初中數學數論專題教學講義與習題一、前言數論是數學的基礎分支之一，研究整數的性質與關系。初中數論內容雖淺，但卻是培養(yǎng)邏輯推理、抽象思維的關鍵載體。本講義圍繞整除、因數倍數、質數合數、最大公約數與最小公倍數、同余初步五大核心模塊，結合初中考試要求，設計了“知識點講解+例題解析+習題演練”的遞進式結構，兼顧基礎鞏固與思維提升。二、整除的概念與性質1.整除的定義若整數\(a\)除以整數\(b\)（\(b\neq0\)）的商為整數且無余數，則稱\(b\)整除\(a\)，記作\(b|a\)（讀作“\(b\)整除\(a\)”）。此時，\(a\)是\(b\)的倍數，\(b\)是\(a\)的因數。示例：\(6|12\)（6整除12），因為\(12\div6=2\)是整數；\(3\nmid7\)（3不整除7），因為\(7\div3\)余1。2.整除的基本性質（1）傳遞性：若\(a|b\)且\(b|c\)，則\(a|c\)。證明：設\(b=ka\)（\(k\)為整數），\(c=lb\)（\(l\)為整數），則\(c=lka\)，故\(a|c\)。（2）加減性質：若\(a|b\)且\(a|c\)，則\(a|(b\pmc)\)。證明：設\(b=ma\)，\(c=na\)，則\(b\pmc=(m\pmn)a\)，故\(a|(b\pmc)\)。（3）乘法性質：若\(a|b\)，則\(a|bc\)（\(c\)為整數）。推論：若\(a|b\)且\(a|c\)，則\(a|(mb+nc)\)（\(m,n\)為整數）。3.例題解析例1：判斷\(____\)是否能被\(3\)整除。解：根據整除規(guī)則，一個數能被\(3\)整除當且僅當其各位數字之和能被\(3\)整除。\(1+2+3+4+5+6=21\)，\(21\div3=7\)，故\(3|____\)。例2：證明：連續(xù)三個整數之和能被\(3\)整除。證明：設三個連續(xù)整數為\(n-1,n,n+1\)（\(n\)為整數），其和為\((n-1)+n+(n+1)=3n\)。因為\(3|3n\)，故結論成立。4.習題演練基礎題：（1）判斷\(7890\)是否能被\(5\)整除（提示：末位為0或5的數能被5整除）。（2）若\(4|x\)且\(x|24\)，求\(x\)的可能值。提高題：（1）證明：若\(a|b\)且\(b|a\)，則\(a=\pmb\)。（2）已知\(3|(2x+1)\)，求\(x\)的最小正整數解。三、因數與倍數1.定義因數：若\(b|a\)，則\(b\)是\(a\)的因數（又稱約數）。倍數：若\(b|a\)，則\(a\)是\(b\)的倍數。注意：一個數的因數個數是有限的（最小為1，最大為自身），倍數個數是無限的（最小為自身，無最大值）。2.因數的求法（1）列舉法：列出所有能整除該數的整數。示例：求\(12\)的因數：\(1,2,3,4,6,12\)。（2）分解質因數法：將數分解為質因數乘積，再組合質因數得到所有因數。示例：\(12=2^2\times3^1\)，因數個數為\((2+1)(1+1)=6\)，因數為\(2^a\times3^b\)（\(a=0,1,2\)；\(b=0,1\)）。3.例題解析例3：求\(18\)的所有因數。解：列舉法：\(1,2,3,6,9,18\)；分解質因數法：\(18=2\times3^2\)，因數為\(2^a\times3^b\)（\(a=0,1\)；\(b=0,1,2\)），即\(1,2,3,6,9,18\)。例4：求\(6\)和\(8\)的最小公倍數（提示：倍數中共同的最小正數）。解：\(6\)的倍數：\(6,12,18,24,\dots\)；\(8\)的倍數：\(8,16,24,\dots\)，故最小公倍數為\(24\)。4.習題演練基礎題：（1）求\(20\)的所有因數。（2）求\(5\)和\(7\)的最小公倍數。提高題：（1）已知\(a\)的最大因數是\(15\)，求\(a\)的值。（2）若\(x\)是\(12\)的倍數且\(x<30\)，求\(x\)的所有可能值。四、質數與合數1.