單元檢測五萬有引力與宇宙航行一、單項選擇題(本題共7小題，每小題6分，共42分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．(2023·山東青島市第十九中學(xué)期中)如圖所示，“嫦娥五號”衛(wèi)星從地球上發(fā)射先經(jīng)歷繞地飛行調(diào)相軌道，再從調(diào)相軌道上的P點進入地月轉(zhuǎn)移軌道，然后在地月轉(zhuǎn)移軌道上的Q點進入到繞月飛行軌道段。假設(shè)調(diào)相軌道和繞月軌道分別是半長軸為a、b的橢圓軌道，衛(wèi)星在兩軌道上分別繞地球、月球運行的周期為T1、T2。則下列說法中正確的是()A.eq\f(a3,T\o\al(12,))＝eq\f(b3,T\o\al(22,))B．從地月轉(zhuǎn)移軌道切入到繞月軌道時，衛(wèi)星在Q點必須加速C．從調(diào)相軌道切入到地月轉(zhuǎn)移軌道時，衛(wèi)星在P點必須加速D．“嫦娥五號”衛(wèi)星在地月轉(zhuǎn)移軌道上運行的速度應(yīng)大于11.2km/s答案C解析衛(wèi)星在調(diào)相軌道和繞月軌道上運行時，其中心天體分別為地球與月球，中心天體不同，故eq\f(a3,T\o\al(12,))≠eq\f(b3,T\o\al(22,))，A錯誤；衛(wèi)星在Q點減速做向心運動，能使衛(wèi)星從地月轉(zhuǎn)移軌道切入到繞月軌道，B錯誤；衛(wèi)星在P點加速做離心運動，能使衛(wèi)星從調(diào)相軌道切入到地月轉(zhuǎn)移軌道，C正確；衛(wèi)星在地月轉(zhuǎn)移軌道上運行的速度不一定大于11.2km/s，D錯誤。2．如圖所示，a為地球赤道上的物體，隨地球表面一起轉(zhuǎn)動，b為近地軌道衛(wèi)星，c為同步軌道衛(wèi)星，d為高空探測衛(wèi)星。若a、b、c、d繞地球轉(zhuǎn)動的方向相同，且均可視為勻速圓周運動，則()A．a(chǎn)、b、c、d中，a的加速度最大B．a(chǎn)、b、c、d中，b的線速度最大C．a(chǎn)、b、c、d中，c的周期最大D．a(chǎn)、b、c、d中，d的角速度最大答案B解析a、c的角速度相同，由a＝ω2r可知a的加速度小于c的加速度，由eq\f(GMm,r2)＝ma得a＝eq\f(GM,r2)，b的加速度大于c、d的加速度，故b的加速度最大，A錯誤；由v＝ωr知，a的線速度小于c的線速度，根據(jù)萬有引力定律有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))可知，b的線速度大于c、d的線速度，故b的線速度最大，B正確；由開普勒第三定律知，衛(wèi)星的軌道半徑越大，周期越大，則角速度越小，故d的周期最大、角速度最小，C、D錯誤。3．(2023·四川遂寧市模擬)“天宮課堂”第二課于2022年3月23日在中國空間站開講直播，空間站在距地面高度為400km軌道上繞地球做勻速圓周運動。直播結(jié)束后，三位宇航員于4月16日乘神舟十三號飛船從空間站返回到地面。已知地球半徑為6400km，地面重力加速度為9.8m/s2。下列說法正確的是()A．神舟十三號飛船從空間站脫離后，將向后做短時噴氣B．神舟十三號飛船從空間站脫離后，將向前做短時噴氣C．空間站內(nèi)“冰墩墩”能夠做勻速直線運動，是因為它不受力D．空間站的向心加速度大小約為0.61m/s2答案B解析神舟十三號飛船從空間站脫離后，返回地球在做近心運動，需要減速，所以將向前做短時噴氣，故B正確，A錯誤；空間站內(nèi)“冰墩墩”仍受到地球萬有引力的作用，故C錯誤；在地球表面有Geq\f(Mm,R2)＝mg，對空間站有Geq\f(Mm′,R＋h2)＝m′a，聯(lián)立解得a≈8.7m/s2，故D錯誤。4．(2024·廣東佛山市一模)某行星和地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道可視為圓。