考點(diǎn)15函數(shù)模型的應(yīng)用（3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）【考試提醒】1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異.2.理解“指數(shù)爆炸”“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”等術(shù)語(yǔ)的含義3.能選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)】1．三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與平行隨n值的變化而各有不同2．常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠0)【核心題型】題型一用函數(shù)圖象刻畫變化過程判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選擇函數(shù)圖象．(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案．【例題1】（2023·山西朔州·模擬預(yù)測(cè)）為研究每平方米平均建筑費(fèi)用與樓層數(shù)的關(guān)系，某開發(fā)商收集了一棟住宅樓在建筑過程中，建筑費(fèi)用的相關(guān)信息，將總樓層數(shù)與每平米平均建筑成本（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)整理成如圖所示的散點(diǎn)圖：則下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費(fèi)用和樓層數(shù)的回歸方程類型的是（

）A． B．C． D．【變式1】（2023·江西南昌·二模）為了預(yù)防某種病毒，某學(xué)校需要通過噴灑藥物對(duì)教室進(jìn)行全面消毒．出于對(duì)學(xué)生身體健康的考慮，相關(guān)部門規(guī)定空氣中這種藥物的濃度不超過0.25毫克/立方米時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)入教室．已知從噴灑藥物開始，教室內(nèi)部的藥物濃度y（毫克/立方米）與時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系為，函數(shù)的圖像如圖所示．如果早上7：30就有學(xué)生進(jìn)入教室，那么開始噴灑藥物的時(shí)間最遲是（

）A．7：00 B．6：40 C．6：30 D．6：00【變式2】（2023·四川南充·三模）血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度，當(dāng)血藥濃度介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間時(shí)藥物發(fā)揮作用．某種藥物服用1單位后，體內(nèi)血藥濃度變化情況如圖所示（服用藥物時(shí)間對(duì)應(yīng)t時(shí)），則下列說法中不正確的是（

）A．首次服藥1單位后30分鐘時(shí)，藥物已經(jīng)在發(fā)揮療效B．若每次服藥1單位，首次服藥1小時(shí)藥物濃度達(dá)到峰值C．若首次服藥1單位，3小時(shí)后再次服藥1單位，一定不會(huì)發(fā)生藥物中毒D．每間隔5.5小時(shí)服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用【變式3】（23-24高三下·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．題型二已知函數(shù)模型的實(shí)際問題已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)鍵(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗(yàn)．【例題1】．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用的開水泡制，再等茶水溫度降至?xí)r飲用，可以產(chǎn)生最佳口感，如果茶水原來(lái)的溫度是，經(jīng)過一定時(shí)間后的溫度T(單位：)可由公式求得，其中表示室溫，k是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù)．現(xiàn)有一杯的綠茶放在室溫為的房間中，如果茶溫降到需要，那么在室溫下，用的開水泡制，剛泡好的茶水要達(dá)到最佳飲用口感，大約需要放置（

）(參考數(shù)據(jù)：)A． B． C． D．【變式1】（2024·四川德陽(yáng)·三模）如今我國(guó)物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進(jìn)了社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和資源整合．已知某類果蔬的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系．(a，b．為常數(shù))，若該果蔬在7℃的保鮮時(shí)間為288小時(shí)，在21℃的保鮮時(shí)間為32小時(shí)，且該果蔬所需物流時(shí)間為4天，則物流過程中果蔬的儲(chǔ)藏溫度(假設(shè)物流過程中恒溫)最高不能超過（

