據(jù)對稱性，不妨設直線斜率存在且與曲線C2交于點，則直線與圓內部有交點，故化簡得，。。。。。。。。。。。。①若直線與曲線C1有交點，則化簡得，。。。。。②由①②得，但此時，因為，即①式不成立；當時，①式也不成立綜上，直線若與圓內有交點，則不可能同時與曲線C1和C2有交點，即圓內的點都不是“C1-C2型點”．23．（3

分+6分+9分）給定常數(shù)，定義函數(shù)，數(shù)列滿足.（1）若，求及；（2）求證：對任意，；（3）是否存在，使得成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說明理由.【解答】：（1）因為，，故，（2）要證明原命題，只需證明對任意都成立，即只需證明若，顯然有成立；若，則顯然成立綜上，恒成立，即對任意的，（3）由（2）知，若為等差數(shù)列，則公差，故n無限增大時，總有此時，即故，即，當時，等式成立，且時，，此時為等差數(shù)列，滿足題意；若，則，此時，也滿足題意；綜上，滿足題意的的取值范圍是．22．（本題滿分16分）本題共有3個小題．第1小題滿分6分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分．如圖，已知雙曲線：，曲線：．是平面內一點，若存在過點的直線與、都有公共點，則稱為“型點”．（1）在正確證明的左焦點是“型點”時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；（2）設直線與有公共點，求證，進而證明原點不是“型點；（3）求證：圓內的點都不是“型點”．22．解：（1）C1的左焦點為，過F的直線與C1交于，與C2交于，故C1的左焦點為“C1-C2型點”，且直線可以為；（2）直線與C2有交點，則，若方程組有解，則必須；直線與C2有交點，則，若方程組有解，則必須故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點，即原點不是“C1-C2型點”。（3）顯然過圓內一點的直線若與曲線C1有交點，則斜率必存在；根據(jù)對稱性，不妨設直線斜率存在且與曲線C2交于點，則直線與圓內部有交點，故化簡得，。。。。。。。。。。。。①若直線與曲線C1有交點，則化簡得，。。。。。②由①②得，但此時，因為，即①式不成立；當時，①式也不成立綜上，直線若與圓內有交點，則不可能同時與曲線C1和C2有交點，即圓內的點都不是“C1-C2型點”。23．（本題滿分18分）本題共有3個小題．第1小題滿分3分，第2小