每過N年，該行星會運行到日地連線的延長線上，如圖所示。該行星與地球的公轉(zhuǎn)半徑之比為()A． B．C． D．答案B解析由“高軌、低速、大周期”的規(guī)律可知，每過N年，地球繞太陽公轉(zhuǎn)N圈，則行星繞太陽公轉(zhuǎn)N－1圈，由開普勒第三定律有(eq\f(R行,R地))3＝(eq\f(T行,T地))2，故eq\f(R行,R地)＝，B項正確。5.(2024·重慶市巴蜀中學(xué)月考)某影片中的太空電梯令人十分震撼，從理論上講是可行的，原理是利用地球外的一個配重。這個配重繞地球旋轉(zhuǎn)的高度略高于同步衛(wèi)星軌道，當(dāng)它與地球的自轉(zhuǎn)同步運動時，纜繩繃緊，使得電梯艙(圖中箱體)可以把物資緩慢運送到太空，如圖所示。下列說法正確的是()A．物資在距離地心為地球半徑處的線速度等于第一宇宙速度B．太空電梯上各點線速度大小與該點離地球球心的距離成正比C．地面基站可以建設(shè)在青藏高原上D．物資所在高度越高，受到電梯艙的彈力越大答案B解析根據(jù)題意可知，纜繩上的拉力不等于零，所以當(dāng)物資在距離地心為地球半徑處受到箱體的彈力作用，即Geq\f(Mm,R2)－FN＝meq\f(v2,R)，所以v<eq\r(\f(GM,R))，即物資的線速度小于第一宇宙速度，故A錯誤；根據(jù)“太空電梯”結(jié)構(gòu)可知，太空電梯上各點的角速度相同，根據(jù)v＝ωr，可知，線速度大小與該點離地球球心的距離成正比，故B正確；根據(jù)題意可知纜繩相對地面靜止，則整個同步軌道一定在赤道正上方，所以地面基站不可能在青藏高原上，故C錯誤；根據(jù)題意可知，物資所受萬有引力和彈力的合力提供向心力，則Geq\f(Mm,r2)－FN＝mω2r，物資所在高度越高，r越大，物資受到電梯艙的彈力FN越小，故D錯誤。6．把地球和火星均看作質(zhì)量分布均勻的球體。已知地球質(zhì)量約為火星質(zhì)量的9倍，地球半徑約為火星半徑的2倍，由這些數(shù)據(jù)可知()A．地球表面和火星表面重力加速度之比為9∶2B．地球表面和火星表面重力加速度之比為3∶2C．地球上和火星上的第一宇宙速度之比為3∶eq\r(2)D．地球上和火星上的第一宇宙速度之比為3∶2答案C解析根據(jù)地球表面萬有引力近似等于重力，有Geq\f(Mm,R2)＝mg，得g＝eq\f(GM,R2)，由題意，地球質(zhì)量約為火星質(zhì)量的9倍，地球半徑約為火星半徑的2倍，則地球表面和火星表面的重力加速度之比為9∶4，A、B錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，得v＝eq\r(\f(GM,R))，則地球和火星的第一宇宙速度之比為3∶eq\r(2)，C正確，D錯誤。7．(2024·山東東營市期末)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)由地球靜止軌道衛(wèi)星a、與地球自轉(zhuǎn)周期相同的傾斜地球同步軌道衛(wèi)星b、以及比它們軌道低一些的中軌道衛(wèi)星c組成，它們均為圓軌道衛(wèi)星。若中軌道衛(wèi)星c與地球靜止軌道衛(wèi)星a運動軌跡在同一平面內(nèi)，下列說法正確的是()A．衛(wèi)星b運行的線速度大于衛(wèi)星c的線速度B．衛(wèi)星a與衛(wèi)星b一定具有相同的機械能C．可以發(fā)射一顆地球靜止軌道衛(wèi)星，每天同一時間經(jīng)過溫州上空同一位置D．