）A．14℃ B．15℃ C．13℃ D．16℃【變式2】（2023·貴州銅仁·模擬預(yù)測(cè)）牛頓曾經(jīng)提出了在常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型（t為時(shí)間，單位：分鐘，為環(huán)境溫度，為物體初始溫度，為冷卻后溫度），假設(shè)一杯開水溫度，環(huán)境溫度，常數(shù)，大約經(jīng)過分鐘水溫降為30℃（參考數(shù)據(jù)：）．【變式3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）環(huán)保部門為了研究某池塘里某種植物生長(zhǎng)面積S(單位：)與時(shí)間t(單位：月)之間的關(guān)系，通過觀察建立了函數(shù)模型，且.已知第一個(gè)月該植物的生長(zhǎng)面積為，第三個(gè)月該植物的生長(zhǎng)面積為.(1)求證：若，則；(2)若該植物的生長(zhǎng)面積達(dá)到100以上，則至少要經(jīng)過多少個(gè)月？題型三構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問題構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步驟(1)建模：抽象出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型；(2)推理、演算：對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解；(3)評(píng)價(jià)、解釋：對(duì)求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評(píng)價(jià)、解釋，然后返回到原來(lái)的實(shí)際問題中去，得到實(shí)際問題的解．【例題1】（23-24高三上·江蘇南通·期末）某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生制作一個(gè)矩形框架的工藝品．要求將一個(gè)邊長(zhǎng)分別為10cm和20cm的矩形零件的四個(gè)頂點(diǎn)分別焊接在矩形框架的四條邊上，則矩形框架周長(zhǎng)的最大值為（

）A． B． C． D．【變式1】（2023·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）凈水機(jī)通過分級(jí)過濾的方式使自來(lái)水逐步達(dá)到純凈水的標(biāo)準(zhǔn)，其工作原理中有多次的棉濾芯過濾，其中第一級(jí)過濾一般由孔徑為5微米的棉濾芯（聚丙烯熔噴濾芯）構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)是多層式，主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質(zhì)，假設(shè)每一層棉濾芯可以過濾掉三分之一的大顆粒雜質(zhì)，若過濾前水中大顆粒雜質(zhì)含量為80mg/L，現(xiàn)要滿足過濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過2mg/L，則棉濾芯的層數(shù)最少為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．9 B．8 C．7 D．6【變式2】2023·上海閔行·三模）珠穆朗瑪峰高達(dá)8848.86米，但即使你擁有良好的視力，你也無(wú)法在上?？吹剿粋€(gè)觀察者距離珠穆朗瑪峰多遠(yuǎn)，才能在底面上看到它呢？為了能夠通過幾何方法解決這個(gè)問題，需要利用簡(jiǎn)單的幾何模型表示這個(gè)問題情境，在此過程中，有下列假設(shè)：①珠穆朗瑪峰的形狀為等腰梯形；②地球的形狀是一個(gè)球體；③太陽(yáng)光線沿直線傳播；④沒有事物可以阻礙人們看到珠穆朗瑪峰的視線．你認(rèn)為最不重要的一個(gè)假設(shè)是．【變式3】（23-24高三上·福建寧德·期中）為了減少碳排放，某企業(yè)采用新工藝，將生產(chǎn)中產(chǎn)生的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種化工產(chǎn)品.已知該企業(yè)每月的處理量最少為30噸，最多為400噸.月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系近似地表示為.(1)該企業(yè)每月處理量為多少噸時(shí)，才能使月處理成本最低?月處理成本最低是多少元?(2)該企業(yè)每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低?每噸的平均處理成本最低是多少元?【課后強(qiáng)化】基礎(chǔ)保分練一、單選題1．（2024·江蘇·一模）德國(guó)天文學(xué)家約翰尼斯·開普勒根據(jù)丹麥天文學(xué)家第谷·布拉赫等人的觀測(cè)資料和星表，通過本人的觀測(cè)和分析后，于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運(yùn)動(dòng)第三定律——繞以太陽(yáng)為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行的所有行星，其橢圓軌道的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a與公轉(zhuǎn)周期T有如下關(guān)系：，其中M為太陽(yáng)質(zhì)量，G為引力常量．已知火星的公轉(zhuǎn)周期約為水星的8倍，則火星的橢圓軌道的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)約為水星的（

）A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍2．（2024·廣東韶關(guān)·二模）在工程中估算平整一塊矩形場(chǎng)地的工程量W（單位：平方米）的計(jì)算公式是，在不測(cè)量長(zhǎng)和寬的情況下，若只知道這塊矩形場(chǎng)地的面積是10000平方米，每平方米收費(fèi)1元，請(qǐng)估算平整完這塊場(chǎng)地所需的最少費(fèi)用（單位：元）是（

