人教版七年級數學函數專題練習聚焦三種表示法，提升分析應用能力一、專題概述七年級數學中“變量之間的關系”是函數的入門章節(jié)，也是后續(xù)學習一次函數、二次函數的基礎。本專題的核心是理解變量、自變量、因變量的概念，掌握表格、圖像、關系式三種表示變量關系的方法，并能通過這三種方法分析變量的變化規(guī)律、解決實際問題。本專題的學習目標：1.能識別問題中的自變量（主動變化的量）與因變量（隨自變量變化而變化的量）；2.掌握表格、圖像、關系式的特點，能根據其中一種表示方法推導另一種；3.能分析變量的變化趨勢（如增減性、靜止狀態(tài)），并解決求特定值、列關系式等問題；4.結合實際問題，理解變量取值范圍的合理性（如時間、長度不能為負）。二、題型分類講解與針對性練習（一）題型一：表格表示的變量關系核心考點：識別自變量與因變量、求特定值、分析變化趨勢1.考點1：識別自變量與因變量例題：某水果店銷售蘋果，銷量與總價的關系如下表：銷量（斤）12345總價（元）816243240問：哪個是自變量？哪個是因變量？解題思路：自變量是“主動變化的量”，銷量由商家或顧客決定，屬于主動變化；總價隨銷量增加而增加，屬于“被動變化”。因此，銷量是自變量，總價是因變量。結論：判斷自變量與因變量的關鍵——“誰隨誰變”，“隨”字后面的量是自變量，前面的量是因變量（如“總價隨銷量變化”→銷量是自變量，總價是因變量）。2.考點2：根據表格求特定值例題：如上表，當銷量為3斤時，總價是多少？當總價為40元時，銷量是多少？解題思路：表格中“銷量”與“總價”一一對應，直接查找即可。答案：銷量3斤時，總價24元；總價40元時，銷量5斤。3.考點3：分析變化趨勢例題：觀察上表，隨著銷量增加，總價如何變化？每增加1斤銷量，總價增加多少？解題思路：計算相鄰兩行的差值：2斤比1斤多8元（16-8=8），3斤比2斤多8元（24-16=8），以此類推。結論：隨著銷量增加，總價勻速增加（正比例關系），每增加1斤銷量，總價增加8元。針對性練習1（基礎）：下表是某汽車行駛時間與路程的關系：時間（小時）01234路程（公里）060120180240（1）自變量是______，因變量是______；（2）行駛2小時的路程是______公里；（3）每增加1小時，路程增加______公里。答案：（1）時間；路程；（2）120；（3）60。（二）題型二：圖像表示的變量關系核心考點：解讀橫縱坐標含義、分析變化趨勢、求特定值1.考點1：解讀橫縱坐標含義例題：下圖是某同學跑步的“路程-時間”圖像，橫軸表示時間（分鐘），縱軸表示路程（米）。請說明橫縱坐標的含義。解題思路：圖像的標題“路程-時間”已提示：橫軸（x軸）表示時間（自變量），縱軸（y軸）表示路程（因變量）。結論：圖像的橫縱坐標需結合標題判斷，通?！啊痢?××”中，后面的量是橫軸（自變量），前面的量是縱軸（因變量）（如“路程-時間”→橫軸時間，縱軸路程）。2.考點2：分析變化趨勢例題：觀察下圖（折線圖），描述該同學的跑步過程：第0-2分鐘：圖像上升（從(0,0)到(2,200)）；第2-5分鐘：圖像水平（從(2,200)到(5,200)）；第5-8分鐘：圖像上升（從(5,200)到(8,600)）。解題思路：上升段：路程隨時間增加而增加（正在跑步）；水平段：路程不隨時間變化（靜止，如休息）；上升段的斜率（陡峭程度）表示速度：第5-8分鐘的斜率更大（(____)/(8-5)=400/3≈133米/分鐘），比第0-2分鐘的速度（200/2=100米/分鐘）更快。結論：圖像的“形狀”對應變量的變化狀態(tài)——上升（遞增）、水平（不變）、下降（遞減）；斜率越大，變化率（如速度）越大。3.考點3：求圖像中的特定值例題：如上圖像，該同學出發(fā)時（時間=0）的路程是______米；第5分鐘時的路程是______米；跑步結束時（時間=8）的路程是______米。解題思路：圖像的“起點”（x=0）對應初始狀態(tài)，“終點”（x=8）對應結束狀態(tài)，“某點的坐標”直接讀取縱軸值。答案：0；200；600。針對性練習2（提高）：下圖是某水庫水位隨時間變化的圖像（橫軸：時間/天；縱軸：水位/米）：（1）水位最高的時間是第______天，最高水位是______米；（2）第2-4天，水位______（填“上升”“下降”或“不變”）；（3）第5-7天，水位每天下降______米（計算相鄰兩天的差值）。