試題試題黃廣中學(xué)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷試卷滿分120分考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分．在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.若方程是一元二次方程，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.（2023沈陽(yáng)中考改編）2.二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.3.若m，n分別為一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（）A. B.12 C. D.8（2023年湖北省襄陽(yáng)市中考）4.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1275年提出的一個(gè)問(wèn)題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長(zhǎng)一十二步．問(wèn)闊及長(zhǎng)各幾步．”意思是：長(zhǎng)方形的面積是864平方步，寬比長(zhǎng)少12步，問(wèn)寬和長(zhǎng)各是幾步．設(shè)寬為x步，根據(jù)題意列方程正確的是（）A. B.C. D.（2023年青海中考）5.如圖，是弦，C是上一點(diǎn)，，垂足為D，若，則（）A. B. C. D.（2024廣州中考）6.下列圖案中，點(diǎn)為正方形的中心，陰影部分的兩個(gè)三角形全等，則陰影部分的兩個(gè)三角形關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的是（）A. B. C. D.7.如圖，的直徑，是的弦，，垂足為M，，則的長(zhǎng)為（）A8 B.12 C.16 D.8.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是（）A. B. C. D.（2024廣州中考）9.如圖，中，弦的長(zhǎng)為，點(diǎn)在上，，．所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)，若，則點(diǎn)與的位置關(guān)系是（）A.點(diǎn)在上 B.點(diǎn)在內(nèi) C.點(diǎn)在外 D.無(wú)法確定10.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），與y軸的交點(diǎn)B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱軸為直線x=1．下列結(jié)論：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正確結(jié)論的選項(xiàng)是（）A.①③ B.①③④ C.②④⑤ D.①③④⑤二、填空題（本大題共6小題，每題3分，共18分）11.若點(diǎn)與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_______．（2022廣東中考）12.若是方程的根，則____________．（2024年廣州市白云區(qū)一模）13.若點(diǎn)，，在拋物線上，則，，的大小關(guān)系為_(kāi)_____（用“”連接）14.如圖，△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)42°得到△ODC，點(diǎn)D恰好落在AB上，且∠AOC＝108°，則∠B度數(shù)是______．15.如圖，在ABC中，AB=AC，∠B=30°，以點(diǎn)A為圓心，以3cm為半徑作⊙A，當(dāng)AB=_____cm時(shí)，BC與⊙A相切．16.在矩形中，，點(diǎn)M是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，N為的中點(diǎn)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段長(zhǎng)度的取值范圍是____________________．三、解答題（本大題共9小題，共72分．）17.解方程：．18.已知拋物線．若拋物線與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求k的取值范圍．19.在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，（1）將以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的；平移，若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，畫(huà)出平移后對(duì)應(yīng)的；（2）若將繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到，請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)．20.如圖，在平面內(nèi)，繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得，，連接．求證：．21.成都市將在2022年舉辦第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)，成都大運(yùn)會(huì)吉祥物是一只名叫“蓉寶”的大熊貓．某工廠生產(chǎn)“蓉寶”大熊貓，以30元的單價(jià)對(duì)外批發(fā)進(jìn)行銷(xiāo)售（1）商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批“蓉寶”的大熊貓，據(jù)市場(chǎng)分析，若每個(gè)“蓉寶”售價(jià)為60元，則每天可售出40個(gè)．商場(chǎng)決定盡快減少庫(kù)存，商店經(jīng)過(guò)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，如果每個(gè)“蓉寶”降價(jià)1元，那么平均每天可多售出8個(gè)，若商店想平均每天盈利2000元，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元？（2）商城銷(xiāo)售總利潤(rùn)為w，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元，銷(xiāo)售總利潤(rùn)最大？22.如圖，AB是⊙O的直徑，，E是OB的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使EF=CE．連接AF交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，BF．（1）求證：直線BF是⊙O的切線；（2）若OB=2，求BD的長(zhǎng)．23.我們?cè)诎四昙?jí)上冊(cè)曾經(jīng)探索：把一個(gè)直立的火柴盒放倒（如圖1），通過(guò)對(duì)梯形ABCD面積的不同方法計(jì)算，來(lái)驗(yàn)證勾股定理．