）A．10000 B．10480 C．10816 D．108183．（2024·上海奉賢·二模）已知函數(shù)，其中，，其中，則圖象如圖所示的函數(shù)可能是（

）．A． B．C． D．4．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：）與時(shí)間t（單位：h）之間的關(guān)系式為，其中是正的常數(shù)，若在前消除了的污染物，則常數(shù)k所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．5．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）在下列四個(gè)圖形中，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，按逆時(shí)針方向沿周長(zhǎng)為l的圖形運(yùn)動(dòng)一周，O、P兩點(diǎn)連線的距離y與點(diǎn)P走過的路程x的函數(shù)關(guān)系如圖，那么點(diǎn)P所走的圖形是（

）A． B．C． D．二、多選題6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某地下車庫(kù)在排氣扇發(fā)生故障的情況下測(cè)得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險(xiǎn)狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常，排氣4分鐘后測(cè)得車庫(kù)內(nèi)的一氧化碳濃度為，繼續(xù)排氣4分鐘后又測(cè)得濃度為．由檢驗(yàn)知該地下車庫(kù)一氧化碳濃度（單位：）與排氣時(shí)間（單位：分鐘）之間滿足函數(shù)關(guān)系（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．若空氣中一氧化碳濃度不高于，人就可以安全進(jìn)入車庫(kù)了，則下列說法正確的是（

）A．B．C．排氣12分鐘后濃度為D．排氣32分鐘后，人可以安全進(jìn)入車庫(kù)7．（2023·廣東廣州·三模）已知函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)，記三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，且，則下列說法正確的是（

