橢圓知識專題練習題及解析引言橢圓是解析幾何的核心內容之一，也是高考數學的重點考查對象（常以選擇題、填空題、解答題形式出現，分值約10-15分）。其考查范圍涵蓋定義、標準方程、幾何性質、直線與橢圓的位置關系及綜合應用（如最值、向量結合、參數方程）等。掌握橢圓的核心概念與解題方法，對提升解析幾何解題能力至關重要。本文按專題分類設計練習題，從基礎到綜合逐步遞進，每道題附詳細解析（含思路點撥與方法總結），旨在幫助讀者鞏固知識點、掌握解題技巧。一、橢圓的定義與標準方程（一）知識點回顧1.第一定義：平面內到兩定點\(F_1,F_2\)（焦點）的距離之和為定值\(2a\)（\(2a>|F_1F_2|\)）的點的軌跡。注：若\(2a=|F_1F_2|\)，軌跡為線段\(F_1F_2\)；若\(2a<|F_1F_2|\)，無軌跡。2.第二定義：平面內到定點\(F\)（焦點）與定直線\(l\)（準線）的距離之比為定值\(e\)（\(0<e<1\)，離心率）的點的軌跡。3.標準方程：焦點在\(x\)軸上：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)，\(c^2=a^2-b^2\)，\(c\)為焦點到原點距離）；焦點在\(y\)軸上：\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）。（二）練習題及解析例1（第一定義應用）已知橢圓的兩個焦點為\(F_1(-2,0)\)，\(F_2(2,0)\)，點\(P\)在橢圓上且\(|PF_1|+|PF_2|=8\)，求橢圓的標準方程。解析：由第一定義，定值\(2a=8\)，故\(a=4\)；焦點坐標得\(c=2\)；由\(b^2=a^2-c^2=16-4=12\)，得標準方程為：\[\boxed{\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1}\]例2（第二定義應用）已知橢圓的焦點為\(F(3,0)\)，準線為\(x=12\)，求橢圓的標準方程。解析：由第二定義，準線方程為\(x=\frac{a^2}{c}=12\)，焦點得\(c=3\)；代入得\(a^2=12\times3=36\)，故\(a=6\)；\(b^2=a^2-c^2=36-9=27\)，標準方程為：\[\boxed{\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1}\]例3（標準方程求法）橢圓的一個頂點為\((0,5)\)，焦點在\(x\)軸上，且離心率為\(\frac{3}{5}\)，求標準方程。解析：焦點在\(x\)軸，頂點\((0,5)\)為短軸端點，故\(b=5\)，\(b^2=25\)；離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\)，得\(c=\frac{3}{5}a\)；由\(a^2-c^2=b^2\)，代入得\(a^2-\frac{9}{25}a^2=25\)，解得\(a^2=\frac{625}{16}\)；標準方程為：\[\boxed{\frac{16x^2}{625}+\frac{y^2}{25}=1}\]二、橢圓的幾何性質（一）知識點回顧橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的核心性質：1.范圍：\(x\in[-a,a]\)，\(y\in[-b,b]\)；2.頂點：長軸端點\((\pma,0)\)，短軸端點\((0,\pmb)\)；3.焦點：\((\pmc,0)\)，\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)；4.離心率：\(e=\frac{c}{a}\)（\(0<e<1\)，\(e\)越大，橢圓越扁；\(e\)越小，橢圓越圓）；5.準線：\(x=\pm\frac{a^2}{c}\)。（二）練習題及解析例1（離心率計算）橢圓\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)的離心率是多少？解析：\(a^2=25\)，故\(a=5\)；\(b^2=9\)，故\(b=3\)；\(c^2=a^2-b^2=25-9=16\)，故\(c=4\)；離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}\)：\[\boxed{\frac{4}{5}}\]例2（離心率與\(a,b,c\)的關系）已知橢圓的長軸長與短軸長之和為18，焦距為6，求橢圓的離心率。解析：設長軸\(2a\)，短軸\(2b\)，則\(2a+2b=18\)，即\(a+b=9\)；焦距\(2c=6\)，故\(c=3\)；由\(a^2-b^2=c^2=9\)，得\((a-b)(a+b)=9\)，代入\(a+b=9\)，得\(a-b=1\)；聯立\(\begin{cases}a+b=9\\a-b=1\end{cases}\)，解得\(a=5\)，\(b=4\)；離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\)：\[\boxed{\frac{3}{5}}\]例3（幾何性質綜合）橢圓\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1\)上一點\(P\)到左焦點\(F_1\)的距離為3，求點\(P\)到右焦點\(F_2\)的距離及點\(P\)的橫坐標。解析：由橢圓定義，\(|PF_1|+|PF_2|=2a=8\)，故\(|PF_2|=8-3=5\)；左焦點\(F_1(-3,0)\)，設\(P(x,y)\)，則\(|PF_1|=\sqrt{(x+3)^2+y^2}=3\)，平方得\((x+3)^2+y^2=9\)；又\(P\)在橢圓上，\(y^2=7(1-\frac{x^2}{16})=7-\frac{7x^2}{16}\)，代入上式得：\[(x+3)^2+7-\frac{7x^2}{16}=9\implies\frac{9x^2}{16}+6x+16=9\implies9x^2+96x+112=0\]解得\(x=\frac{-96\pm\sqrt{96^2-4\times9\times112}}{2\times9}=\frac{-96\pm84}{18}\)，即\(x=-\frac{4}{3}\)（\(x=-\frac{28}{3}\)超出橢圓范圍，舍去）。答案：點\(P\)到右焦點的距離為\(\boxed{5}\)，橫坐標為\(\boxed{-\frac{4}{3}}\)。三、橢圓與直線的位置關系（一）知識點回顧1.位置判斷：聯立橢圓與直線方程，消元得一元二次方程，通過判別式\(\Delta\)判斷：\(\Delta>0\)：相交（有兩個不同交點）；\(\Delta=0\)：相切（有一個交點）；\(\Delta<0\)：相離（無交點）。2.弦長公式：若直線與橢圓交于\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，則弦長：\[AB\]3.