試題試題廣州協(xié)和學(xué)校2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試初三年級數(shù)學(xué)科試題說明：本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分為120分，考試時間為120分鐘．第一部分選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10小題，共30分，在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.下列圖案，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.已知1為關(guān)于一元二次方程的根，則值為（）A.2 B.3 C.4 D.53.在同一平面內(nèi)，已知的半徑為，，則點P與的位置關(guān)系是（）A.點P在外 B.點P在上C.點P在內(nèi) D.無法確定4.要得到拋物線，可以將拋物線（）A.向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度B.向左平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度C.向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度D.向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度5.如圖，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，則∠BOD=【】A20° B.40° C.50° D.80°6.用配方法解方程，變形后結(jié)果正確的是（）A. B. C. D.7.如圖，在中，，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，點D恰好落在的延長線上，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)（）A. B. C. D.8.若為二次函數(shù)的圖象上的三點，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.9.如圖，在平面直角坐標系中，△ABC繞旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A′B′C′，則其旋轉(zhuǎn)中心的坐標是()A.(1.5，1.5) B.(1，0) C.(1，－1) D.(1.5，－0.5)10.關(guān)于x的一元二次方程在范圍內(nèi)有且只有一個根，則m的取值范圍為（）A. B.或C.或 D.或第二部分非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共6小題，共18分）11.點關(guān)于原點對稱的點的坐標是________．12.某藥品原價每盒25元，為了響應(yīng)國家解決老百姓看病貴的號召，經(jīng)過連續(xù)兩次降價，現(xiàn)在售價每盒16元，設(shè)該藥品平均每次降價的百分率的x，則列方程__________13.飛機著陸后滑行的距離（單位：）關(guān)于滑行時間（單位：）的函數(shù)解析式是．在飛機著陸滑行中，飛機從開始滑行到停止所需時間為______秒．14.如圖，AB為直徑，弦于點H，若，，則OH的長度為__．15.等腰三角形的一邊為9，另兩邊恰好是關(guān)于的一元二次方程的兩根，則的值是__________．16.如圖，拋物線與y軸交于點A，與x軸交于點B，線段在拋物線的對稱軸上移動（點C在點D下方），且．當?shù)闹底钚r，點C的坐標為_____________．

三、解答題（本大題共9小題，共72分）17.解方程：（1）；（2）18.已知：如圖，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，點E對應(yīng)點C恰在的延長線上，若．求證：為等邊三角形．19.已知拋物線經(jīng)過點和點．（1）求拋物線解析式；（2）拋物線與軸的交點是，；求的面積．20.如圖所示的平面直角坐標系與網(wǎng)格紙，其中網(wǎng)格紙每一格小正方形的邊長都是坐標系的1單位長度，的頂點坐標為．（1）畫出關(guān)于原點成中心對稱的圖形；（2）畫出繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后的；（3）直接寫出點的坐標為______；點的坐標為______．21.已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：無論k取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程有兩個實數(shù)根，且，求k的值．22.如圖，是的直徑，點，是上的點，且，分別與，相交于點，．（1）求證：點為弧的中點；（2）若，，求的直徑．23.如圖，用一塊長為50cm、寬為30cm的長方形鐵片制作一個無蓋的盒子，若在鐵片的四個角截去四個相同的小正方形，設(shè)小正方形的邊長為xcm．（1）底面的長AB＝cm，寬BC＝cm（用含x的代數(shù)式表示）（2）當做成盒子的底面積為300cm2時，求該盒子的容積．（3）該盒子的側(cè)面積S是否存在最大的情況？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，說明理由．24.如圖，已知拋物線的頂點為，且通過點．（1）求頂點的坐標；（2）點為直線上方拋物線上一動點，求面積最大值；（3）在拋物線上存在一點，使得，求點坐標．25.在中，，．（1）如圖1，點在邊上，且．求的值；（2）如圖2，點在的外部，且．求證：；（3）若是平面內(nèi)一點，且，，請直接寫出的值為______．廣州協(xié)和學(xué)校2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試初三年級數(shù)學(xué)科試題說明：本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分為120分，考試時間為120分鐘．第一部分選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10小題，共30分，在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.