）A．存在實(shí)數(shù)，使得B．C．D．為定值三、填空題8．（22-23高三下·上海閔行·階段練習(xí)）一般的數(shù)學(xué)建模包含如下活動(dòng)過程：①建立模型；②實(shí)際情境；③提出問題；④求解模型；⑤實(shí)際結(jié)果；⑥檢驗(yàn)結(jié)果，請(qǐng)寫出正確的序號(hào)順序．9．（2024·上海長(zhǎng)寧·二模）甲、乙、丙三輛出租車2023年運(yùn)營(yíng)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：甲乙丙接單量t（單）783182258338油費(fèi)s（元）107150110264110376平均每單里程k（公里）151515平均每公里油費(fèi)a（元）0.70.70.7出租車空駛率；依據(jù)以述數(shù)據(jù)，小明建立了求解三輛車的空駛率的模型，并求得甲、乙、丙的空駛率分別為，則（精確到0.01）四、解答題10．（2024·浙江溫州·二模）紅旗淀粉廠2024年之前只生產(chǎn)食品淀粉，下表為年投入資金（萬(wàn)元）與年收益（萬(wàn)元）的8組數(shù)據(jù)：102030405060708012.816.51920.921.521.92325.4(1)用模擬生產(chǎn)食品淀粉年收益與年投入資金的關(guān)系，求出回歸方程；(2)為響應(yīng)國(guó)家“加快調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)”的號(hào)召，該企業(yè)又自主研發(fā)出一種藥用淀粉，預(yù)計(jì)其收益為投入的．2024年該企業(yè)計(jì)劃投入200萬(wàn)元用于生產(chǎn)兩種淀粉，求年收益的最大值．（精確到0.1萬(wàn)元）附：①回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，②1612920400109603③11．（2024·江西上饒·一模）機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)即汽車保險(xiǎn)（簡(jiǎn)稱車險(xiǎn)），是指對(duì)機(jī)動(dòng)車輛由于自然災(zāi)害或意外事故所造成的人身傷亡或財(cái)產(chǎn)損失負(fù)賠償責(zé)任的一種商業(yè)保險(xiǎn)．機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)一般包括交強(qiáng)險(xiǎn)和商業(yè)險(xiǎn)兩部分，其中商業(yè)險(xiǎn)包括基本險(xiǎn)和附加險(xiǎn)．經(jīng)驗(yàn)表明商業(yè)險(xiǎn)保費(fèi)（單位：元）由過去三年的出險(xiǎn)次數(shù)決定了下一年的保費(fèi)倍率，上饒市某機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)公司對(duì)于購(gòu)買保險(xiǎn)滿三年的汽車按如下表格計(jì)算商業(yè)險(xiǎn)費(fèi)用．（假設(shè)每年出險(xiǎn)次數(shù)2次及以上按2次計(jì)算）出險(xiǎn)情況商業(yè)險(xiǎn)折扣若基準(zhǔn)保費(fèi)3000元時(shí)對(duì)應(yīng)保費(fèi)三年內(nèi)6賠1.85400三-年內(nèi)5賠1.54500三年內(nèi)4賠1.23600三年內(nèi)3賠13000三年內(nèi)2賠0.82400三年內(nèi)1賠0.72100三年內(nèi)0賠0.61800(1)汽車的基準(zhǔn)保費(fèi)由車的價(jià)格決定，假定王先生的汽車基準(zhǔn)保費(fèi)為3000元，且過去8年都沒有出險(xiǎn)，近期發(fā)生輕微事故，王先生到汽車維修店詢價(jià)得知維修費(fèi)為1000元，理賠人員根據(jù)王先生過去一直安全行車的習(xí)慣，建議王先生出險(xiǎn)理賠，王先生是否該接受建議？（假設(shè)接下來(lái)三年王先生汽車基準(zhǔn)保費(fèi)不變，且都不出險(xiǎn)）(2)張先生有多年駕車經(jīng)驗(yàn)，用他過去的駕車出險(xiǎn)頻率估計(jì)概率，得知平均每年不出險(xiǎn)的概率為0.8，出一次險(xiǎn)的概率為0.1，出兩次險(xiǎn)的概率為0.1（兩次及以上按兩次算）．張先生近期買了一輛新車，商業(yè)險(xiǎn)基準(zhǔn)保費(fèi)為3000元（假設(shè)基準(zhǔn)保費(fèi)不變），求張先生新車剛滿三年時(shí)的商業(yè)險(xiǎn)保費(fèi)分布列及期望．綜合提升練一、單選題1．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）水霧噴頭布置的基本原則是：保護(hù)對(duì)象的水霧噴頭數(shù)量應(yīng)根據(jù)設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度、保護(hù)面積和水霧噴頭特性，按水霧噴頭流量q（單位：L/min）計(jì)算公式為和保護(hù)對(duì)象的水霧噴頭數(shù)量N計(jì)算公式為計(jì)算確定，其中P為水霧噴頭的工作壓力（單位：MPa），K為水霧噴頭的流量系數(shù)（其值由噴頭制造商提供），S為保護(hù)對(duì)象的保護(hù)面積，W為保護(hù)對(duì)象的設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度（單位：）．水霧噴頭的布置應(yīng)使水霧直接噴射和完全覆蓋保護(hù)對(duì)象，如不能滿足要求時(shí)應(yīng)增加水霧噴頭的數(shù)量．當(dāng)水霧噴頭的工作壓力P為0.35MPa，水霧噴頭的流量系數(shù)K為24.96，保護(hù)對(duì)象的保護(hù)面積S為，保護(hù)對(duì)象的設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度W為時(shí)，保護(hù)對(duì)象的水霧噴頭的數(shù)量N約為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)2．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）設(shè)某批產(chǎn)品的產(chǎn)量為（單位：萬(wàn)件），總成本（單位：萬(wàn)元），銷售單價(jià)（單位：元/件）．若該批產(chǎn)品全部售出，則總利潤(rùn)（總利潤(rùn)銷售收入-總成本）最大時(shí)的產(chǎn)量為（

）A．7萬(wàn)件 B．8萬(wàn)件 C．9萬(wàn)件 D．10萬(wàn)件3．（2024·北京豐臺(tái)·一模）按國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，復(fù)印紙幅面規(guī)格分為系列和系列，其中系列以，，…等來(lái)標(biāo)記紙張的幅面規(guī)格，具體規(guī)格標(biāo)準(zhǔn)為：①規(guī)格紙張的幅寬和幅長(zhǎng)的比例關(guān)系為；②將（）紙張平行幅寬方向裁開成兩等份，便成為規(guī)格紙張（如圖）．