若衛(wèi)星b與衛(wèi)星c的周期之比為3∶1，某時刻兩者相距最近，則約12小時后，兩者再次相距最近答案D解析由牛頓第二定律有eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，因衛(wèi)星b運行的半徑大于衛(wèi)星c的半徑，衛(wèi)星b運行的線速度小于衛(wèi)星c的線速度，A錯誤；機械能包括衛(wèi)星的動能和勢能，與衛(wèi)星的質(zhì)量有關(guān)，而衛(wèi)星a與衛(wèi)星b的質(zhì)量不一定相同，故衛(wèi)星a與衛(wèi)星b不一定具有相同的機械能，B錯誤；地球靜止軌道衛(wèi)星只能在赤道上空的特定軌道上，不可能經(jīng)過溫州上空，C錯誤；衛(wèi)星c比衛(wèi)星b多運行一周時兩衛(wèi)星再次相距最近有eq\f(2π,Tc)t－eq\f(2π,Tb)t＝2π，Tb＝Ta＝24h＝3Tc，解得t＝12h，即約12小時后，兩者再次相距最近，D正確。二、多項選擇題(本題共3小題，每小題10分，共30分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得10分，選對但不全的得5分，有選錯的得0分)8.2021年5至6月，天問一號探測器擇機著陸火星。如圖所示，假設(shè)天問一號探測器環(huán)繞火星做勻速圓周運動的周期為T，對火星的張角為θ。已知引力常量為G，火星半徑為R，由以上數(shù)據(jù)可以求得()A．火星的質(zhì)量為eq\f(4π2R3,GT2sin3\f(θ,2))B．火星的密度為eq\f(3π,GT2)C．火星的第一宇宙速度為eq\f(2πR\r(sin\f(θ,2)),Tsin\f(θ,2))D．天問一號探測器的線速度大小為eq\f(2πR,Tsin\f(θ,2))答案AD解析探測器所需向心力由萬有引力提供，有Geq\f(m火m,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，由幾何關(guān)系，有r＝eq\f(R,sin\f(θ,2))，解得m火＝eq\f(4π2R3,GT2sin3\f(θ,2))，所以A正確；火星密度ρ＝eq\f(m火,V)＝eq\f(m火,\f(4,3)πR3)，可得ρ＝eq\f(3π,GT2sin3\f(θ,2))，所以B錯誤；火星的第一宇宙速度vⅠ滿足Geq\f(m火m,R2)＝meq\f(v\o\al(Ⅰ2,),R)，可得vⅠ＝eq\f(2πR,T)eq\r(\f(1,sin3\f(θ,2)))，所以C錯誤；探測器的線速度大小為v＝eq\f(2πr,T)，可得v＝eq\f(2πR,Tsin\f(θ,2))，所以D正確。9.衛(wèi)星繞某行星做勻速圓周運動的加速度大小為a，衛(wèi)星的軌道半徑為r，a－eq\f(1,r2)的關(guān)系圖像如圖所示，圖中b為圖線縱坐標(biāo)的最大值，圖線的斜率為k，該行星的自轉(zhuǎn)周期為T0，引力常量為G，下列說法正確的是()A．行星的質(zhì)量為eq\f(k,G)B．行星的半徑為eq\f(k,b)C．行星的第一宇宙速度為eq\r(kb)D．該行星同步衛(wèi)星的軌道半徑為eq\r(3,\f(kT\o\al(02,),4π2))答案AD解析衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力，則有eq\f(GMm,r2)＝ma，得a＝GM·eq\f(1,r2)，圖線斜率為k＝GM，則行星的質(zhì)量為M＝eq\f(k,G)，故A正確；加速度最大即衛(wèi)星運行軌道半徑約等于行星半徑，則有b＝GM·eq\f(1,R2)，解得R＝eq\r(\f(GM,b))＝eq\r(\f(k,b))，故B錯誤；行星的第一宇宙速度為v1＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(\f(k,R))＝eq\r(k×\r(\f(b,k)))＝eq\r(4,kb)，故C錯誤；由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T\o\al(02,))r，得r＝eq\r(3,\f(GMT\o\al(02,),4π2))＝eq\r(3,\f(kT\o\al(02,),4π2))，故D正確。10．(2023·河南鄭州市模擬)宇宙中存在一個由四顆星球組成的系統(tǒng)，三顆質(zhì)量均為m的星球a、b、c恰好構(gòu)成一個邊長為L的正三角形，在它們的中心O處還有一顆質(zhì)量也為m的星球，如圖所示。