考點(diǎn)34數(shù)列的概念（3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）【考試提醒】1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類(lèi)特殊函數(shù)．【知識(shí)點(diǎn)】1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的__________通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和把數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱(chēng)為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記作Sn，即Sn＝____________2.數(shù)列的分類(lèi)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)______無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)______項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1an常數(shù)列an＋1＝an擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是，記為an＝f(n)．常用結(jié)論1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))2．在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2，n∈N*)；若an最小，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2，n∈N*)．【核心題型】題型一由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式Sn與an的關(guān)系問(wèn)題的求解思路(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．【例題1】（2023·四川·三模）已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【變式1】（2024·江蘇南通·三模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．65 B．127 C．129 D．255【變式2】（23-24高三上·上海徐匯·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，．若是等差數(shù)列，則的通項(xiàng)公式為．【變式3】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列前n項(xiàng)的積為，數(shù)列滿足，（，）．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)將數(shù)列，中的公共項(xiàng)從小到大排列構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．題型二由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式(1)形如an＋1－an＝f(n)的數(shù)列，利用累加法．(2)形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)的數(shù)列，利用an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(n≥2)即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．命題點(diǎn)1累加法【例題2】（2024·河北保定·三模）設(shè)是公差為3的等差數(shù)列，且，若，則（

）A．21 B．25 C．27 D．31【變式1】（2024·河南·三模）已知函數(shù)滿足：，且，，則的最小值是（

）A．135 B．395 C．855 D．990【變式2】（2024·北京西城·一模）在數(shù)列中，.數(shù)列滿足.若是公差為1的等差數(shù)列，則的通項(xiàng)公式為，的最小值為.【變式3】（2024·廣東江門(mén)·二模）已知是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求；(3)[x]表示不超過(guò)的最大整數(shù)，當(dāng)時(shí)，是定值，求正整數(shù)的最小值．命題點(diǎn)2累乘法【例題3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，其中，則（

）A． B． C． D．【變式1】（2023·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前18項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【變式2】（2022·山西太原·二模）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式.【變式3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．題型三數(shù)列的性質(zhì)(1)解決數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題的方法用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號(hào)判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列．(2)解決數(shù)列周期性問(wèn)題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值命題點(diǎn)1數(shù)列的單調(diào)性【例題4】（2024·江西·二模）已知數(shù)列的首項(xiàng)為常數(shù)且，，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式1】（2024·廣東深圳·二模）已知n為正整數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和記為，滿足，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則公差的取值范圍為.【變式3】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知是曲線上的點(diǎn)，，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足，(1)求；(2)確定的取值集合，使時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；(3)證明：當(dāng)時(shí)，弦的斜率隨n單調(diào)遞減．命題點(diǎn)2數(shù)列的周期性【例題5】（2024·陜西榆林·三模）現(xiàn)有甲乙丙丁戊五位同學(xué)進(jìn)行循環(huán)報(bào)數(shù)游戲，從甲開(kāi)始依次進(jìn)行，當(dāng)甲報(bào)出1，乙報(bào)出2后，之后每個(gè)人報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)數(shù)的乘積的個(gè)位數(shù)字，則第2024個(gè)被報(bào)出的數(shù)應(yīng)該為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【變式1】（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知數(shù)列中，，則（

）A． B． C．1 D．2【變式2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，，則．【變式3】（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，，．(1)證明：數(shù)列為常數(shù)列；(2)求數(shù)列的前2024項(xiàng)和．命題點(diǎn)3數(shù)列的最值【例題6】（2024·山東濟(jì)南·二模）已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，前項(xiàng)和為，若，當(dāng)取最大值時(shí)，的最大值為（

）A．63 B．64 C．71 D．72【變式1】（2024·天津·二模）已知數(shù)列為不單調(diào)的等比數(shù)列，，數(shù)列滿足，則數(shù)列的最大項(xiàng)為（

）．A． B． C． D．【變式2】（2023·上海普陀·一模）若數(shù)列滿足，（，），則的最小值是.【變式3】（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知，求使取得最大項(xiàng)時(shí)的值．（參考值：）【課后強(qiáng)化】【基礎(chǔ)保分練】一、單選題1．（2024·天津北辰·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列滿足，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·湖北·階段練習(xí)）定義：在數(shù)列中，，其中d為常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列為“等比差”數(shù)列.已知“等比差”數(shù)列中，，，則（

）A．1763 B．1935 C．2125 D．23033．（2024·河北唐山·二模）已知數(shù)列滿足，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2024·遼寧大連·一模）數(shù)列中，，若數(shù)列是等差數(shù)列，則最大項(xiàng)為（

）A． B．或 C． D．二、多選題5．（2024·浙江紹興·二模）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，，則（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則 D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則6．（2024·福建泉州·一模）已知數(shù)列滿足，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減三、填空題7．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列，滿足，則數(shù)列的前2024項(xiàng)的和為．9．（2024·四川瀘州·三模）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則.四、解答題10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求．(2)若，則當(dāng)取最小值時(shí)，求的值．11．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意，有(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前100項(xiàng)的和.【綜合提升練】一、單選題1．（2024·安徽·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足,則（

）A．272 B．152 C．68 D．382．（2024·河南·三模）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．4 B．8 C． D．3．（2024·安徽阜陽(yáng)·一模）已知數(shù)列滿足，則“為遞增數(shù)列”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，若是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，則（

）A．2023 B．2024 C．4045 D．40476．（2024·山西·三模）已知數(shù)列對(duì)任意均有.若，則（

）A．530 B．531 C．578 D．5797．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．190 B．210 C．380 D．4208．（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，對(duì)任意滿足，定義：行列式且行列式為定值，則下列選項(xiàng)中不可能的是（

）A．， B．，C．， D．，二、多選題9．（23-24高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）數(shù)列滿足，且對(duì)任意的都有，則（

）A． B．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為 D．?dāng)?shù)列的第項(xiàng)為10．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，為的前n項(xiàng)和，則（

）A．若，則B．若，則C．存在實(shí)數(shù)m，使為無(wú)窮多項(xiàng)的常數(shù)列D．存在常數(shù)m，，使，，成等差數(shù)列11．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列，，記，，若且則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列中的最大項(xiàng)為C． D．三、填空題12．（2024·四川廣安·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則.13．（2023·河南新鄉(xiāng)·二模）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，，若是唯一的最大項(xiàng)，則k的取值范圍為．14．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則取最大值時(shí)，的值為．四、解答題15．（2024·河南·三模）已知數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且其前項(xiàng)和.(1)證明：是等差數(shù)列，并求；(2)如果，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．（2024·遼寧丹東·二模）已知數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，求．17．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，．(1)記，證明：為等比數(shù)列；(2)記為的前項(xiàng)和，若是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且.(1)證明：為等差數(shù)列；(2)對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，．(1)若，證明：；(2)若，證明：當(dāng)取得最大值時(shí)，．【拓展沖刺練】一、單選題1．（2024·陜西咸陽(yáng)·三模）在數(shù)列中，，，則（

）A．43 B．46 C．37 D．362．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和．若，且，則（

）A．7 B．15 C．8 D．163．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，數(shù)列中，，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（

）A．3 B．4 C．5 D．64．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前40項(xiàng)和（

）A． B． C． D．二、多選題5．（23-24高二上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足（m為正整數(shù)），，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則B．若，則m所有可能取值的集合為C．若，則D．若，k為正整數(shù)，則的前k項(xiàng)和為6．（2024·海南?？凇ざ＃┮阎獮檎?xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（

）A． B．C． D．三、填空題7．（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）有窮數(shù)列