高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI第一節(jié)基本立體圖形及空間幾何體的

表面積和體積第八章2026內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征,能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式,能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.3.能用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)單組合體)的直觀圖.強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略知識(shí)梳理1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征圍成多面體的每一個(gè)面都是平面圖形,沒有曲面

名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形名稱棱柱棱錐棱臺(tái)底面互相

且

多邊形互相

側(cè)棱

相交于

但不一定相等

延長線交于

側(cè)面形狀

平行

全等平行

平行且相等一點(diǎn)一點(diǎn)平行四邊形三角形梯形微思考有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎?提示

不一定.如圖.(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

旋轉(zhuǎn)體一定有旋轉(zhuǎn)軸

名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線平行、相等且

于底面

相交于

延長線交于

—軸截面全等的_______

全等的

全等的

側(cè)面展開圖矩形

扇形扇環(huán)—垂直

一點(diǎn)一點(diǎn)矩形等腰三角形等腰梯形圓微點(diǎn)撥1.旋轉(zhuǎn)體要抓住“旋轉(zhuǎn)”這一特點(diǎn),弄清底面、側(cè)面及展開圖的形狀.2.臺(tái)體可以看成是由錐體截得的,但一定要知道截面與底面平行.2.空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫法來畫,其規(guī)則是:

九十度、畫一半,橫不變,縱減半,平行關(guān)系不改變,畫出圖形更直觀

(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時(shí),把它們畫成對(duì)應(yīng)的x'軸與y'軸,兩軸相交于點(diǎn)O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它們確定的平面表示水平面.(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于x'軸或y'軸的線段.(3)已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長度不變,平行于y軸的線段,在直觀圖中長度為原來的一半.3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

名稱圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=

S圓錐側(cè)=

S圓臺(tái)側(cè)=

微點(diǎn)撥一些幾何體表面上的最短距離問題,常常利用幾何體的展開圖解決.2πrlπrl

π(r1+r2)l4.柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積

幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S側(cè)+2S底V=

錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側(cè)+S底V=

臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積=S側(cè)+S上+S下V=球S=

V=

S底h4πR2微點(diǎn)撥

求幾何體的體積時(shí),要注意利用分割、補(bǔ)形與等積法.微思考柱體、錐體、臺(tái)體體積之間有什么關(guān)系?提示

常用結(jié)論1.球的截面的性質(zhì)(1)球的截面是圓面,且球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截面;(2)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系為2.與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論(1)一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.(2)底面面積及高都相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等.對(duì)點(diǎn)演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(

)(2)用兩平行平面截圓柱,夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱.(

)(3)菱形的直觀圖仍是菱形.(

)×××2.

如圖,一個(gè)正六棱柱的茶葉盒,底面邊長為10cm,高為20cm,則這個(gè)茶葉盒的表面積約為

cm2.(精確到0.1,≈1.732)

答案

1719.6解析邊長為10

cm的正六邊形的面積為

3.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截,截去一個(gè)底面邊長為2,高為3的正四棱錐,所得棱臺(tái)的體積為

.

答案

28解析如圖所示,在正四棱錐P-ABCD中,平面A'B'C'D'∥平面ABCD.點(diǎn)O',O分別為正四棱臺(tái)ABCD-A'B'C'D'上、下底面的中心,O'H'⊥A'B',OH⊥AB,點(diǎn)H',H為垂足.由題意,得AB=4,A'B'=2,PO'=3.增素能精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一基本立體圖形(多考向探究)考向1.結(jié)構(gòu)特征典例突破例1.(1)(多選)下列說法正確的是(

)A.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C.棱錐的各側(cè)棱相交于一點(diǎn),但不一定相等D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是圓錐的母線(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,C1D1的中點(diǎn).以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有

個(gè)公共點(diǎn).

答案

(1)CD

(2)12

解析

(1)A錯(cuò)誤,如圖1是由兩個(gè)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體,它的各個(gè)面都是三角形,但它不是三棱錐;B錯(cuò)誤,如圖2,若△ABC不是直角三角形,或△ABC是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在的直線,所得的幾何體都不是圓錐;C正確,因?yàn)槔忮F是一個(gè)底面為多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,所以棱錐的各側(cè)棱相交于一點(diǎn),但各側(cè)棱不一定相等;由母線的概念知,選項(xiàng)D正確.故選CD.(2)

設(shè)EF的中點(diǎn)為O,則球O的直徑為EF.因?yàn)镺點(diǎn)也是正方體ABCD-A1B1C1D1的中心,所以O(shè)點(diǎn)到各棱的距離均等于OE,故以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有12個(gè)公共點(diǎn).方法總結(jié)辨別空間幾何體的兩種方法