已知引力常量為G，每顆星球的半徑均遠小于L。對于此系統(tǒng)，下列說法正確的是()A．中心O處的星球受到a、b、c三顆星球總的萬有引力為零B．a(chǎn)、b、c三顆星球的線速度大小均為eq\r(\f(1＋\r(3)Gm,L))C．a(chǎn)、b、c三顆星球的加速度大小均為eq\f(1＋\r(3)Gm,L2)D．若某時刻中心O處星球消失，則a、b、c三顆星球仍將按原軌道運動且運動周期不變答案AB解析由萬有引力公式可得F＝Geq\f(m2,\f(\r(3)L,3)2)，正三角形頂點所在處的星球與中心O處的星球之間的萬有引力大小相等，根據(jù)幾何關(guān)系可知，頂點處的星球?qū)χ行腛處星球的萬有引力兩兩之間的夾角均為120°，則根據(jù)力的矢量合成可知中心O處星球所受萬有引力的合力為零，故A正確；a、b、c三顆星球所受萬有引力大小相同，方向均指向中心O處，任選其中一顆星球分析可知其所受萬有引力為F′＝2×Geq\f(m2,L2)·cos30°＋Geq\f(m2,\f(\r(3)L,3)2)＝eq\f(Gm23＋\r(3),L2)，而由萬有引力充當(dāng)向心力有eq\f(Gm23＋\r(3),L2)＝meq\f(v2,\f(\r(3)L,3))＝ma＝meq\f(4π2,T2)·eq\f(\r(3)L,3)，解得v＝eq\r(\f(1＋\r(3)Gm,L))，a＝eq\f(Gm3＋\r(3),L2)，T＝eq\r(\f(4π2L3,Gm3\r(3)＋3))，故B正確，C錯誤；若某時刻中心O處星球消失，則a、b、c三顆星球所受萬有引力變成兩兩之間萬有引力的合力，且指向中心O處，則有F″＝2×Geq\f(m2,L2)·cos30°＝Geq\f(\r(3)m2,L2)，顯然萬有引力變小了，若要在原來的軌道上繼續(xù)做圓周運動，則可知做圓周運動的線速度必須減小，而根據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力，可得周期T′＝eq\r(\f(4π2L3,3Gm))，顯然T′>T，故D錯誤。三、非選擇題(本題共2小題，共28分)11．(14分)(2023·山西太原市期末)2022年11月3日，“中國空間站”夢天實驗艙順利完成轉(zhuǎn)位，標(biāo)志著中國空間站“T”字基本構(gòu)型在軌組裝完成。已知“中國空間站”在距地面高度為H的圓形軌道運行。若地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，不考慮地球的自轉(zhuǎn)。(1)求“中國空間站”做圓周運動的周期；(2)若實驗艙轉(zhuǎn)位過程的時間為t，求空間站在該段時間通過的路程。答案(1)eq\f(2πR＋H,R)eq\r(\f(R＋H,g))(2)Rteq\r(\f(g,R＋H))解析(1)設(shè)“中國空間站”的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M，“中國空間站”運行的周期為T，則eq\f(GMm,R＋H2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋H)設(shè)地球表面物體的質(zhì)量為m′，則Geq\f(Mm′,R2)＝m′g聯(lián)立解得T＝eq\f(2πR＋H,R)eq\r(\f(R＋H,g))(2)設(shè)“中國空間站”線速度的大小為v，“中國空間站”在該段時間運行的路程為sv＝eq\f(2πR＋H,T)而s＝vt聯(lián)立解得s＝Rteq\r(\f(g,R＋H))。12.(14分)(2023·河北石家莊市三模)2023年2月，我國首顆超百G高通量衛(wèi)星中星26號發(fā)射成功，開啟衛(wèi)星互聯(lián)網(wǎng)新時代。如圖所示，甲、乙衛(wèi)星在地球赤道面內(nèi)繞地球做勻速圓周運動，甲、乙衛(wèi)星之間