答案：（1）4；15；（2）不變；（3）2（如第5天15米，第6天13米，第7天11米，每天下降2米）。（三）題型三：關系式表示的變量關系核心考點：列關系式、代入求值、確定取值范圍1.考點1：根據實際問題列關系式例題：正方形的周長C與邊長a的關系是什么？解題思路：正方形的周長=邊長×4，因此關系式為C=4a。結論：列關系式的關鍵是找到變量之間的數量關系（如周長公式、路程=速度×時間）。2.考點2：代入求值例題：若C=4a，當a=5時，C=______；當C=20時，a=______。解題思路：自變量求因變量：將a=5代入，C=4×5=20；因變量求自變量：將C=20代入，20=4a→a=5。3.考點3：確定變量的取值范圍例題：在C=4a中，邊長a的取值范圍是什么？解題思路：邊長不能為負數或0（否則不是正方形），因此a>0。結論：變量的取值范圍需結合實際意義（如時間≥0、長度>0、人數為正整數）。針對性練習3（綜合）：某手機套餐每月租金10元，每分鐘通話費0.2元，設每月通話時間為t分鐘，總費用為y元。（1）寫出y與t的關系式：______；（2）當t=50分鐘時，總費用y=______元；（3）t的取值范圍是______。答案：（1）y=0.2t+10；（2）20（0.2×50+10=20）；（3）t≥0（通話時間不能為負）。（四）題型四：三種表示方法的綜合應用核心考點：表格與關系式轉換、圖像與表格轉換、圖像與關系式轉換1.考點1：表格與關系式轉換例題：下表是x與y的關系，寫出y與x的關系式：x1234y2468解題思路：觀察x與y的比值：2/1=4/2=6/3=8/4=2，因此y=2x。2.考點2：圖像與表格轉換例題：下圖是y=3x的圖像（直線），補全下表：x0123y????解題思路：圖像上的點坐標為(x,3x)，因此x=0時y=0，x=1時y=3，x=2時y=6，x=3時y=9。3.考點3：圖像與關系式轉換例題：下圖是一條過原點的直線，經過點(1,5)，寫出其關系式。解題思路：過原點的直線關系式為y=kx（k為常數），將(1,5)代入得5=k×1→k=5，因此關系式為y=5x。針對性練習4（拓展）：根據關系式y=2x+1，完成以下任務：（1）補全表格：x-1012y????（2）畫出該關系式的圖像（提示：取兩個點連線，如(0,1)和(1,3)）；（3）若圖像經過點(a,5)，求a的值。答案：（1）-1（2×(-1)+1=-1）；1（2×0+1=1）；3（2×1+1=3）；5（2×2+1=5）；（2）略；（3）a=2（5=2a+1→a=2）。三、專題總結1.三種表示方法的特點表示方法優(yōu)點缺點表格直觀顯示具體數值只能表示有限個點圖像直觀顯示變化趨勢不夠精確關系式精確表示所有點不夠直觀2.解題技巧識別自變量因變量：“誰隨誰變”，“隨”后是自變量；分析圖像：先看橫縱坐標含義，再分段判斷變化趨勢（上升/水平/下降）；列關系式：找數量關系（如公式、倍數關系），注意實際意義；轉換表示方法：表格轉關系式找規(guī)律（如比值、差值），關系式轉表格代入求值，圖像轉表格取關鍵點（如起點、終點、轉折點）。3.易錯點提醒自變量與因變量搞反（如“溫度隨時間變化”→時間是自變量，溫度是因變量）；圖像橫縱坐標對應錯誤（如“路程-時間”→橫軸時間，縱軸路程）；忽略變量取值范圍的實際意義（如邊長不能為負）；分析圖像時，斜率表示變化率（如路程-時間圖像的斜率是速度，斜率越大速度越快）。四、拓展練習（綜合應用）某同學從家出發(fā)去圖書館，過程如下：第0-3分鐘：步行，每分鐘走50米；第3-8分鐘：坐公交車，每分鐘行駛200米；第8分鐘：到達圖書館，停留至第12分鐘；第12-15分鐘：步行返回，每分鐘走60米。請完成以下任務：（1）用表格表示距離s（米）與時間t（分鐘）的關系（t取0,3,8,12,15）；（2）用關系式表示每段的s與t的關系（如第0-3分鐘：s=50t）；（3）畫出s與t的圖像（標注關鍵點）。答案提示：（1）表格：t（分鐘）0381215s（米）0150（50×3）1150（150+200×5）1150（停留）970（____×3）（2）關系式：0≤t≤3：s=50t；3<t≤8：s=150+200(t-3)（前3分鐘走了150米，之后每分鐘200米）；8<t≤12：s