下列圖案，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念是解題關(guān)鍵．軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的概念：把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：A、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；B、該圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，符合題意；C、該圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意；D、該圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意．故選：B．2.已知1為關(guān)于的一元二次方程的根，則值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，將代入方程可得，解一元一次方程即可得解．【詳解】解：∵1為關(guān)于的一元二次方程的根，∴，∴，故選：A．3.在同一平面內(nèi)，已知的半徑為，，則點P與的位置關(guān)系是（）A.點P外 B.點P在上C.點P在內(nèi) D.無法確定【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點到圓心的距離即可得出答案.【詳解】解：∵，根據(jù)點到圓心的距離大于圓的半徑，則該點在圓外．故選：A．【點睛】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系：當點到圓心距離小于半徑時，點在圓內(nèi)；當點到圓心距離等于半徑時，點在圓上；當點到圓心距離大于半徑時，點在圓外．4.要得到拋物線，可以將拋物線（）A.向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度B.向左平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度C.向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度D.向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度【答案】C【解析】【分析】原拋物線頂點坐標為，平移后拋物線頂點坐標為，由此確定平移規(guī)律．【詳解】解：拋物線的頂點坐標為，拋物線的頂點坐標為，平移的方法可以是向右平移3個單位，再向上平移2個單位．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是將拋物線的平移問題轉(zhuǎn)化為頂點的平移，尋找平移方法．5.如圖，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，則∠BOD=【】A.20° B.40° C.50° D.80°【答案】D【解析】【詳解】∵弦AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又∵∠ABC=40°，∴∠BOD=2∠ABC=2×40°=80°（同圓所對圓周角是圓心角的一半）．故選D．6.用配方法解方程，變形后結(jié)果正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)配方法可直接進行求解．【詳解】解：由方程兩邊同時加上4可得；故選C．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．7.如圖，在中，，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，點D恰好落在的延長線上，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，可算出，就可以算出旋轉(zhuǎn)角．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，是旋轉(zhuǎn)角，，，，故選：D．8.若為二次函數(shù)的圖象上的三點，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式是解題的關(guān)鍵．分別代入到求出、、的值，再比較大小即可得出結(jié)論．【詳解】解：代入到得，，，同理可得：，，，．故選：B．9.如圖，在平面直角坐標系中，△ABC繞旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A′B′C′，則其旋轉(zhuǎn)中心的坐標是()A.(1.5，1.5) B.(1，0) C.(1，－1) D.(1.5，－0.5)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，可知旋轉(zhuǎn)中心一定在任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線上，由圖形可知，線段BB′與AA′的垂直平分線的交點即為所求．【詳解】∵△ABC繞旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A′B′C′，∴A、B的對應(yīng)點分別是A′、B′．又∵線段BB′的垂直平分線為x=1，線段AA′是一個邊長為3的正方形的對角線，其垂直平分線是另一條對角線所在的直線，由圖形可知，線段BB′與AA′的垂直平分線的交點為（1，﹣1）．故選C．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及線段垂直平分線的判定．能夠結(jié)合圖形，找出對應(yīng)點的垂直平分線是解題的關(guān)鍵．10.關(guān)于x的一元二次方程在范圍內(nèi)有且只有一個根，則m的取值范圍為（）A. B.或C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程的解和二次函數(shù)的關(guān)系，根的判別式的意義；分兩種情況：①方程有兩個相等的實數(shù)根，且在的范圍內(nèi)時，可得，求出和，再根據(jù)確定m的范圍，得到此時m的值；②方程有兩個不相等的實數(shù)根，且在的范圍內(nèi)時，根據(jù)一元二次方程的解和二次函數(shù)的關(guān)系得出不等式組，求解即可．