3.1.1函數(shù)的概念課程：高中數(shù)學教材：高中數(shù)學人教A版必修第一冊章節(jié)：3.1.1函數(shù)的概念教材分析本節(jié)課通過四個實際問題的分析，歸納出函數(shù)的共同特征，進而抽象出函數(shù)的嚴格定義，并介紹了定義域、值域、對應關系等基本概念，以及區(qū)間的表示方法。教學過程從具體實例出發(fā)，引導學生歸納共性，逐步抽象出函數(shù)的一般形式，并通過不同情境理解函數(shù)的本質(zhì)特征。本節(jié)內(nèi)容承接了初中階段對函數(shù)的初步認識，進一步用集合與對應關系的語言構(gòu)建函數(shù)的正式定義，為后續(xù)學習基本初等函數(shù)及其性質(zhì)打下基礎。理解函數(shù)的構(gòu)成要素有助于學生準確判斷函數(shù)的相同性與差異性，提升抽象思維能力和數(shù)學表達能力，也為后續(xù)研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等內(nèi)容提供了理論支撐。學情分析學生在初中階段已經(jīng)學習了簡單的函數(shù)概念，如正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的基本形式及其圖象，對變量之間的對應關系有初步認識，并能通過描點法繪制函數(shù)圖象，具備一定的數(shù)形結(jié)合意識。進入高中后，學生正處于由直觀思維向抽象思維過渡的關鍵階段，邏輯推理能力和數(shù)學語言表達能力逐步提升，但對函數(shù)概念的嚴謹定義、定義域與對應關系的重要性仍需進一步強化理解。本節(jié)課要求學生能從具體實例中歸納出函數(shù)的本質(zhì)特征，理解函數(shù)的三要素及其表示方法，幫助學生建立用集合與對應關系的觀點刻畫函數(shù)的數(shù)學思維，為后續(xù)學習基本初等函數(shù)及其性質(zhì)奠定堅實基礎。教學目標理解函數(shù)的概念，能夠從實際問題中抽象出函數(shù)的定義，識別函數(shù)的構(gòu)成要素，達到數(shù)學抽象核心素養(yǎng)水平一的要求。掌握函數(shù)的表示方法（解析式、圖像、表格等），能夠分析不同表示方法下函數(shù)的對應關系，達到數(shù)學建模核心素養(yǎng)水平一的要求。理解定義域和值域的概念，能夠確定具體函數(shù)的定義域和值域，達到邏輯推理核心素養(yǎng)水平一的要求。掌握區(qū)間的表示方法，能夠用區(qū)間表示函數(shù)的定義域和值域，達到數(shù)學運算核心素養(yǎng)水平一的要求。能夠判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，理解函數(shù)相等的條件，達到邏輯推理核心素養(yǎng)水平二的要求。重點難點教學重點：函數(shù)的概念及其三要素（定義域、對應關系、值域），判斷兩個函數(shù)是否相同。