某班級(jí)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)匯報(bào)，要用規(guī)格紙張裁剪其他規(guī)格紙張．共需規(guī)格紙張40張，規(guī)格紙張10張，規(guī)格紙張5張．為滿足上述要求，至少提供規(guī)格紙張的張數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．94．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型（，），其中為改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù)．假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過時(shí)符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．12 B．13 C．14 D．155．（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測(cè)）“綠水青山就是金山銀山”的理念已經(jīng)提出18年，我國(guó)城鄉(xiāng)深化河道生態(tài)環(huán)境治理，科學(xué)治污.現(xiàn)有某鄉(xiāng)村一條污染河道的蓄水量為v立方米，每天的進(jìn)出水量為k立方米，已知污染源以每天r個(gè)單位污染河水，某一時(shí)段t（單位：天）河水污染質(zhì)量指數(shù)（每立方米河水所含的污染物）滿足（為初始質(zhì)量指數(shù)），經(jīng)測(cè)算，河道蓄水量是每天進(jìn)出水量的50倍.若從現(xiàn)在開始停止污染源，要使河水的污染水平下降到初始時(shí)的，需要的時(shí)間大約是（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．1個(gè)月 B．3個(gè)月 C．半年 D．1年6．（2024·北京西城·一模）德國(guó)心理學(xué)家艾·賓浩斯研究發(fā)現(xiàn)，人類大腦對(duì)事物的遺忘是有規(guī)律的，他依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制出“遺忘曲線”．“遺忘曲線”中記憶率隨時(shí)間（小時(shí)）變化的趨勢(shì)可由函數(shù)近似描述，則記憶率為時(shí)經(jīng)過的時(shí)間約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．2小時(shí) B．0.8小時(shí) C．0.5小時(shí) D．0.2小時(shí)7．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)半球體狀的雪堆，假設(shè)在融化過程中雪堆始終保持半球體狀，其體積變化的速率與半球面面積成正比，已知半徑為的雪堆在開始融化的3小時(shí)，融化了其體積的，則該雪堆全部融化需要（

）小時(shí)A． B．4 C．5 D．68．（2024·陜西商洛·三模）近年來(lái)商洛為了打造康養(yǎng)之都，引進(jìn)了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng)．已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量與時(shí)間（小時(shí)）的關(guān)系為（為最初的污染物數(shù)量）．如果前3小時(shí)消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（

）A．2.6小時(shí) B．6小時(shí) C．3小時(shí) D．4小時(shí)二、多選題9．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）放射性物質(zhì)在衰變中產(chǎn)生輻射污染逐步引起了人們的關(guān)注，已知放射性物質(zhì)數(shù)量隨時(shí)間的衰變公式，表示物質(zhì)的初始數(shù)量，是一個(gè)具有時(shí)間量綱的數(shù)，研究放射性物質(zhì)常用到半衰期，半衰期指的是放射性物質(zhì)數(shù)量從初始數(shù)量到衰變成一半所需的時(shí)間，已知，右表給出了鈾的三種同位素τ的取值：若鈾234、鈾235和鈾238的半衰期分別為，，，則（

）物質(zhì)τ的量綱單位τ的值鈾234萬(wàn)年35.58鈾235億年10.2鈾238億年64.75A． B．與成正比例關(guān)系C． D．10．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）科學(xué)研究表明，物體在空氣中冷卻的溫度變化是有規(guī)律的．如果物體的初始溫度為，空氣溫度保持不變，則t分鐘后物體的溫度（單位：）滿足：．若空氣溫度為，該物體溫度從（）下降到，大約所需的時(shí)間為，若該物體溫度從，下降到，大約所需的時(shí)間分別為，則（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．11．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)在四川成都舉行，大運(yùn)會(huì)吉祥物“蓉寶”備受人們歡迎．某大型超市舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，推出“單次消費(fèi)滿1000元可參加抽獎(jiǎng)”的活動(dòng)，獎(jiǎng)品為若干個(gè)大運(yùn)會(huì)吉祥物“蓉寶”．抽獎(jiǎng)結(jié)果分為五個(gè)等級(jí)，等級(jí)與獲得“蓉寶”的個(gè)數(shù)的關(guān)系式為，已知三等獎(jiǎng)比四等獎(jiǎng)獲得的“蓉寶”多2個(gè)，比五等獎(jiǎng)獲得的“蓉寶”多3個(gè)，且三等獎(jiǎng)獲得的“蓉寶”數(shù)是五等獎(jiǎng)的2倍，則（