【詳解】解：①當一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，且在的范圍內(nèi)時，則，解得：，此時，∴，解得：，∴；②當一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，且在的范圍內(nèi)時，∴或，解不等式組得該不等式組無解；解不等式組得：，綜上，m的取值范圍為：或，故選：D．第二部分非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共6小題，共18分）11.點關(guān)于原點對稱的點的坐標是________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標；根據(jù)關(guān)于原點對稱的兩點的橫縱坐標互為相反數(shù)得出答案．【詳解】解：點關(guān)于原點對稱的點的坐標是，故答案為：．12.某藥品原價每盒25元，為了響應(yīng)國家解決老百姓看病貴的號召，經(jīng)過連續(xù)兩次降價，現(xiàn)在售價每盒16元，設(shè)該藥品平均每次降價的百分率的x，則列方程__________【答案】25×（1-x）2=16【解析】【分析】等量關(guān)系為：原價×（1-降低的百分比）2=降價后的售價，把相關(guān)數(shù)值代入即可．【詳解】解：第一次降價后的價格為25×（1-x），第二次降價后的價格為25×（1-x）×（1-x）=25×（1-x）2，∴列的方程為25×（1-x）2=16，故答案為：25×（1-x）2=16．【點睛】本題考查了一元二次方程中求平均變化率的方法，熟練掌握一元二次方程的運用是解決本題的關(guān)鍵.13.飛機著陸后滑行的距離（單位：）關(guān)于滑行時間（單位：）的函數(shù)解析式是．在飛機著陸滑行中，飛機從開始滑行到停止所需時間為______秒．【答案】【解析】【分析】將函數(shù)解析式是化為頂點式進行分析，即可求解．【詳解】解：∵，∴當時，滑行的距離，此時飛機滑行停止，∴飛機從開始滑行到停止所需時間為，故答案為：．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的頂點式，理解并掌握二次函數(shù)化為頂點式的方法，及頂點式的含義是解題的關(guān)鍵．14.如圖，AB為的直徑，弦于點H，若，，則OH的長度為__．【答案】3【解析】【分析】連接OC，由垂徑定理可求出CH的長度，在Rt△OCH中，根據(jù)CH和⊙O的半徑，即可由勾股定理求出OH的長．【詳解】連接OC，Rt△OCH中，OC=AB=5，CH=CD=4；由勾股定理，得：OH=；

即線段OH的長為3．故答案為：3．【點睛】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ恚?5.等腰三角形的一邊為9，另兩邊恰好是關(guān)于的一元二次方程的兩根，則的值是__________．【答案】10【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，根據(jù)題意可得或，進而求解即可．【詳解】解：設(shè)的兩個根分別為，∴，，∵等腰三角形的一邊長為9，另兩邊的長是關(guān)于x的方程的兩根，∴或，當時，三邊為9，9，1，滿足三角形的三邊關(guān)系，此時；當時，三邊為9，3，3，不滿足三角形的三邊關(guān)系，舍去；∴，故答案為：10．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．16.如圖，拋物線與y軸交于點A，與x軸交于點B，線段在拋物線的對稱軸上移動（點C在點D下方），且．當?shù)闹底钚r，點C的坐標為_____________．

【答案】【解析】【分析】在y軸上取點，證明四邊形是平行四邊形，得出，利用拋物線的對稱性得出，則，當E、C、F三點共線時，最小，利用待定系數(shù)法求出直線解析式，然后把代入，即可求出C的坐標．【詳解】解：，∴對稱軸為，如圖，設(shè)拋物線與x軸另一個交點為F，

當時，，∴，當時，，解得，，∴，，在y軸上取點，連接，，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵拋物線對稱軸為，∴，∴，當E、C、F三點共線時，最小，設(shè)直線解析式為，∴，解得，∴，當時，，∴當最小時，C的坐標為，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩點之間線段最短等知識，明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共9小題，共72分）17.解方程：（1）；（2）【答案】（1），（2），【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）移項，利用直接開方法解一元二次方程即可；（2）移項，利用因式分解法解一元二次方程即可．【小問1詳解】或，；【小問2詳解】或，．18.已知：如圖，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，點E對應(yīng)點C恰在的延長線上，若．求證：為等邊三角形．【答案】證明見解析【解析】【分析】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得出，．再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出，從而得出，最后根據(jù)等角對等邊可推出，即為等邊三角形．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，．∵，∴，∴，即，∴，∴，∴為等邊三角形．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，等邊三角形的判定．熟練掌握旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解題關(guān)鍵．19.已知拋物線經(jīng)過點和點．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線與軸的交點是，；求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與圖形面積綜合．