不等式應(yīng)用題專題輔導(dǎo)：模型構(gòu)建與解題策略一、引言：不等式應(yīng)用題的現(xiàn)實意義與價值在生產(chǎn)、生活、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域，我們經(jīng)常遇到“范圍約束”問題：生產(chǎn)時，材料、人力有限，需確定最多能生產(chǎn)多少件產(chǎn)品；銷售時，要兼顧售價與銷量，尋找利潤最大的定價；規(guī)劃時，需在規(guī)定時間內(nèi)到達(dá)某地，確定速度的最小值；調(diào)配時，要讓混合溶液的濃度符合要求，計算兩種溶液的用量范圍……這些問題無法用“等于”精確描述，而是需要用不等式刻畫“不超過”“至少”“不少于”等約束條件，進(jìn)而找到滿足條件的最優(yōu)解或所有可能的方案。不等式應(yīng)用題是數(shù)學(xué)與實際生活的橋梁，考查的核心是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力。二、不等式應(yīng)用題的核心框架：約束條件與目標(biāo)函數(shù)不等式應(yīng)用題的本質(zhì)是“帶約束的優(yōu)化問題”，其核心結(jié)構(gòu)由兩部分組成：1.約束條件：由題目中的“限制條件”轉(zhuǎn)化而來的不等式（組），描述變量的取值范圍（如“材料不超過100千克”“人數(shù)至少5人”）；2.目標(biāo)函數(shù)：需要優(yōu)化的目標(biāo)（如“利潤最大化”“成本最小化”“面積最大化”），通常是關(guān)于變量的函數(shù)。示例：某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)1件A需2千克材料，生產(chǎn)1件B需3千克材料，材料總量不超過60千克；A每件利潤5元，B每件利潤7元。約束條件：\(2x+3y\leq60\)（\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，\(x,y\)為整數(shù)，分別表示A、B的產(chǎn)量）；目標(biāo)函數(shù)：利潤\(z=5x+7y\)（需最大化\(z\)）。三、常見類型與解題策略（一）資源分配與優(yōu)化問題：材料、人力限制下的最值求解類型特征：題目給出資源（材料、人力、時間等）的總量限制，要求在不超過資源總量的前提下，實現(xiàn)產(chǎn)量最大化或成本最小化。模型構(gòu)建步驟：設(shè)變量：設(shè)產(chǎn)品產(chǎn)量為\(x,y\)（如A產(chǎn)品\(x\)件，B產(chǎn)品\(y\)件）；列約束：根據(jù)資源總量限制，列出不等式（組）；定目標(biāo)：建立目標(biāo)函數(shù)（產(chǎn)量或成本）；求最優(yōu)：解不等式組得可行域，線性目標(biāo)函數(shù)的最值出現(xiàn)在可行域的頂點處（線性規(guī)劃理論）。例題1：某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)1件甲需3千克材料A、2小時人工，生產(chǎn)1件乙需2千克材料A、3小時人工；材料A總量為60千克，人工總時間為60小時。甲每件利潤4元，乙每件利潤5元，求最大利潤。解答：1.設(shè)變量：甲\(x\)件，乙\(y\)件（\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，整數(shù)）；2.約束條件：\(\begin{cases}3x+2y\leq60\\2x+3y\leq60\end{cases}\)；3.目標(biāo)函數(shù)：\(z=4x+5y\)（最大化利潤）；4.解約束條件：可行域的頂點為\((0,20)\)、\((12,12)\)、\((20,0)\)；5.代入頂點計算\(z\)：\((0,20)\)：\(z=100\)；\((12,12)\)：\(z=4\times12+5\times12=108\)；\((20,0)\)：\(z=80\)；6.結(jié)論：最大利潤為108元，對應(yīng)生產(chǎn)甲12件、乙12件。技巧：線性目標(biāo)函數(shù)的最值出現(xiàn)在可行域的頂點處，只需計算頂點處的函數(shù)值即可。