a(chǎn)、b、c分別是和的邊長(zhǎng)，易知，這時(shí)我們把關(guān)于x的形如的一元二次方程稱為“勾氏方程”．請(qǐng)解決下列問(wèn)題：（1）方程（填“是”或“不是”）“勾氏方程”；（2）求證：關(guān)于x的“勾氏方程”必有實(shí)數(shù)根；（3）如圖2，的半徑為10，AB、CD是位于圓心O異側(cè)的兩條平行弦，．若關(guān)于x的方程是“勾氏方程”，連接AD，求的度數(shù)．24.已知拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)Q在x軸上，是否存在以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）將拋物線向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到一個(gè)新的拋物線，問(wèn)在y軸正半軸上是否存在一點(diǎn)F，使得當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的任意一條直線與新拋物線交于S，T兩點(diǎn)時(shí)，總有為定值？若存在，求出點(diǎn)F坐標(biāo)及定值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．25.如圖1，在中，，，點(diǎn)，分別在邊上，，連接，點(diǎn)，，分別為中點(diǎn)．（1）觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；（2）探究證明：把繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2位置，連接，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出面積的最大值．黃廣中學(xué)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷試卷滿分120分考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分．在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.若方程是一元二次方程，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的定義，方程的兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且整理后未知數(shù)的最高次數(shù)都是2，象這樣的方程叫做一元二次方程．對(duì)于一元二次方程，其中a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)不為零列式求解即可．【詳解】解：∵方程是一元二次方程，∴．故選A．（2023沈陽(yáng)中考改編）2.二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于二次函數(shù)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，據(jù)此可得答案．【詳解】解：二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，故選：B．3.若m，n分別為一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（）A. B.12 C. D.8【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)于一元二次方程，若是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，據(jù)此可得，再利用整體代入法求解即可．【詳解】解：∵m，n分別為一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴，故選：C．（2023年湖北省襄陽(yáng)市中考）4.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1275年提出的一個(gè)問(wèn)題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長(zhǎng)一十二步．問(wèn)闊及長(zhǎng)各幾步．”意思是：長(zhǎng)方形的面積是864平方步，寬比長(zhǎng)少12步，問(wèn)寬和長(zhǎng)各是幾步．設(shè)寬為x步，根據(jù)題意列方程正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)寬為x步，則長(zhǎng)為步，根據(jù)題意列方程即可．【詳解】解：設(shè)寬為x步，則長(zhǎng)為步，由題意得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是關(guān)鍵．（2023年青海中考）5.如圖，是的弦，C是上一點(diǎn)，，垂足為D，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意易得，則有，然后問(wèn)題可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．（2024廣州中考）6.下列圖案中，點(diǎn)為正方形的中心，陰影部分的兩個(gè)三角形全等，則陰影部分的兩個(gè)三角形關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了圖形關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱，掌握中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線是否過(guò)點(diǎn)判斷即可．【詳解】解：由圖形可知，陰影部分的兩個(gè)三角形關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的是C，故選：C．7.如圖，的直徑，是的弦，，垂足為M，，則的長(zhǎng)為（）A.8 B.12 C.16 D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，連接，由圓性質(zhì)可得的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，再由勾股定理求出的長(zhǎng)，則由垂徑定理可得的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖所示，連接，∵的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得，∴，故選：C．8.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)比各個(gè)選項(xiàng)中二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象的規(guī)律，可分別得到各個(gè)函數(shù)系數(shù)的取值范圍；通過(guò)函數(shù)系數(shù)對(duì)比，即可得到答案．