定義質數（素數）：大于1的整數，除了1和自身外無其他因數。合數：大于1的整數，除了1和自身外還有其他因數。特殊數：1既不是質數也不是合數。示例：質數：\(2,3,5,7,11\)；合數：\(4,6,8,9,10\)。2.質數的判斷試除法：判斷一個數\(n\)（\(n>2\)）是否為質數，只需驗證其能否被\(2\)到\(\sqrt{n}\)之間的質數整除。若均不能，則\(n\)為質數。示例：判斷\(17\)是否為質數：\(\sqrt{17}\approx4.12\)，驗證\(2,3\)是否整除17，均不能，故17是質數。3.質因數分解將合數分解為質數的乘積，稱為質因數分解（唯一分解定理）。方法：短除法。示例：分解\(24\)的質因數：\[24\div2=12\quad\Rightarrow\quad12\div2=6\quad\Rightarrow\quad6\div2=3\quad\Rightarrow\quad3\div3=1\]故\(24=2^3\times3^1\)。4.例題解析例5：判斷\(29\)是否為質數。解：\(\sqrt{29}\approx5.38\)，驗證\(2,3,5\)是否整除29：\(29\div2=14.5\)，\(29\div3\approx9.67\)，\(29\div5=5.8\)，均不整除，故29是質數。例6：分解\(36\)的質因數。解：短除法：\(36=2\times18=2\times2\times9=2^2\times3^2\)。5.習題演練基礎題：（1）判斷\(19\)是否為質數。（2）分解\(48\)的質因數。提高題：（1）已知\(p\)是質數，且\(p+2\)也是質數（稱為孿生質數），求\(p\)的最小可能值。（2）證明：所有大于2的質數都是奇數。五、最大公約數與最小公倍數1.定義最大公約數（GCD）：兩個或多個整數的公共因數中最大的一個，記作\(\gcd(a,b)\)。最小公倍數（LCM）：兩個或多個整數的公共倍數中最小的一個，記作\(\text{lcm}(a,b)\)。示例：\(\gcd(12,18)=6\)，\(\text{lcm}(12,18)=36\)。2.求法（1）列舉法：列出所有因數/倍數，找最大/最小公共值。（2）分解質因數法：GCD：取各質因數的最小指數乘積。LCM：取各質因數的最大指數乘積。示例：\(12=2^2\times3^1\)，\(18=2^1\times3^2\)，則\(\gcd(12,18)=2^1\times3^1=6\)，\(\text{lcm}(12,18)=2^2\times3^2=36\)。（3）輾轉相除法（歐幾里得算法）：對于\(a>b>0\)，\(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\modb)\)，重復此過程直到余數為0，最后一個非零余數即為GCD。示例：求\(\gcd(24,18)\)：\(24\mod18=6\)，\(18\mod6=0\)，故\(\gcd(24,18)=6\)。3.關系定理對于正整數\(a,b\)，有：\[\gcd(a,b)\times\text{lcm}(a,b)=a\timesb\]示例：\(\gcd(12,18)=6\)，\(\text{lcm}(12,18)=36\)，\(6\times36=12\times18=216\)，成立。4.例題解析例7：用分解質因數法求\(\gcd(20,28)\)和\(\text{lcm}(20,28)\)。解：\(20=2^2\times5^1\)，\(28=2^2\times7^1\)，\(\gcd(20,28)=2^2=4\)，\(\text{lcm}(20,28)=2^2\times5^1\times7^1=140\)。例8：用輾轉相除法求\(\gcd(35,49)\)。解：\(49\mod35=14\)，\(35\mod14=7\)，\(14\mod7=0\)，故\(\gcd(35,49)=7\)。5.