（二）經(jīng)濟(jì)決策與利潤最大化：售價、銷量與利潤的平衡類型特征：涉及售價、銷售量、成本之間的關(guān)系（通常銷量隨售價升高而降低），要求找到使利潤最大的售價或銷量。模型構(gòu)建步驟：設(shè)變量：設(shè)售價為\(x\)，銷量為\(y\)（或直接用\(x\)表示銷量，如\(y=a-bx\)）；列銷量與售價的關(guān)系：通常為線性關(guān)系（如“售價每上漲1元，銷量減少2件”）；列利潤表達(dá)式：利潤=（售價-成本）×銷量；列約束條件：銷量≥0，售價≥成本（保證盈利）；求利潤最大值：利用二次函數(shù)的頂點公式（\(x=-b/(2a)\)）求最值。例題2：某商品成本為每件30元，當(dāng)售價為40元時，每天銷量為50件；售價每上漲1元，銷量減少2件。求售價定為多少時，每天利潤最大？解答：1.設(shè)售價為\(x\)元（\(x\geq30\)），則銷量\(y=50-2(x-40)=130-2x\)；2.約束條件：\(y\geq0\)→\(130-2x\geq0\)→\(x\leq65\)；3.利潤\(z=(x-30)y=(x-30)(130-2x)=-2x2+190x-3900\)；4.求二次函數(shù)最大值：開口向下，頂點橫坐標(biāo)\(x=-190/(2×(-2))=47.5\)；5.驗證：\(47.5\)在\([30,65]\)范圍內(nèi)；6.結(jié)論：售價定為47.5元時，利潤最大（若要求整數(shù)，可取47或48元，利潤均為1212元）。技巧：二次函數(shù)\(y=ax2+bx+c\)（\(a≠0\)）的最值在頂點處，當(dāng)\(a<0\)時，頂點為最大值點。（三）幾何與測量范圍問題：尺寸約束下的范圍求解類型特征：涉及幾何圖形的周長、面積、體積等約束，要求確定邊長、半徑等尺寸的范圍（如“面積不小于16平方米”）。模型構(gòu)建步驟：設(shè)變量：設(shè)幾何圖形的尺寸（如長\(x\)，寬\(10-x\)）；列幾何關(guān)系：根據(jù)周長、面積等公式建立等式（如周長=20米→寬=10-x）；列約束條件：尺寸>0，滿足題目的范圍要求（如面積≥16平方米）；求解不等式：得到尺寸的范圍。例題3：用一根長20米的繩子圍成一個矩形，要求面積不小于16平方米，求矩形長的取值范圍。解答：1.設(shè)矩形長為\(x\)米，則寬為\(10-x\)米（\(0<x<10\)）；2.面積條件：\(x(10-x)≥16\)→\(x2-10x+16≤0\)；3.解二次不等式：方程\(x2-10x+16=0\)的根為\(x=2\)或\(x=8\)，開口向上，解集為\(2≤x≤8\)；4.結(jié)合約束條件：\(2≤x≤8\)；5.結(jié)論：矩形長的取值范圍是2米到8米（包括2和8）。技巧：解二次不等式時，先求對應(yīng)方程的根，再根據(jù)二次函數(shù)的開口方向確定解集。（四）濃度與混合問題：溶液調(diào)配的范圍控制類型特征：將兩種或多種不同濃度的溶液混合，要求混合后的濃度在某個范圍內(nèi)（如“15%到20%之間”），求各溶液的用量范圍。模型構(gòu)建步驟：設(shè)變量：設(shè)甲溶液\(x\)升，乙溶液\(y\)升；列混合后濃度的表達(dá)式：濃度=（溶質(zhì)總量）/（溶液總量）；列約束條件：混合后濃度≥下限，≤上限；各溶液用量≥0；求解不等式組：得到用量的范圍。例題4：現(xiàn)有濃度為10%的鹽水20升，要加入濃度為30%的鹽水，使混合后的鹽水濃度在15%到20%之間，求加入30%鹽水的量的范圍。解答：1.設(shè)加入30%鹽水\(x\)升（\(x≥0\)）；2.溶質(zhì)總量：\(20×10\%+x×30\%=2+0.3x\)；3.溶液總量：\(20+x\)；4.混合后濃度：\((2+0.3x)/(20+x)\)；5.約束條件：\(15\%≤(2+0.3x)/(20+x)≤20\%\)；6.解左邊不等式：\(0.15(20+x)≤2+0.3x\)→\(x≥6.67\)；7.解右邊不等式：\(2+0.3x≤0.2(20+x)\)→\(x≤20\)；8.結(jié)論：加入30%鹽水的量應(yīng)在6.67升到20升之間（包括6.67和20）。技巧：解分式不等式時，若分母為正數(shù)（如溶液總量\(20+x>0\)），可直接乘以分母，不等號方向不變。