【詳解】解：A選項(xiàng)中，開(kāi)口朝上，與y軸交點(diǎn)在原點(diǎn)下方，∴，，而函數(shù)y隨x增大而增大，與y軸交點(diǎn)在原點(diǎn)下方，∴，，∴A選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)中，開(kāi)口朝上，與y軸交點(diǎn)在原點(diǎn)上方，∴，，而函數(shù)y隨x增大而減少，與y軸交點(diǎn)在原點(diǎn)上方，∴，，∴B選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)中，開(kāi)口朝下，與y軸交點(diǎn)在原點(diǎn)下方，∴，，而函數(shù)y隨x增大而減少，與y軸交點(diǎn)在原點(diǎn)上方，∴，，∴C選項(xiàng)不符合題意；D選項(xiàng)中，開(kāi)口朝下，與y軸交點(diǎn)在原點(diǎn)上方，∴，，而函數(shù)y隨x增大而增大，與y軸交點(diǎn)在原點(diǎn)下方，∴，，∴D選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的知識(shí)；求解的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)、一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，從而完成求解．（2024廣州中考）9.如圖，中，弦的長(zhǎng)為，點(diǎn)在上，，．所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)，若，則點(diǎn)與的位置關(guān)系是（）A.點(diǎn)在上 B.點(diǎn)在內(nèi) C.點(diǎn)在外 D.無(wú)法確定【答案】C【解析】【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．由垂徑定理可得，由圓周角定理可得，再結(jié)合特殊角的正弦值，求出的半徑，即可得到答案．【詳解】解：如圖，令與的交點(diǎn)為，為半徑，為弦，且，，，在中，，，，，，即的半徑為4，，點(diǎn)在外，故選：C．10.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），與y軸的交點(diǎn)B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱軸為直線x=1．下列結(jié)論：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正確結(jié)論的選項(xiàng)是（）A.①③ B.①③④ C.②④⑤ D.①③④⑤【答案】D【解析】【詳解】解：①∵函數(shù)開(kāi)口方向向上，∴a＞0；∵對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴a、b異號(hào)，∵拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，∴c＜0，∴abc＞0，故①正確；②∵圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x=1，∴圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3，0），∴當(dāng)x=2時(shí)，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②錯(cuò)誤；③∵圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，y==0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵對(duì)稱軸為直線x=1，∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣=4?a?（﹣3a）﹣=＜0，∵8a＞0，∴4ac﹣＜8a，故③正確；④∵圖象與y軸的交點(diǎn)B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間，∴﹣2＜c＜﹣1，∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞，故④正確；⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c，故⑤正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)D像與系數(shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合來(lái)進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每題3分，共18分）11.若點(diǎn)與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，橫、縱坐標(biāo)都變成相反數(shù)解答．【詳解】解：∵點(diǎn)與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，掌握“關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，橫、縱坐標(biāo)都變成相反數(shù)”是關(guān)鍵．（2022廣東中考）12.若是方程的根，則____________．【答案】1【解析】【分析】本題根據(jù)一元二次方程的根的定義，把x=1代入方程得到a的值．【詳解】把x=1代入方程，得1?2+a=0，解得a=1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．（2024年廣州市白云區(qū)一模）13.若點(diǎn)，，在拋物線上，則，，的大小關(guān)系為_(kāi)_____（用“”連接）【答案】【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線，然后根據(jù)三個(gè)點(diǎn)離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近判斷函數(shù)值的大?。驹斀狻拷猓褐?，，∴拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線，∵點(diǎn)離直線的距離最遠(yuǎn)，在直線上，∴．故答案為：．14.如圖，△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)42°得到△ODC，點(diǎn)D恰好落在AB上，且∠AOC＝108°，則∠B度數(shù)是______．【答案】45°【解析】【分析】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠AOD=∠BOC=42°，結(jié)合∠AOC=108°可推出∠BOD=24°，從而∠AOB=66°．又AO=DO，由等腰三角形性質(zhì)可得∠A=69°，最后利用三角形內(nèi)角和公式可得∠B的度數(shù)．