初中數(shù)學(xué)幾何拓展教案范例**一、教學(xué)基本信息**課題：將軍飲馬問題的推廣與應(yīng)用年級(jí)：九年級(jí)（上）課時(shí)：1課時(shí)（45分鐘）教具：幾何畫板、多媒體課件、三角板**二、教學(xué)目標(biāo)**1.知識(shí)與技能回顧將軍飲馬問題的基本模型（兩定一動(dòng)），掌握對(duì)稱法求最短路徑的核心邏輯；探究將軍飲馬問題的推廣模型（兩定兩動(dòng)、造橋選址），能運(yùn)用對(duì)稱、平移等方法解決幾何最值問題；能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何模型，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。2.過(guò)程與方法通過(guò)“情境引入—探究建?！}應(yīng)用”的流程，經(jīng)歷“猜想—驗(yàn)證—總結(jié)”的思維過(guò)程，培養(yǎng)幾何直觀與邏輯推理能力；在小組合作中，通過(guò)動(dòng)態(tài)演示（幾何畫板）觀察路徑變化，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想（折線→直線）的應(yīng)用。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀感受將軍飲馬問題的歷史背景與生活價(jià)值，激發(fā)對(duì)幾何最值問題的興趣；在解決實(shí)際問題中，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，增強(qiáng)用數(shù)學(xué)解決問題的信心。**三、教學(xué)重難點(diǎn)**重點(diǎn)：將軍飲馬問題推廣模型（兩定兩動(dòng)、造橋選址）的解決方法；難點(diǎn)：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何模型，理解“轉(zhuǎn)化思想”在最值問題中的作用。**四、教學(xué)方法**探究式教學(xué)：以問題為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生自主探究推廣模型的解決策略；多媒體輔助：用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，直觀驗(yàn)證最短路徑的正確性；小組合作：通過(guò)小組討論分享思路，培養(yǎng)合作交流能力。**五、教學(xué)過(guò)程****（一）情境導(dǎo)入：重溫經(jīng)典，提出問題（5分鐘）**教師活動(dòng)：講述“將軍飲馬”的歷史故事（戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，將軍從A地出發(fā)，到河邊飲馬后再到B地，如何走路徑最短？），并在黑板上畫出示意圖（A、B在直線l同側(cè)，l為河岸）。學(xué)生活動(dòng)：回憶基本模型的解決方法（作A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B交l于P，AP+PB最短）。教師提問：如果問題變得更復(fù)雜，比如“河邊有兩條平行的馬路，要建一座過(guò)街天橋，如何選址使路徑最短？”或者“在角的兩邊上找兩點(diǎn)，使經(jīng)過(guò)某點(diǎn)的路徑最短？”這些問題該如何解決？引出本節(jié)課主題——將軍飲馬問題的推廣與應(yīng)用。**（二）回顧基本模型：對(duì)稱法的核心（3分鐘）**教師活動(dòng)：用幾何畫板演示基本模型（A、B在l同側(cè)，求l上P使AP+PB最短），強(qiáng)調(diào)“對(duì)稱法”的本質(zhì)是將折線轉(zhuǎn)化為直線（AP+PB=A'P+PB=A'B，利用兩點(diǎn)之間線段最短）。學(xué)生活動(dòng)：總結(jié)基本模型的解決步驟（作對(duì)稱點(diǎn)→連直線→找交點(diǎn)）。**（三）推廣模型探究：從“一”到“多”的拓展（25分鐘）****1.推廣模型1：兩定兩動(dòng)（相交直線型）（10分鐘）**問題提出：已知點(diǎn)A在直線l外，點(diǎn)B在直線m外，l與m相交于O，在l上找P，m上找Q，使得AP+PQ+QB最短（如圖1）。學(xué)生活動(dòng)：小組討論，嘗試畫出最短路徑，并說(shuō)明理由。教師引導(dǎo)：（1）若只考慮AP+PQ最短，如何找P、Q？（作A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A'，則AP=A'P，AP+PQ=A'P+PQ，要使A'P+PQ最短，需A'、P、Q共線，即Q在A'P延長(zhǎng)線上）；（2）若同時(shí)考慮PQ+QB最短，同理作B關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)B'，則QB=B'Q，PQ+QB=PQ+B'Q；（3）綜合以上兩步，AP+PQ+QB=A'P+PQ+B'Q，要使總長(zhǎng)度最短，需A'、P、Q、B'共線嗎？不，是A'P+PQ+B'Q=A'B'（當(dāng)P、Q在A'B'與l、m的交點(diǎn)時(shí)）。幾何畫板驗(yàn)證：動(dòng)態(tài)拖動(dòng)P、Q，觀察AP+PQ+QB的長(zhǎng)度變化，當(dāng)P、Q為A'B'與l、m的交點(diǎn)時(shí)，長(zhǎng)度最小。