習題演練基礎題：（1）用分解質因數法求\(\gcd(16,24)\)和\(\text{lcm}(16,24)\)。（2）用輾轉相除法求\(\gcd(48,60)\)。提高題：（1）已知\(\gcd(a,12)=3\)，\(\text{lcm}(a,12)=24\)，求\(a\)的值（提示：用關系定理）。（2）證明：若\(a\)和\(b\)互質（\(\gcd(a,b)=1\)），則\(\text{lcm}(a,b)=ab\)。六、同余初步1.定義若整數\(a\)和\(b\)除以整數\(m\)（\(m>0\)）的余數相同，則稱\(a\)與\(b\)同余模\(m\)，記作\(a\equivb\pmod{m}\)。示例：\(7\div3=2\)余1，\(10\div3=3\)余1，故\(7\equiv10\pmod{3}\)。2.基本性質（1）自反性：\(a\equiva\pmod{m}\)。（2）對稱性：若\(a\equivb\pmod{m}\)，則\(b\equiva\pmod{m}\)。（3）傳遞性：若\(a\equivb\pmod{m}\)且\(b\equivc\pmod{m}\)，則\(a\equivc\pmod{m}\)。（4）加減乘性質：若\(a\equivb\pmod{m}\)且\(c\equivd\pmod{m}\)，則：\(a+c\equivb+d\pmod{m}\)，\(a-c\equivb-d\pmod{m}\)，\(ac\equivbd\pmod{m}\)。3.例題解析例9：求\(2^{100}\div7\)的余數。解：用同余性質簡化計算：\(2^1=2\equiv2\pmod{7}\)，\(2^2=4\equiv4\pmod{7}\)，\(2^3=8\equiv1\pmod{7}\)，\(2^4=2\times2^3\equiv2\times1=2\pmod{7}\)，可見周期為3。\(100\div3=33\)余1，故\(2^{100}\equiv2^1=2\pmod{7}\)，余數為2。例10：已知\(x\equiv3\pmod{5}\)，求\(x+2\)的同余式。解：根據加減性質，\(x+2\equiv3+2=5\equiv0\pmod{5}\)，故\(x+2\equiv0\pmod{5}\)。4.習題演練基礎題：（1）求\(15\div4\)的余數，并用同余式表示。（2）若\(a\equiv5\pmod{6}\)，\(b\equiv3\pmod{6}\)，求\(a+b\)的同余式。提高題：（1）求\(3^{2023}\div5\)的余數（提示：找周期）。（2）證明：若\(a\equivb\pmod{m}\)，則\(a^n\equivb^n\pmod{m}\)（\(n\)為正整數）。七、綜合復習題1.分解\(72\)的質因數，并求其所有因數個數（提示：因數個數為各質因數指數加1的乘積）。2.求\(\gcd(30,45)\)和\(\text{lcm}(30,45)\)，并驗證關系定理。3.證明：連續(xù)四個整數的乘積能被\(24\)整除（提示：分解質因數，24=2^3×3）。4.求\(5^{100}\div3\)的余數。八、答案與解析二、整除的概念與性質基礎題：（1）能，因為末位為0；（2）\(x=4,8,12,24\)。提高題：（1）設\(a|b\)則\(b=ka\)，\(b|a\)則\(a=lb\)，故\(a=lka\)，得\(lk=1\)，故\(l=k=1\)或\(-1\)，即\(a=\pmb\)；（2）\(x=1\)（\(2×1+1=3\)，3|3）。三、因數與倍數基礎題：（1）\(1,2,4,5,10,20\)；（2）35（5和7互質，LCM=5×7）。提高題：（1）15（一個數的最大因數是自身）；（2）12,24。四、質數與合數基礎題：（1）是（\(\sqrt{19}≈4.36\)，驗證2,3不整除）；（2）\(48=2^4×3\)。提高題：（1）3（3和5都是質數）；（2）若質數為偶數，則只能是2，故大于2的質數必為奇數。五、最大公約數與最小公倍數基礎題：（1）\(