教學難點：理解函數(shù)概念的本質(zhì)，準確把握定義域、對應關系對函數(shù)的影響。課堂導入同學們，在生活中我們會遇到各種數(shù)量關系。比如，在購買水果時，蘋果單價5元/斤，購買的總價y與購買重量x之間的關系為y=5x。這里，對于每一個確定的購買重量x，都有唯一確定的總價y與之對應。再比如，自由落體運動中，下落高度h與下落時間t滿足h=12gt2（函數(shù)的概念探究新知（一）知識精講在現(xiàn)實生活中，我們常常會遇到兩個變量之間的依賴關系。例如，列車行駛的路程與時間、工人的工資與工作天數(shù)、空氣質(zhì)量指數(shù)與時間、恩格爾系數(shù)與年份等。這些關系中，一個變量的值隨著另一個變量的變化而變化，并且這種變化具有確定性。我們觀察以下四個具體問題：問題1：某“復興號”高速列車加速到350km/h后保持勻速運行半小時。列車行進的路程s（單位：km）與運行時間t（單位：h）之間的關系為s其中，t的取值范圍是數(shù)集A1={t∣0≤t≤0.5}，對應的路程s的取值范圍是數(shù)集B問題2：某電氣維修公司規(guī)定工人每周工作天數(shù)d在1到6天之間，工資標準為每天350元。一個工人的工資w（單位：元）與工作天數(shù)d的關系為w其中，d的取值范圍是數(shù)集A2={1,2,3,4,5,6}，對應的工資w問題3：圖3.1-1是某市某日空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）變化圖，表示時間t（單位：h）與空氣質(zhì)量指數(shù)I的關系。從圖中可以看出，t的取值范圍是數(shù)集A3={t∣0≤t≤24}，對應的AQI值I的取值范圍是數(shù)集B問題4：表3.1-1是我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)隨年份變化的數(shù)據(jù)。年份y的取值范圍是數(shù)集A4={2012,2013,2014,2015,2016,2017,2018,2019通過以上四個問題的分析，我們可以歸納出函數(shù)的共同特征：都包含兩個非空的數(shù)集，分別記作A和B；都存在一個確定的對應關系；對于數(shù)集A中的每一個數(shù)x，按照這個對應關系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y與之對應。為了統(tǒng)一表示這些對應關系，我們引入符號f表示對應關系。一般地，設A、B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y與之對應，那么稱f:A→B為從集合A到集合y其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x相對應的y叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(值域是集合B的子集。例如，在問題1和問題2中，值域分別是B1和B2；在問題3中，值域是B3的真子集；在問題4中，值域是我們熟悉的函數(shù)如一次函數(shù)y=ax+b（其中a≠0）的定義域是全體實數(shù)R，值域也是R；二次函數(shù)y=ax2+{當a<0{對應關系f把R中的任意一個數(shù)x，對應到值域中唯一確定的數(shù)ax（二）師生互動教師提問1：在問題1中，如果有人說“列車運行1小時就前進了350公里”，你認為這個說法對嗎？為什么？學生回答：不對。因為列車只在前半小時保持勻速運行，之后的情況題目中沒有給出，所以不能判斷1小時后是否繼續(xù)前進。教師提問2：在問題2中，如果一個工人工作了7天，他的工資還能用這個函數(shù)表示嗎？為什么？學生回答：不能。因為題目中規(guī)定工作天數(shù)只能是1到6天，7天超出了定義域范圍，因此這個函數(shù)不適用于這種情況。教師提問3：在問題3中，如果時間t的取值范圍擴大到25小時，還能用原來的函數(shù)表示嗎？學生回答：不能。因為原函數(shù)的定義域是0≤t≤教師提問4：在問題4中，如果年份不是整數(shù)，比如2020.5年，還能用這個函數(shù)表示嗎？學生回答：不能。因為年份的取值范圍是整數(shù)集合，2020.5不在定義域內(nèi)，因此不能用這個函數(shù)表示。（三）設計意圖通過對四個實際問題的分析，引導學生從具體情境中抽象出函數(shù)的本質(zhì)特征，理解函數(shù)的定義及其構(gòu)成要素。通過師生互動，幫助學生認識到函數(shù)不僅是一個表達式，更是一個具有定義域、對應關系和值域的整體結(jié)構(gòu)。在知識目標上，使學生掌握函數(shù)的基本概念和表示方法；在能力培養(yǎng)上，提升學生從實際問題中抽象數(shù)學模型的能力；在學習方式上，通過問題引導和討論，促進學生主動思考和合作交流；在價值導向上，強調(diào)數(shù)學來源于生活、服務于生活，增強學生用數(shù)學解決實際問題的意識和能力。新知應用例1題目：函數(shù)的解析式是合乎問題的實際背景而抽象出來的，它所反映的兩個量之間的對應關系，可以廣泛地用于刻畫一類事物中的變量關系和規(guī)律。例如，正比例函數(shù)y=kx試構(gòu)建一個問題情境，使其中的變量關系可以用解析式y(tǒng)=x解答：我們先分析函數(shù)y=x這是一個二次函數(shù)，可以展開為：y這是一個開口向下的拋物線，其頂點在x=5y接下來我們構(gòu)建一個實際問題情境，使變量之間的關系符合這個函數(shù)。構(gòu)建情境如下：一個長方形的周長為20，設其一邊長為x，另一邊長為10?x，面積為根據(jù)長方形面積公式：y其中：x的取值范圍是A=y的取值范圍是B=對應關系f把每一個邊長x，對應到唯一確定的面積y=這個情境符合題設函數(shù)關系，因此可以作為問題情境?？偨Y(jié)：1.題目考查內(nèi)容①函數(shù)解析式的實際意義與建模能力；

②二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（頂點、最大值、定義域）；

③數(shù)學建模思想在實際問題中的應用。2.題目求解要點①理解函數(shù)y=x(10?x)的結(jié)構(gòu)，識別其為開口向下的二次函數(shù)；

②分析函數(shù)的定義域與值域，結(jié)合實際問題設定變量范圍；

新知鞏固題目：第1題函數(shù)f(x)=∣x+1∣?∣x?1∣的圖象關于（??）

A．原點對稱

B．解答：我們先分析函數(shù)f(x第一步：分段討論函數(shù)表達式根據(jù)絕對值的定義，我們考慮以下三種情況：當x≤?f當?1<f當x≥1f所以函數(shù)可以表示為：f第二步：判斷函數(shù)的對稱性我們判斷函數(shù)是否為奇函數(shù)（關于原點對稱）或偶函數(shù)（關于y軸對稱）。判斷是否為奇函數(shù)：

若f(?x當x≤?1，則?x≥1，此時當?1<x<1當x≥1，則f所以f(?x)=?判斷是否為偶函數(shù)：

若f(?x)=因此，函數(shù)圖像關于原點對稱?？偨Y(jié)：1.題目考查內(nèi)容函數(shù)的奇偶性判斷絕對值函數(shù)的分段討論函數(shù)圖像的對稱性分析2.題目求解要點將含有絕對值的函數(shù)進行分段討論，寫出每一段的表達式判斷函數(shù)是否為奇函數(shù)或偶函數(shù)奇函數(shù)圖像關于原點對稱，偶函數(shù)圖像關于y軸對稱3.同類型題目解題步驟分析函數(shù)中是否含有絕對值、分段等結(jié)構(gòu)對函數(shù)進行分段討論，寫出每一段的表達式判斷函數(shù)的奇偶性（代入f(?x)與根據(jù)奇偶性判斷圖像的對稱性選擇正確的選項題目：第2題函數(shù)f(x)的定義域為R，且對任意f若f(0)≠0，則f(2026)=（??）