）A． B．C． D．二等獎(jiǎng)獲得的“蓉寶”數(shù)為10三、填空題12．（2023·海南·模擬預(yù)測(cè)）新能源汽車是未來(lái)汽車的發(fā)展方向之一，一個(gè)新能源汽車制造廠引進(jìn)了一條新能源汽車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的新能源汽車數(shù)量（輛）與創(chuàng)造的價(jià)值（萬(wàn)元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系.已知產(chǎn)量為時(shí)，創(chuàng)造的價(jià)值也為；當(dāng)產(chǎn)量為輛時(shí)，創(chuàng)造的價(jià)值達(dá)到最大，為萬(wàn)元.若這家工廠希望利用這條流水線創(chuàng)收達(dá)到萬(wàn)元，則它應(yīng)該生產(chǎn)的新能源汽車數(shù)量是.13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）藥物的半衰期指的是血液中藥物濃度降低到一半所需時(shí)間．在特定劑量范圍內(nèi)，（單位，h）內(nèi)藥物在血液中濃度由（單位，）降低到（單位，），則藥物的半衰期．已知某時(shí)刻測(cè)得藥物甲、乙在血液中濃度分別為和，經(jīng)過一段時(shí)間后再次測(cè)得兩種藥物在血液中濃度都為，設(shè)藥物甲、乙的半衰期分別為，，則．14．（2023·上海崇明·二模）在一個(gè)十字路口，每次亮綠燈的時(shí)長(zhǎng)為30秒，那么，每次綠燈亮?xí)r，在一條直行道路上能有多少汽車通過？這個(gè)問題涉及車長(zhǎng)、車距、車速、堵塞的干擾等多種因素，不同型號(hào)車的車長(zhǎng)是不同的，駕駛員的習(xí)慣不同也會(huì)使車距、車速不同，行人和非機(jī)動(dòng)車的干擾因素則復(fù)雜且不確定．面對(duì)這些不同和不確定，需要作出假設(shè)．例如小明發(fā)現(xiàn)雖然通過路口的車輛各種各樣，但多數(shù)是小轎車，因此小明給出如下假設(shè)：通過路口的車輛長(zhǎng)度都相等，請(qǐng)寫出一個(gè)你認(rèn)為合理的假設(shè)．四、解答題15．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）某科研團(tuán)隊(duì)在培養(yǎng)基中放入一定量的某種細(xì)菌進(jìn)行研究．經(jīng)過2分鐘菌落的覆蓋面積為48mm2，經(jīng)過3分鐘覆蓋面積為64mm2，后期其蔓延速度越來(lái)越快；菌落的覆蓋面積y（單位：mm2）與經(jīng)過時(shí)間x（單位：min）的關(guān)系現(xiàn)有三個(gè)函數(shù)模型：①y＝kax（k＞0，a＞1）；②y＝logbx（b＞1）；③y＝p＋q（p＞0）可供選擇．（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg3≈0.477）(1)選出你認(rèn)為符合實(shí)際的函數(shù)模型，說明理由，并求出該模型的解析式．(2)在理想狀態(tài)下，至少經(jīng)過多少分鐘培養(yǎng)基中菌落的覆蓋面積能超過300mm2？（結(jié)果保留到整數(shù)）16．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）為了節(jié)能環(huán)保、節(jié)約材料，定義建筑物的“體形系數(shù)”，其中為建筑物暴露在空氣中的面積（單位：平方米），為建筑物的體積（單位：立方米）．(1)若有一個(gè)圓柱體建筑的底面半徑為，高度為，暴露在空氣中的部分為上底面和側(cè)面，試求該建筑體的“體形系數(shù)”；（結(jié)果用含、的代數(shù)式表示）(2)定義建筑物的“形狀因子”為，其中為建筑物底面面積，為建筑物底面周長(zhǎng)，又定義為總建筑面積，即為每層建筑面積之和（每層建筑面積為每一層的底面面積）．設(shè)為某宿舍樓的層數(shù)，層高為3米，則可以推導(dǎo)出該宿舍樓的“體形系數(shù)”為．當(dāng)，時(shí)，試求當(dāng)該宿舍樓的層數(shù)為多少時(shí)，“體形系數(shù)”最小．17．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）太陽(yáng)能板供電是節(jié)約能源的體現(xiàn)，其中包含電池板和蓄電池兩個(gè)重要組件，太陽(yáng)能板通過電池板將太陽(yáng)能轉(zhuǎn)換為電能，再將電能儲(chǔ)存于蓄電池中．已知在一定條件下，入射光功率密度（E為入射光能量且為入射光入射有效面積），電池板轉(zhuǎn)換效率與入射光功率密度成反比，且比例系數(shù)為k．(1)若平方米，求蓄電池電能儲(chǔ)存量Q與E的關(guān)系式；(2)現(xiàn)有鉛酸蓄電池和鋰離子蓄電池兩種蓄電池可供選擇，且鉛酸蓄電池的放電量，鋰離子蓄電池的放電量．