周周測(cè)5三角函數(shù)綜合測(cè)試一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知P(sin40°，－cos140°)為銳角α終邊上的點(diǎn)，則α＝()A．40°B．50°C．70°D．80°答案：B解析：∵P(sin40°，－cos140°)為角α終邊上的點(diǎn)，因而tanα＝eq\f(－cos140°,sin40°)＝eq\f(－cos90°＋50,sin90°－50°)＝eq\f(sin50°,cos50°)＝tan50°，又α為銳角，則α＝50°，故選B.2．若角θ與角φ的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，且θ＝－eq\f(π,3)，則sinφ＝()A．－eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)答案：D解析：∵角θ與角φ的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，因而θ＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，則φ＝2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z，因而sinφ＝eq\f(1,2).3．(2018·湖北黃石調(diào)研)已知向量a＝(1,3)，b＝(sinα，cosα)，且a∥b，則tanα＝()A．3B．－3C.eq\f(1,3)D．－eq\f(1,3)答案：C解析：∵a∥b，∴3sinα＝cosα，則tanα＝eq\f(1,3).故選C.4．(2018·四川遂寧)已知角α的終邊與單位圓x2＋y2＝1相交于點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，y))，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝()A．1B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(1,2)答案：B解析：∵點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，y))在單位圓上，∴y＝±eq\f(\r(3),2)，∴α＝eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z或－eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z.∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(π,3)＋2kπ))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).故選B.5．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示，則f(1)的值為()A．－eq\r(3)B．－1C．1D.eq\r(3)答案：B解析：根據(jù)題中所給圖象可知，函數(shù)f(x)的最小正周期T＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋\f(1,3)))＝2，A＝2，ω＝eq\f(2π,T)＝π，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π×\f(2,3)＋φ))＝－2，又0<φ<π，所以φ＝eq\f(5π,6)，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(5,6)π))，所以f(1)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(5π,6)))＝－1，故選B.6．(2018·洛陽(yáng)一模)將函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的圖象向右平移eq\f(π,4ω)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上為增函數(shù)，則ω的最大值為()A．3B．2C.eq\f(3,2)D.eq\f(5,4)答案：C解析：由題意知，g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4ω)))＋\f(π,4)))＝2sinωx，由對(duì)稱性，得eq\f(π,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))≤eq\f(1,2)×eq\f(2π,ω)，即ω≤eq\f(3,2)，則ω的最大值為eq\f(3,2).7．(2018·陜西西安一模)已知α∈R，sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，則tan2α＝()A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(4,3)答案：C解析：∵sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，∴sin2α＋4sinα·cosα＋4cos2α＝eq\f(5,2).用降冪公式化簡(jiǎn)得4sin2α＝－3cos2α，∴tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝－eq\f(3,4).故選C.8．(2017·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知曲線C1：y＝cosx，C2：y＝sin2x＋eq\f(2π,3)，則下面結(jié)論正確的是()A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2B．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2C．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2D．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2答案：D解析：本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及圖象變換．首先利用誘導(dǎo)公式化異名為同名．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))))，由y＝cosx的圖象得到y(tǒng)＝cos2x的圖象，需將曲線C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)，縱坐標(biāo)不變；由y＝cos2x的圖象得到y(tǒng)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))))的圖象，需將y＝cos2x的圖象上的各點(diǎn)向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位長(zhǎng)度，故選D.9．設(shè)α∈(0，π)，sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，則cos2α的值是()A.eq\f(\r(17),9)B．－eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(\r(17),9)D.eq\f(\r(17),9)或－eq\f(\r(17),9)答案：C解析：∵sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，∴1＋2sinαcosα＝eq\f(1,9)，即2sinαcosα＝－eq\f(8,9).∵α∈(0，π)，∴sinα>0，cosα<0，∴(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝eq\f(17,9)，∴cosα－sinα＝－eq\f(\r(17),3)，∴cos2α＝(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝－eq\f(\r(17),9).10．(2018·河北衡水中學(xué)三調(diào))若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且3cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，則sin2α的值為()A．－eq\f(1,18)B.eq\f(1,18)C．－eq\f(17,18)D.eq\f(17,18)答案：C解析：由3cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，得3(cos2α－sin2α)＝eq\f(\r(2),2)(cosα－sinα)．又∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosα－sinα≠0，∴(cosα＋sinα)＝eq\f(\r(2),6).兩邊平方，得1＋2sinαcosα＝eq\f(1,18)，∴sin2α＝－eq\f(17,18).故選C.11．(2018·湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)4sin80°－eq\f(cos10°,sin10°)＝()A.eq\r(3)B．－eq\r(3)C.eq\r(2)D．2eq\r(2)－3答案：B解析：4sin80°－eq\f(cos10°,sin10°)＝eq\f(4sin80°sin10°－cos10°,sin10°)＝eq\f(2sin20°－cos10°,sin10°)＝eq\f(2sin30°－10°－cos10°,sin10°)＝－eq\r(3).故選B.12．(2018·云南民族中學(xué)一模)已知tanα＝2，則eq\f(2sin2α＋1,cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))的值是()A.eq\f(5,3)B．－eq\f(13,4)C.eq\f(13,5)D.eq\f(13,4)答案：D解析：∵tanα＝2，∴eq\f(2sin2α＋1,cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝eq\f(2sin2α＋sin2α＋cos2α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,2))))＝eq\f(3sin2α＋cos2α,sin2α)＝eq\f(3sin2α＋cos2α,2sinαcosα)＝eq\f(3tan2α＋1,2tanα)＝eq\f(3×22＋1,2×2)＝eq\f(13,4).二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上．13．若2弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是4cm，則這個(gè)圓心角所在的扇形面積是________．答案：4cm2解析：eq\f(l,r)＝|α|?eq\f(4,r)＝2?r＝2，∴S＝eq\f(1,2)lr＝4.14．已知A為三角形的內(nèi)角，sinA＝eq\f(4,5)，則eq\f(5cosA＋2,3tanA－2)＝________.答案：eq\f(5,2)或eq\f(1,6)解析：由A為三角形的內(nèi)角，sinA＝eq\f(4,5)，得cosA＝eq\f(3,5)，tanA＝eq\f(4,3)或cosA＝－eq\f(3,5)，tanA＝－eq\f(4,3)，因而eq\f(5cosA＋2,3tanA－2)＝eq\f(3＋2,4－2)＝eq\f(5,2)或eq\f(5cosA＋2,3tanA－2)＝eq\f(－3＋2,－4－2)＝eq\f(1,6).15．