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠AOD=∠BOC=42°，又∵∠AOC=108°，∴∠BOD=108°-∠AOD-∠BOC=108°-42°-42°=24°，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=42°+24°=66°，∵AO=DO，∵∠A=∠ADO=（180°-42°）÷2=69°，∴∠B=180°-∠A-∠AOB=180°-69°-66°=45°，故答案為：45°．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和公式，證明△ADO為等腰三角形是解題的關(guān)鍵．15.如圖，在ABC中，AB=AC，∠B=30°，以點(diǎn)A為圓心，以3cm為半徑作⊙A，當(dāng)AB=_____cm時(shí)，BC與⊙A相切．【答案】6．【解析】【詳解】試題分析：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．∵AB=AC，∠B=30°，∴AD=AB，即AB=2AD．又∵BC與⊙A相切，∴AD就是圓A的半徑，∴AD=3cm，則AB=2AD=6cm．故答案為6．考點(diǎn)：切線的判定．16.在矩形中，，點(diǎn)M是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，N為的中點(diǎn)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段長(zhǎng)度的取值范圍是____________________．【答案】【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最值，把求的最值轉(zhuǎn)化為求的最值是關(guān)鍵；確定點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑；延長(zhǎng)到E，使，連接，交于點(diǎn)F、G；利用三角形中位線定理及圓的基本性質(zhì)即可求得線段長(zhǎng)度的取值范圍．【詳解】解：∵，∴在以B為圓心4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)；∵四邊形為矩形，∴；延長(zhǎng)到E，使，連接，交于點(diǎn)F、G；∵N為的中點(diǎn)，∴；當(dāng)M與F重合時(shí)，最小，且最小值為長(zhǎng)；當(dāng)M與G重合時(shí)，最大，且最大值為長(zhǎng)；∵，，∴；∴，，∴的最小值為，的最大值為，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是．故答案為：．三、解答題（本大題共9小題，共72分．）17.解方程：．【答案】，【解析】【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握用因式分解法求解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．先移項(xiàng)，再用因式分解法求解即可．【詳解】解：或∴，．18.已知拋物線．若拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求k的取值范圍．【答案】【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)判別式大于0．根據(jù)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，判別式大于0列不等式求解即可得到答案．【詳解】解：∵拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，解得：．19.在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，（1）將以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的；平移，若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，畫(huà)出平移后對(duì)應(yīng)的；（2）若將繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到，請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)．【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換作圖，也考查了平移變換作圖，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換和平移變換的定義作出變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，（1）利用中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到、、，再順次連接即可；利用點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到平移的方式是先向右平移3個(gè)單位，再向下平移6個(gè)單位，據(jù)此作出另外兩個(gè)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接即可；（2）連接、、交于一點(diǎn)，這點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心，即可解答；【小問(wèn)1詳解】解：如圖所示：為所求，為所求；【小問(wèn)2詳解】解：∵，∴，∴旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)為．20.如圖，在平面內(nèi)，繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得，，連接．求證：．【答案】詳見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，求出，然后根據(jù)即可證明．【詳解】證明：∵由旋轉(zhuǎn)可得，∴．，∵旋轉(zhuǎn)角為，∴．∵，∴，∴，∴，∴．在和中，，∴．21.成都市將在2022年舉辦第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)，成都大運(yùn)會(huì)吉祥物是一只名叫“蓉寶”的大熊貓．某工廠生產(chǎn)“蓉寶”大熊貓，以30元的單價(jià)對(duì)外批發(fā)進(jìn)行銷(xiāo)售（1）商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批“蓉寶”的大熊貓，據(jù)市場(chǎng)分析，若每個(gè)“蓉寶”售價(jià)為60元，則每天可售出40個(gè)．商場(chǎng)決定盡快減少庫(kù)存，商店經(jīng)過(guò)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，如果每個(gè)“蓉寶”降價(jià)1元，那么平均每天可多售出8個(gè)，若商店想平均每天盈利2000元，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元？