設(shè)，給定不同的Q，請(qǐng)分析并討論為了使得太陽(yáng)能板供電效果更好，應(yīng)該選擇哪種蓄電池？注：①蓄電池電能儲(chǔ)存量；②當(dāng)S，k，Q一定時(shí)，蓄電池的放電量越大，太陽(yáng)能板供電效果越好．18．（2024·四川南充·二模）已知某科技公司的某型號(hào)芯片的各項(xiàng)指標(biāo)經(jīng)過全面檢測(cè)后，分為Ⅰ級(jí)和Ⅱ級(jí)，兩種品級(jí)芯片的某項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示：若只利用該指標(biāo)制定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值K，按規(guī)定須將該指標(biāo)大于K的產(chǎn)品應(yīng)用于A型手機(jī)，小于或等于K的產(chǎn)品應(yīng)用于B型手機(jī)．若將Ⅰ級(jí)品中該指標(biāo)小于或等于臨界值K的芯片錯(cuò)誤應(yīng)用于A型手機(jī)會(huì)導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失800元；若將Ⅱ級(jí)品中該指標(biāo)大于臨界值K的芯片錯(cuò)誤應(yīng)用于B型手機(jī)會(huì)導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失400元；假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)設(shè)臨界值時(shí)，將2個(gè)不作該指標(biāo)檢測(cè)的Ⅰ級(jí)品芯片直接應(yīng)用于A型手機(jī)，求芯片生產(chǎn)商的損失（單位：元）的分布列及期望；(2)設(shè)且，現(xiàn)有足夠多的芯片Ⅰ級(jí)品、Ⅱ級(jí)品，分別應(yīng)用于A型手機(jī)、B型手機(jī)各1萬(wàn)部的生產(chǎn)：方案一：將芯片不作該指標(biāo)檢測(cè)，Ⅰ級(jí)品直接應(yīng)用于A型手機(jī)，Ⅱ級(jí)品直接應(yīng)用于B型手機(jī)；方案二：重新檢測(cè)該芯片Ⅰ級(jí)品，Ⅱ級(jí)品的該項(xiàng)指標(biāo)，并按規(guī)定正確應(yīng)用于手機(jī)型號(hào)，會(huì)避免方案一的損失費(fèi)用，但檢測(cè)費(fèi)用共需要130萬(wàn)元；請(qǐng)求出按方案一，芯片生產(chǎn)商損失費(fèi)用的估計(jì)值（單位：萬(wàn)元）的表達(dá)式，并從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，選擇合理的方案．19．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）將連續(xù)正整數(shù)1，2，，從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)，為這個(gè)數(shù)的位數(shù)如當(dāng)時(shí)，此數(shù)為123456789101112，共有15個(gè)數(shù)字，，現(xiàn)從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，為恰好取到0的概率.(1)求(2)當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式.(3)令為這個(gè)數(shù)中數(shù)字0的個(gè)數(shù)，為這個(gè)數(shù)中數(shù)字9的個(gè)數(shù)，，，求當(dāng)時(shí)的最大值.拓展沖刺練一、單選題1．（2023·浙江·二模）紹興某鄉(xiāng)村要修建一條100米長(zhǎng)的水渠，水渠的過水橫斷面為底角為120°的等腰梯形（如圖）水渠底面與側(cè)面的修建造價(jià)均為每平方米100元，為了提高水渠的過水率，要使過水橫斷面的面積盡可能大，現(xiàn)有資金3萬(wàn)元，當(dāng)過水橫斷面面積最大時(shí)，水果的深度（即梯形的高）約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．0.58米 B．0.87米 C．1.17米 D．1.73米2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國(guó)自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)．已知衛(wèi)星運(yùn)行軌道近似為以地球?yàn)閳A心的圓形，運(yùn)行周期與軌道半徑之間關(guān)系為（K為常數(shù)）．已知甲、乙兩顆衛(wèi)星的運(yùn)行軌道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的8倍，且甲的運(yùn)行軌道半徑為，分別是甲、乙兩顆衛(wèi)星的運(yùn)行軌道上的動(dòng)點(diǎn)，則之間距離的最大值為（