（1）利用待定系數(shù)法求出解析式即可；（2）首先求出，，得到，，然后代入面積公式計算即可．【小問1詳解】解：把點和點代入得解得，所以拋物線的解析式為：．【小問2詳解】把代入，得，解得，，點在點的左邊，點，點．連接、，由題意得，，．20.如圖所示的平面直角坐標系與網(wǎng)格紙，其中網(wǎng)格紙每一格小正方形的邊長都是坐標系的1單位長度，的頂點坐標為．（1）畫出關(guān)于原點成中心對稱的圖形；（2）畫出繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后的；（3）直接寫出點的坐標為______；點的坐標為______．【答案】（1）見解析（2）見解析（3），【解析】【分析】本題考查了坐標與圖形、圖形平移、旋轉(zhuǎn)作圖：（1）根據(jù)中心對稱圖形的作法作圖即可．（2）先把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后的點的坐標找出來，再連接即可作答．（3）根據(jù)圖形，直接讀取，即可作答．【小問1詳解】解：如圖所示：即為所求；【小問2詳解】解：如圖所示：即為所求；【小問3詳解】解：由圖可知：點的坐標為；點的坐標為，故答案為：，．21.已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：無論k取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程有兩個實數(shù)根，且，求k的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用根的判別式判斷即可；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系式得到，代入計算即可．【小問1詳解】證明：∵∴無論k取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；【小問2詳解】解：由根與系數(shù)的關(guān)系得出：，由得：解得：．【點睛】此題考查了一元二次方程的根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，正確掌握根的判別式的三種情況及根與系數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．22.如圖，是的直徑，點，是上的點，且，分別與，相交于點，．（1）求證：點為弧的中點；（2）若，，求的直徑．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】本題考查圓周角定理，垂徑定理，平行線的性質(zhì)，勾股定理：（1）根據(jù)直徑所對圓周角是直角可得，由平行線的性質(zhì)可得，從而可得，然后利用垂徑定理即可解答；（2）利用垂徑定理可得，然后在中，利用勾股定理進行計算即可解答．【小問1詳解】證明：∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴點為的中點；【小問2詳解】解：∵，，，∴，在中，，∴，∴，∴，∴的直徑為．23.如圖，用一塊長為50cm、寬為30cm的長方形鐵片制作一個無蓋的盒子，若在鐵片的四個角截去四個相同的小正方形，設(shè)小正方形的邊長為xcm．（1）底面的長AB＝cm，寬BC＝cm（用含x的代數(shù)式表示）（2）當做成盒子的底面積為300cm2時，求該盒子的容積．（3）該盒子的側(cè)面積S是否存在最大的情況？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，說明理由．【答案】（1）50﹣2x，30﹣2x；（2）當x1＝10時，盒子容積為3000cm3；（3）當x＝10時，S有最大值，最大值為800．【解析】【分析】（1）利用長方形的長與寬以及在鐵片的四個角截去四個相同的小正方形，得出AB與BC的長即可；（2）利用（1）中長與寬以及盒子的底面積為300cm2時得出x的值，即可的求出盒子的容積；（3）利用盒子側(cè)面積為：S=2x（50-2x）+2x（30-2x）進而利用配方法求出最值即可．【詳解】（1）∵用一塊長為50cm、寬為30cm的長方形鐵片制作一個無蓋的盒子，在鐵片的四個角截去四個相同的小正方形，設(shè)小正方形的邊長為xcm，∴底面的長AB＝（50﹣2x）cm，寬BC＝（30﹣2x）cm，故答案為50﹣2x，30﹣2x；（2）依題意，得：（50﹣2x）（30﹣2x）＝300整理，得：x2﹣40x+300＝0解得：x1＝10，x2＝30（不符合題意，舍去）當x1＝10時，盒子容積＝（50﹣20）（30﹣20）×10＝3000（cm3）；（3）盒子的側(cè)面積為：S＝2x（50﹣2x）+2x（30﹣2x）＝100x﹣4x2+60x﹣4x2＝﹣8x2+160x＝﹣8（x2﹣20x）＝﹣8[（x﹣10）2﹣100]＝﹣8（x﹣10）2+800∵﹣8（x﹣10）2≤0，∴﹣8（x﹣10）2+800≤800，∴當x＝10時，S有最大值，最大值為800．【點睛】此題主要考查了一元二次方程應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用，想象出立體圖形的形狀進而表示出側(cè)面積是解題關(guān)鍵．24.如圖，已知拋物線的頂點為，且通過點．（1）求頂點的坐標；（2）點為直線上方拋物線上一動點，求面積的最大值；（3）在拋物線上存在一點，使得，求點坐標．【答案】（1）（2）面積的最大值為（3）或【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求解解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，頂點式的運用，學(xué)會數(shù)形結(jié)合的解題方法，即可．（1）把點代入拋物線，即可；（2）設(shè)直線的解析式為：，求出解析式；當直線向上平移，與拋物線僅一個交點時，面積有最大值，且平移的解析式為，求出點的坐標，再根據(jù)，即可．（3）過點作交于點，過點作軸，分別過點，作于點，于點；得到，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，則，求出，，得到點的坐標，設(shè)直線的解析式為：，求出解析式，聯(lián)立拋物線，延長交于點，過點作交于點，且軸，同理得到，求出，，得到點的坐標，設(shè)直線的解析