（五）行程與時間約束問題：速度與時間的范圍確定類型特征：涉及行程問題中的速度、時間、路程，要求在規(guī)定時間內(nèi)到達(dá)或完成任務(wù)，求速度或時間的范圍（如“2.5小時到3小時之間到達(dá)”）。模型構(gòu)建步驟：設(shè)變量：設(shè)速度為\(v\)（或時間為\(t\)）；列行程關(guān)系：路程=速度×?xí)r間（\(s=vt\)）；列約束條件：時間≤規(guī)定時間（或速度≥最小值）；求解不等式：得到速度或時間的范圍。例題5：某人要從A地到B地，路程為120千米，要求在2.5小時到3小時之間到達(dá)，求他的速度范圍。解答：1.設(shè)速度為\(v\)千米/小時（\(v>0\)）；2.時間\(t=120/v\)；3.約束條件：\(2.5≤t≤3\)→\(2.5≤120/v≤3\)；4.解左邊：\(v≤120/2.5=48\)；5.解右邊：\(v≥120/3=40\)；6.結(jié)論：速度范圍是40千米/小時到48千米/小時（包括40和48）。技巧：解分式不等式時，若分母為正數(shù)（如速度\(v>0\)），可直接乘以分母，不等號方向不變。四、通用解題步驟總結(jié)無論哪種類型的不等式應(yīng)用題，解題步驟均可歸納為以下六步：1.審題：明確已知條件、未知量、約束條件（“不超過”“至少”等）和目標(biāo)（“最大”“最小”“范圍”等）；2.設(shè)變量：選擇關(guān)鍵未知量作為變量（如產(chǎn)量、售價、尺寸、用量等），注意變量的實際意義（非負(fù)、整數(shù)等）；3.列約束條件：將限制條件轉(zhuǎn)化為不等式（組），覆蓋所有約束（如資源限制、非負(fù)性、濃度范圍等）；4.定目標(biāo)函數(shù)（若有優(yōu)化要求）：將需要最大化或最小化的目標(biāo)表示為變量的函數(shù)（如利潤、成本、面積等）；5.求解：解不等式組得可行域，若有目標(biāo)函數(shù)，通過代入頂點、利用函數(shù)單調(diào)性等方法求最值；6.驗證：檢查解是否符合變量的實際意義（如整數(shù)、非負(fù)），是否滿足所有約束條件。五、易錯點提醒與規(guī)避技巧1.不等式方向搞反：“不超過”對應(yīng)≤，“至少”對應(yīng)≥，“多于”對應(yīng)>，“少于”對應(yīng)<；例如“材料不超過100千克”應(yīng)寫為\(2x+3y≤100\)，而非≥100；2.忽略變量的實際意義：變量如人數(shù)、產(chǎn)品數(shù)量必須是非負(fù)整數(shù)，解出來的結(jié)果若為小數(shù)，需取整并驗證；例如\(x=5.6\)，應(yīng)取\(x=5\)或6，檢查哪個滿足約束條件；3.遺漏約束條件：如銷量≥0、售價≥成本、溶液用量≥0等，這些約束條件往往是解題的關(guān)鍵；4.目標(biāo)函數(shù)錯誤：利潤=（售價-成本）×銷量，而非售價×銷量；濃度=溶質(zhì)總量/溶液總量，而非溶質(zhì)總量/溶劑總量；5.解不等式時出錯：解二次不等式時忘記求根，解分式不等式時未考慮分母符號；例如解\((2+0.3x)/(20+x)≥15\%\)時，應(yīng)先乘以\(20+x\)（正數(shù)），得到\(0.15(20+x)≤2+0.3x\)，而非≥。六、鞏固練習(xí)與答案解析練習(xí)1（資源分配問題）某車間生產(chǎn)A、B兩種零件，生產(chǎn)1個A需1小時機器時間、2小時人工，生產(chǎn)1個B需2小時機器時間、1小時人工；機器總時間為10小時，人工總時間為8小時。A每個利潤3元，B每個利潤4元，求最大利潤。答案：生產(chǎn)A2個、B4個，最大利潤\(3×2+4×4=22\)元。練習(xí)2（經(jīng)濟(jì)決策問題）某產(chǎn)品成本為20元，售價為30元時銷量為100件，售價每降低1元，銷量增加10件。求售價定為多少時，利潤最大？答案：售價定為25元時，利潤最大，最大利潤為\((25-20)×(100+10×5)=5×150=750\)元。練習(xí)3（幾何問題）用一段長16米的籬笆圍成一個正方形或長方形，要求面積不小于15平方米，求邊長的取值范圍（正方形邊長為\(x\)，長方形長為\(x\)，寬為\(8-x\)）。答案：正方形邊長\(x≥\sqrt{15}≈3.87\)；長方形長\(x∈[3,5]\)（面積\(x(8-x)≥15\)→\(x2-8x+15≤0\)→3≤x≤5）。練習(xí)4（濃度問題）現(xiàn)有濃度為20%的酒精溶液50升，要加入濃度