(2018·洛陽(yáng)一模)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(1,4)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2α))＝________.答案：－eq\f(7,8)解析：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(2π,3)＋2α))＝－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))－1＝－eq\f(7,8).16．(2017·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sin2x＋eq\r(3)cosx－eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))的最大值是________．答案：1解析：本題主要考查三角函數(shù)的最值．由題意可得f(x)＝－cos2x＋eq\r(3)cosx＋eq\f(1,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx－\f(\r(3),2)))2＋1.∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴cosx∈[0,1]．∴當(dāng)cosx＝eq\f(\r(3),2)時(shí)，f(x)max＝1.三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)(2018·湖北百所重點(diǎn)校聯(lián)考)設(shè)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，滿足eq\r(6)sinα＋eq\r(2)cosα＝eq\r(3).(1)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))的值；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))的值．解：(1)∵eq\r(6)sinα＋eq\r(2)cosα＝eq\r(3)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(6),4).∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，∴α＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(10),4).(2)由(1)可得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),4)))2－1＝eq\f(1,4).∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，∴2α＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝eq\f(\r(15),4).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))－\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))coseq\f(π,4)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(30)＋\r(2),8).18．(本小題滿分12分)(2017·江蘇卷)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－eq\r(3))，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)記f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值．解析：(1)因?yàn)閍＝(cosx，sinx)，b＝(3，－eq\r(3))，a∥b，所以－eq\r(3)cosx＝3sinx.若cosx＝0，則sinx＝0，與sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cosx≠0.于是tanx＝－eq\f(\r(3),3).又x∈[0，π]，所以x＝eq\f(5π,6).(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－eq\r(3))＝3cosx－eq\r(3)sinx＝2eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))).因?yàn)閤∈[0，π]，所以x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，從而－1≤coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))≤eq\f(\r(3),2).于是，當(dāng)x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，即x＝0時(shí)，f(x)取到最大值3；當(dāng)x＋eq\f(π,6)＝π，即x＝eq\f(5π,6)時(shí)，f(x)取到最小值－2eq\r(3).19．(本小題滿分12分)(2018·安徽合肥檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)的最小正周期為π.(1)求函數(shù)y＝f(x)圖象的對(duì)稱軸方程；(2)討論函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的單調(diào)性．解析：(1)∵f(x)＝sinωx－cosωx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,4)))，且T＝π，∴ω＝2.于是f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，令2x－eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(3π,8)(k∈Z)，即函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(3π,8)(k∈Z)．(2)令2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,8)，kπ＋\f(3π,8)))(k∈Z)．注意到x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，令k＝0，得函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,8)))上的單調(diào)遞增；同理，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減．20．(本小題滿分12分)(2018·北京懷柔區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x－1.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的最大值和最小值．解：(1)∵f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x－1＝2sinxcosx＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，∴函數(shù)f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由(1)可知，f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，∴2x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1)).故函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的最大值和最小值分別為eq\r(2)，－1.21．(本小題滿分12分)(2018·山東濰坊期中聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝sinωx·cosωx－eq\r(3)cos2ωx＋eq\f(\r(3),2)(ω>0)的圖象上相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的距離為eq\r(π2＋4).(1)求ω的值；(2)若函數(shù)y＝f(x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))是奇函數(shù)，求函數(shù)g(x)＝cos(2x－φ)在[0,2π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．解：(1)f(x)＝sinωx·cosωx－eq\r(3)cos2ωx＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)sin2ωx－eq\f(\r(3)1＋cos2ωx,2)＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)sin2ωx－eq\f(\r(3),2)cos2ωx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,3))).設(shè)T為f(x)的最小正周期，由f(x)的圖象上相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的距離為eq\r(π2＋4)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,2)))2＋[2f(x)max]2＝π2＋4.∵f(x)max＝1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,2)))2＋4＝π2＋4，整理得T＝2π.又∵ω>0，T＝eq\f(2π,2ω)＝2π，∴ω＝eq\f(1,2).(2)由(1)可知f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，∴f(x＋φ)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋φ－\f(π,3))).∵y＝f(x＋φ)是奇函數(shù)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ－\f(π,3)))＝0.又∵0<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3)，∴g(x)＝cos(2x－φ)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).令2kπ≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋π，k∈Z，則kπ＋eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z，∴函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))，k∈Z.又∵x∈[0,2π]，∴當(dāng)k＝0時(shí)，g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))；當(dāng)k＝1時(shí)，g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)，\f(5π,3))).∴函數(shù)g(x)在[0,2π]上的單調(diào)遞減區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)，\f(5π,3))).22．(本小題滿分12分)(2018·黑龍江哈爾濱六中月考)已知函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋2sineq\b\lc\