）A． B．C． D．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）藥物的半衰期指的是血液中藥物濃度降低一半所需要的時(shí)間，在特定劑量范圍內(nèi)，藥物的半衰期，其中是藥物的消除速度常數(shù)，不同藥物的消除速度常數(shù)一般不同，若內(nèi)藥物在血液中濃度由降低到，則該藥物的消除速度常數(shù)．已知某藥物半衰期為，首次服用后血藥濃度為，當(dāng)血藥濃度衰減到時(shí)需要再次給藥，則第二次給藥與首次給藥時(shí)間間隔約為（

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·湖北·階段練習(xí)）已知把物體放在空氣中冷卻時(shí)，若物體原來(lái)的溫度是，空氣的溫度是，則后物體的溫度滿足公式（其中是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù)）.某天小明同學(xué)將溫度是的牛奶放在空氣中，冷卻后牛奶的溫度是，則下列說法正確的是（

）A．B．C．牛奶的溫度降至還需D．牛奶的溫度降至還需5．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）某軍區(qū)紅、藍(lán)兩方進(jìn)行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時(shí)間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實(shí)數(shù)，分別為紅、藍(lán)兩方的初始兵力，為戰(zhàn)斗時(shí)間；，分別為紅、藍(lán)兩方時(shí)刻的兵力；正實(shí)數(shù)，分別為紅方對(duì)藍(lán)方、藍(lán)方對(duì)紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；和分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)．規(guī)定：當(dāng)紅、藍(lán)兩方任何一方兵力為0時(shí)戰(zhàn)斗演習(xí)結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為．則下列結(jié)論不正確的是（

）A．若且，則B．若且，則C．若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利D．若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利二、多選題6．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）吸光度是指物體在一定波長(zhǎng)范圍內(nèi)透過光子的能量占收到光能量的比例.透光率是指光子通過物體的能量占發(fā)出光能量的比例.在實(shí)際應(yīng)用中，通常用吸光度和透光率來(lái)衡量物體的透光性能，它們之間的換算公式為，如表為不同玻璃材料的透光率：玻璃材料材料1材料2材料30.60.70.8設(shè)材料1?材料2?材料3的吸光度分別為，則（

）A． B．C． D．7．（22-23高三上·重慶萬(wàn)州·階段練習(xí)）某摩天輪共有32個(gè)乘坐艙，按旋轉(zhuǎn)順序依次為1~33號(hào)（因忌諱，沒有13號(hào)），并且每相鄰兩個(gè)乘坐艙