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(多選)下列說法中正確的是(

)A.棱柱的側(cè)棱都相等,側(cè)面都是全等的平行四邊形B.在四棱柱中,若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱C.存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體D.棱臺(tái)的上、下底面可以不相似,但側(cè)棱長一定相等(2)(多選)一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上,過球心作一截面,如圖所示,則截面的圖形可能是(

)答案

(1)BC

(2)ACD

解析

(1)根據(jù)棱柱的定義,棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形,但不一定全等,故A錯(cuò)誤;因?yàn)閮蓚€(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱,又垂直于底面,故B正確;如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC,四個(gè)面都是直角三角形,故C正確;棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形,各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn),但是側(cè)棱長不一定相等,故D錯(cuò)誤.(2)當(dāng)截面平行于正方體的一個(gè)側(cè)面時(shí)得C;當(dāng)截面過正方體的體對(duì)角線時(shí)可得D;當(dāng)截面既不過體對(duì)角線又不與任一側(cè)面平行時(shí),可得A;但無論如何都不能截得B.故選ACD.考向2.直觀圖典例突破例2.如圖所示,一個(gè)水平放置的四邊形OABC的斜二測(cè)畫法的直觀圖是邊長為2的正方形O'A'B'C',則原四邊形OABC的面積是(

)答案

B

突破技巧按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖,其面積與原圖形的面積的關(guān)系:S直觀圖=S原圖形.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2已知一個(gè)直三棱柱的高為2,如圖,其底面△ABC水平放置的直觀圖(斜二測(cè)畫法)為△A'B'C',其中O'A'=O'B'=O'C'=1,則此三棱柱的表面積為(

)答案

C考向3.展開圖典例突破答案

C

解析

由題意,將平面DCC1D1展開到矩形ACC1A1所在平面,結(jié)合展開圖可知當(dāng)A,M,D1三點(diǎn)共線時(shí),MD1+MA取得最小值,最小值為展開圖中D1A的長度.名師點(diǎn)析多面體表面展開圖可以有不同的形狀,應(yīng)多實(shí)踐,觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系,一定先觀察立體圖形的每一個(gè)面的形狀,借助展開圖,培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3下圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖,若兩個(gè)半圓的半徑分別是1和2,則該圓臺(tái)的體積是(

)答案

B解析

如圖,設(shè)上底面的半徑為r,下底面的半徑為R,高為h,母線長為l,則

考點(diǎn)二空間幾何體的表面積與體積典例突破例4.(1)(多選)已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,AB為底面直徑,∠APB=120°,PA=2,點(diǎn)C在底面圓周上,且二面角P-AC-O為45°,則(

)A.該圓錐的體積為π(3)在正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=,則該棱臺(tái)的體積為

.

(2)(2024天津,9)一個(gè)五面體ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF,且兩兩之間的距離為1,并已知AD=1,BE=2,CF=3,則該五面體的體積為(

)PD,OD,則PD⊥AC,OD⊥AC,所以∠PDO即為二面角P-AC-O的平面角,所以∠PDO=45°.因?yàn)镺D?平面AOC,PO⊥平面AOC,所以PO⊥OD,所以△PDO為等腰直角故選AC.(2)如圖,用一個(gè)和五面體ABC-DEF完全相同的五面體HIJ-LMN與五面體ABC-DEF拼在一起,其中頂點(diǎn)L,M,N分別與頂點(diǎn)D,E,F重合.由題意可知,拼成的組合體是一個(gè)三棱柱.該三棱柱的直截面(與側(cè)棱垂直的截面)是邊長為1的等邊(3)

如圖,正四棱臺(tái)中四邊形AA1C1C為等腰梯形.連接AC,A1C1,過點(diǎn)A1作A1G⊥AC,交AC于點(diǎn)G,則A1G為棱臺(tái)的高.方法總結(jié)求空間幾何體的體積的三種方法

(2)(2024廣東廣州模擬)陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一,也稱陀羅,圖1是一種木陀螺,可近似地看作是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體,其直觀圖如圖2所示,其中A是圓錐的頂點(diǎn),B,C分別是圓柱的上、下底面圓的圓心,且AB=1,AC=3,底面圓的半徑為1,則該陀螺的表面積是

.

圖1圖2(2)因?yàn)橥勇莸牡酌鎴A的半徑為r=1,由AB=1,AC=3,則BC=2,即圓柱的母線長為l'=2,考點(diǎn)三與球有關(guān)的切、接問題(模型)(多考向探究)考向1.簡(jiǎn)單幾何體的外接球典例突破A.100π

B.128πC.144π

D.192π答案

A

解析

設(shè)外接球的半徑為R,由題意得,上底面所在平面截球所得圓的半徑是3,下底面所在平面截球所得圓的半徑是4,因此球的表面積是S=4πR2=4π·25=100π.故選A.方法總結(jié)處理“相接”問題,要抓住空間幾何體“外接”的特點(diǎn),即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑.若三棱錐P-ABC為鱉臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表