中點弦問題：若弦\(AB\)的中點為\(M(x_0,y_0)\)，則弦所在直線的斜率\(k=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}\)（點差法推導）。（二）練習題及解析例1（位置關系判斷）判斷直線\(y=x+1\)與橢圓\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\)的位置關系。解析：聯立方程，將\(y=x+1\)代入橢圓得：\[\frac{x^2}{4}+\frac{(x+1)^2}{2}=1\implies3x^2+4x-2=0\]判別式\(\Delta=4^2-4\times3\times(-2)=16+24=40>0\)，故直線與橢圓相交：\[\boxed{\text{相交}}\]例2（弦長計算）求直線\(y=2x+1\)與橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)相交的弦長。解析：聯立方程，將\(y=2x+1\)代入橢圓得：\[\frac{x^2}{9}+\frac{(2x+1)^2}{4}=1\implies40x^2+36x-27=0\]設交點\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，則\(x_1+x_2=-\frac{36}{40}=-\frac{9}{10}\)，\(x_1x_2=-\frac{27}{40}\)；弦長公式：\[AB\]\[\boxed{\frac{3\sqrt{195}}{10}}\]例3（中點弦問題）橢圓\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)的弦\(AB\)的中點為\(M(2,1)\)，求弦\(AB\)所在直線的方程。解析：設\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，中點\(M(2,1)\)，故\(x_1+x_2=4\)，\(y_1+y_2=2\)；\(A\)、\(B\)在橢圓上，故：\[\frac{x_1^2}{25}+\frac{y_1^2}{16}=1,\quad\frac{x_2^2}{25}+\frac{y_2^2}{16}=1\]兩式相減得：\[\frac{(x_1^2-x_2^2)}{25}+\frac{(y_1^2-y_2^2)}{16}=0\implies\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{25}+\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{16}=0\]兩邊除以\((x_1-x_2)\)，得弦的斜率\(k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\frac{16(x_1+x_2)}{25(y_1+y_2)}=-\frac{16\times4}{25\times2}=-\frac{32}{25}\)；直線方程為\(y-1=-\frac{32}{25}(x-2)\)，整理得：\[\boxed{32x+25y-89=0}\]四、橢圓的綜合應用（一）知識點回顧橢圓綜合應用常涉及最值問題（點到直線/定點距離最值）、參數方程（用三角函數簡化計算）、向量結合（如向量垂直、中點）等，核心是轉化思想（將幾何問題轉化為代數問題）。（二）練習題及解析例1（點到直線距離最值）求橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)上的點到直線\(2x+3y-6=0\)的距離的最小值。解析：設橢圓上點\(P(3\cos\theta,2\sin\theta)\)（參數方程，\(\theta\)為參數），則點\(P\)到直線的距離為：\[d=\frac{|2\times3\cos\theta+3\times2\sin\theta-6|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{|6(\cos\theta+\sin\theta)-6|}{\sqrt{13}}=\frac{6|\sqrt{2}\sin(\theta+\frac{\pi}{4})-1|}{\sqrt{13}}\]當\(\sin(\theta+\frac{\pi}{4})=1\)時，\(d\)取得最小值：\[d_{\text{min}}=\frac{6(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{13}}=\frac{6(\sqrt{26}-\sqrt{13})}{13}\]\[\boxed{\frac{6(\sqrt{26}-\sqrt{13})}{13}}\]例2（向量與橢圓結合）已知橢圓\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)，點\(M(1,\frac{1}{2})\)，過\(M\)作直線\(l\)交橢圓于\(A,B\)兩點，若\(M\)為\(AB\)的中點，求直線\(l\)的方程及\(|AB|\)。解析：直線方程：用點差法，設\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，則\(x_1+x_2=2\)，\(y_1+y_2=1\)；兩式相減得\(\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{4}+(y_1-y_2)(y_1+y_2)=0\)，故斜率\(k=-\frac{x_1+x_2}{4(y_1+y_2)}=-\frac{2}{4\times1}=-\frac{1}{2}\)；直線方程為\(y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}(x-1)\)，即\(x+2y-2=0\)；弦長計算：聯立\(\begin{cases}x+2y-2=0\\\frac{x^2}{4}+y^2=1\end{cases}\)，消去\(x\)得\((2-2y)^2+4y^2=4\)，化簡得\(8y^2-8y=0\)，解得\(y=0\)或\(y=1\)，對應\(x=2\)或\(x=0\)，故\(A(2,0)\)、\(B(0,1)\)，\(|AB|=\sqrt{(2-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{5}\)。答案：直線\(l\)的方程為\(\boxed{x+2y-2=0}\)，弦長\(|AB|\)為\(\boxed{\sqrt{5}}\)。例3（定點距離最值）已知橢圓\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)，點\(A(1,0)\)，點\(P\)在橢圓上，求\(|PA|\)的最大值和最小值。解析：設\(P(x,y)\)，則\(y^2=1-\frac{x^2}{4}\)，故\(