結(jié)論總結(jié)：兩定兩動(dòng)（相交直線型）的解決方法——兩次對(duì)稱：作A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A'，作B關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接A'B'交l于P，交m于Q，此時(shí)AP+PQ+QB最短。**2.推廣模型2：造橋選址（平行直線型）（12分鐘）**問題提出：河的兩岸是平行的直線l（左岸）和m（右岸），寬為d，要建一座橋PQ（PQ⊥l，且P在l上，Q在m上），連接A（左岸旁）、B（右岸旁）兩地，如何選址使AP+PQ+QB最短？（如圖2）學(xué)生活動(dòng)：小組討論，嘗試分析“橋長(zhǎng)PQ是定值”這一關(guān)鍵條件，思考如何將“定值線段”從路徑中分離。教師引導(dǎo)：（1）PQ是定值（橋?qū)抎），因此AP+PQ+QB=（AP+QB）+d，要使總路徑最短，只需AP+QB最短；（2）如何將AP與QB“連接”起來(lái)？平移法：將A沿PQ方向（垂直于l）平移d個(gè)單位到A'，則AP=A'Q（平移性質(zhì)），因此AP+QB=A'Q+QB；（3）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，A'Q+QB最短當(dāng)且僅當(dāng)A'、Q、B共線，此時(shí)Q為A'B與m的交點(diǎn)，P為Q在l上的垂足。幾何畫板驗(yàn)證：動(dòng)態(tài)拖動(dòng)Q在m上運(yùn)動(dòng)，觀察AP+PQ+QB的長(zhǎng)度變化，當(dāng)Q為A'B與m的交點(diǎn)時(shí)，長(zhǎng)度最小。結(jié)論總結(jié)：造橋選址問題的解決方法——平移+對(duì)稱（此處平移即可）：①將A沿橋的方向（垂直于河岸）平移橋長(zhǎng)d到A'；②連接A'B交右岸m于Q；③過(guò)Q作PQ⊥m交左岸l于P，PQ即為橋的位置，此時(shí)AP+PQ+QB最短。**3.模型對(duì)比：總結(jié)方法（3分鐘）**教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比兩個(gè)推廣模型的解決方法，總結(jié)共性：核心思想：轉(zhuǎn)化（將折線轉(zhuǎn)化為直線，利用兩點(diǎn)之間線段最短）；常用方法：對(duì)稱法（解決“一動(dòng)”問題）、平移法（解決“定值線段”問題）。**（四）例題應(yīng)用：解決實(shí)際問題（8分鐘）**例題1（造橋選址）：某小區(qū)有兩個(gè)廣場(chǎng)A、B，中間有兩條平行的馬路l、m（寬為20米），要在馬路上建一座過(guò)街天橋PQ（垂直于馬路），使得從A到B經(jīng)過(guò)天橋的路徑最短，求天橋的位置（畫出示意圖并說(shuō)明理由）。學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立完成，畫出A平移20米到A'，連接A'B交m于Q，作PQ⊥m交l于P。教師點(diǎn)評(píng)：強(qiáng)調(diào)“平移方向”（與馬路垂直）和“平移距離”（馬路寬度）的正確性。例題2（兩定兩動(dòng)）：在∠MON內(nèi)部有一點(diǎn)P，在OM上找A，ON上找B，使得PA+AB+BP最短（畫出示意圖并說(shuō)明理由）。學(xué)生活動(dòng)：小組討論，作P關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)P1，關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)P2，連接P1P2交OM于A，交ON于B。教師點(diǎn)評(píng)：兩次對(duì)稱后，PA=P1A，PB=P2B，因此PA+AB+BP=P1A+AB+BP2=P1P2，最短。**（五）總結(jié)提升：梳理知識(shí)體系（3分鐘）**教師活動(dòng)：用思維導(dǎo)圖總結(jié)本節(jié)課內(nèi)容（如圖3），強(qiáng)調(diào)“轉(zhuǎn)化思想”是解決幾何最值問題的關(guān)鍵。學(xué)生活動(dòng)：回顧本節(jié)課的模型與方法，分享自己的收獲。**（六）作業(yè)布置：分層鞏固（2分鐘）**基礎(chǔ)題：課本P123練習(xí)1、2（鞏固基本模型與造橋選址問題）；拓展題：在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，在BC上找D，AC上找E，使得BD+DE最短（提示：作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)）；探究題：找生活中的“將軍飲馬問題”（如管道鋪設(shè)、路線設(shè)計(jì)），用所學(xué)知識(shí)解決并寫成小論文。**六、板書設(shè)計(jì)**將軍飲馬問題的推廣與應(yīng)用**1.基本模型**（兩定一動(dòng)）：對(duì)稱法→作對(duì)稱點(diǎn)，連直線→最短路徑**3.核心思想**：轉(zhuǎn)化（折線→直線）**4.例題**：造橋選址、角內(nèi)部路徑最短（1）兩定兩動(dòng)（相交直線）：兩次對(duì)稱→A'、B'連線交直線于點(diǎn)；（2）造橋選址（平行直線）：平移法→平移A到A'，連A'B交直線于點(diǎn)|**七、教學(xué)反思（可選）**成功之處：通過(guò)動(dòng)態(tài)演示（幾何畫板）讓學(xué)生直觀看到路徑變化，突破了“轉(zhuǎn)化思想”的難點(diǎn)；小組合作促進(jìn)了學(xué)生的思維碰撞，提高了參與度。改進(jìn)方向：可增加“多定多動(dòng)”的拓展問題，如“三個(gè)點(diǎn)找三條路徑