（2）商城銷(xiāo)售總利潤(rùn)為w，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元，銷(xiāo)售總利潤(rùn)最大？【答案】（1）銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為40元（2）當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為元，銷(xiāo)售總利潤(rùn)最大【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：（1）設(shè)每個(gè)“蓉寶”降價(jià)x元，根據(jù)利潤(rùn)（實(shí)際售價(jià)進(jìn)價(jià)）銷(xiāo)售量列出方程求解即可；（2）設(shè)每個(gè)“蓉寶”降價(jià)x元，根據(jù)利潤(rùn)（實(shí)際售價(jià)進(jìn)價(jià)）銷(xiāo)售量列出w關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)每個(gè)“蓉寶”降價(jià)x元，由題意得，，整理得：，解得或，∵商場(chǎng)決定盡快減少庫(kù)存，∴，∴，答：銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為40元；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)每個(gè)“蓉寶”降價(jià)x元，由題意得，∵，∴當(dāng)時(shí)，w有最大值，最大值為2450，∴，∴當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為元，銷(xiāo)售總利潤(rùn)最大．22.如圖，AB是⊙O的直徑，，E是OB的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使EF=CE．連接AF交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，BF．（1）求證：直線BF是⊙O的切線；（2）若OB=2，求BD的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）BD=．【解析】【分析】（1）連接OC，由已知可得∠BOC=90°，根據(jù)SAS證明△OCE≌△BFE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得∠OBF=∠COE=90°，繼而可證明直線BF是⊙O的切線；（2）由（1）的全等可知BF=OC=2，利用勾股定理求出AF的長(zhǎng)，然后由S△ABF=，即可求出BD=．【詳解】解：（1）連接OC，∵AB是⊙O的直徑，，∴∠BOC=90°，∵E是OB的中點(diǎn)，∴OE=BE，在△OCE和△BFE中，，∴△OCE≌△BFE（SAS），∴∠OBF=∠COE=90°，∴直線BF是⊙O的切線；（2）∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE，∴BF=OC=2，∴AF=，∴S△ABF=，即4×2=2BD，∴BD=．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的不同表示方法，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵．23.我們?cè)诎四昙?jí)上冊(cè)曾經(jīng)探索：把一個(gè)直立的火柴盒放倒（如圖1），通過(guò)對(duì)梯形ABCD面積的不同方法計(jì)算，來(lái)驗(yàn)證勾股定理．a(chǎn)、b、c分別是和的邊長(zhǎng)，易知，這時(shí)我們把關(guān)于x的形如的一元二次方程稱為“勾氏方程”．請(qǐng)解決下列問(wèn)題：（1）方程（填“是”或“不是”）“勾氏方程”；（2）求證：關(guān)于x的“勾氏方程”必有實(shí)數(shù)根；（3）如圖2，的半徑為10，AB、CD是位于圓心O異側(cè)的兩條平行弦，．若關(guān)于x的方程是“勾氏方程”，連接AD，求的度數(shù)．【答案】（1）是（2）見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)“勾氏方程”的定義即可判斷；（2）利用勾股定理以及“勾氏方程”的定義即可解決問(wèn)題；（3）如圖，連接，，作于E，作延長(zhǎng)線交于F，利用勾股定理求出，在利用全等三角形的判斷與性質(zhì)推導(dǎo)出即可解決問(wèn)題．【小問(wèn)1詳解】解：“勾氏方程”，理由如下：∵中，，∴，∴，能構(gòu)成直角三角形，∴方程是“勾氏方程”；【小問(wèn)2詳解】解：∵關(guān)于的方程是“勾氏方程”，∴構(gòu)成直角三角形，c是斜邊，∴，∵，∴，∴關(guān)于的“勾氏方程”必有實(shí)數(shù)根．【小問(wèn)3詳解】解：連接，，作于E，作的延長(zhǎng)線交于F，如下圖：∵關(guān)于x的方程是“勾氏方程”，∴，10構(gòu)成直角三角形，10是斜邊，∴∵，，∴，，∴，，∴，即，又，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、一元二次方程根的判別式、全等三角形的判定及性質(zhì)、圓周角定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是挖掘新定義中最本質(zhì)的關(guān)系：勾氏方程滿足，利用這個(gè)關(guān)系即可轉(zhuǎn)化邊并證明邊相等．24.已知拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)Q在x軸上，是否存在以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）將拋物線向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到一個(gè)新的拋物線，問(wèn)在y軸正半軸上是否存在一點(diǎn)F，使得當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的任意一條直線與新拋物線交于S，T兩點(diǎn)時(shí)，總有為定值？若存在，求出點(diǎn)F坐標(biāo)及定值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，（3）存在，定點(diǎn)的值為4【解析】【分析】（1）把，點(diǎn)代入，得出關(guān)于、二元一次方程組，解方程組求出、的值，即可得答案；（2）根據(jù)拋物線解析式求出對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)Q坐標(biāo)為，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的坐標(biāo)相同，分、、為對(duì)角線三種情況，列方程組求出、的值即可得答案；（3）根據(jù)平移規(guī)律得出新的拋物線解析式為，設(shè)的解析式為，，，則，聯(lián)立拋物線與直線的解析式得，利