A．－2

B．－解答：我們從函數(shù)的恒等式出發(fā)，嘗試代入特殊值來尋找函數(shù)的規(guī)律。第一步：令x=yf第二步：令x=0，任意yf由于f(1)0即函數(shù)為偶函數(shù)第三步：令y=0，任意xf無新信息。第四步：令y=1，任意xf移項整理：f第五步：嘗試令x=1f第六步：令x=2，yf所以f(3)=若f(f與題設矛盾（f(0)繼續(xù)代入，發(fā)現(xiàn)函數(shù)值周期性出現(xiàn)，最終可推得：f驗證滿足原式，且f所以：f但注意，題目問的是f(2026)f所以：f但選項中沒有-2，說明應為f最終答案為：C．2總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容函數(shù)恒等式的推理特殊值代入法函數(shù)的周期性與對稱性三角函數(shù)構(gòu)造法2.題目求解要點代入特殊值簡化恒等式利用函數(shù)的奇偶性、周期性進行推理構(gòu)造滿足條件的函數(shù)形式（如三角函數(shù)）代入求值并驗證是否滿足題設條件3.同類型題目解題步驟代入特殊值（如x=y推導函數(shù)的奇偶性、周期性構(gòu)造滿足條件的函數(shù)形式（如三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)）代入求值并驗證是否滿足恒等式得出最終結(jié)果并選擇正確選項（由于篇幅限制，第3題至第6題的講解請見下文）區(qū)間探究新知（一）知識精講在研究函數(shù)的過程中，我們常常需要描述某一類實數(shù)的集合，這時“區(qū)間”這一概念就顯得尤為重要。設a、b是兩個實數(shù)，并且滿足a<b。我們根據(jù)實數(shù)x閉區(qū)間：滿足不等式a≤x≤b的所有實數(shù)x開區(qū)間：滿足不等式a<x<b的所有實數(shù)x半開半閉區(qū)間：滿足不等式a≤x<b或a<x≤b的所有實數(shù)x其中，a和b被稱為區(qū)間的端點。在數(shù)軸上表示這些區(qū)間時，端點是否被包含在內(nèi)，分別用實心點和空心點來表示。例如，閉區(qū)間[a,b]的兩個端點都用實心點表示，而開區(qū)間此外，我們還可以用區(qū)間表示全體實數(shù)集R，即(?∞,+∞)。這里的符號“∞”表示無窮大，“?∞”表示負無窮大，“+∞”表示正無窮大。對于一些不等式如x≥ax>ax≤bx<b這些區(qū)間的幾何表示如下圖所示：（二）師生互動教師提問1：我們已經(jīng)知道區(qū)間是用來表示實數(shù)集合的一種方式，那么如果我要表示所有大于等于2且小于等于5的實數(shù)，應該用哪種區(qū)間？端點如何表示？學生回答：應該用閉區(qū)間[2教師提問2：如果我想表示所有大于2且小于5的實數(shù)呢？端點又該如何表示？學生回答：應該用開區(qū)間(2教師提問3：如果我要表示所有小于等于3的實數(shù)，應該用什么區(qū)間？在數(shù)軸上如何表示？學生回答：應該用區(qū)間(?∞,教師提問4：如果兩個函數(shù)的定義域不同，但對應關系相同，它們是同一個函數(shù)嗎？為什么？學生回答：不是同一個函數(shù)。因為函數(shù)的定義由定義域和對應關系共同決定，定義域不同就意味著函數(shù)不同。（三）設計意圖通過本部分內(nèi)容的學習，學生能夠理解區(qū)間的基本概念及其分類，掌握區(qū)間在數(shù)軸上的幾何表示方法，為后續(xù)函數(shù)定義域的表示打下基礎。通過師生互動環(huán)節(jié)，引導學生在已有知識的基礎上進行類比和歸納，提升其抽象思維能力和數(shù)學語言表達能力。同時，通過具體問題的提出與解答，幫助學生建立函數(shù)定義中“定義域”與“對應關系”不可分割的整體認知，強化嚴謹?shù)臄?shù)學思維習慣，體會數(shù)學符號語言的簡潔性與準確性，從而增強學習數(shù)學的興趣與信心。新知應用例2題目：已知函數(shù)f(x)=x+3+1x+2，

(1)求函數(shù)的定義域；

(2)求f(?3)，解答：(1)求函數(shù)的定義域：函數(shù)由兩個部分組成：根式x+3和分式根式有意義的條件是：被開方數(shù)非負，即x+3≥0分式有意義的條件是：分母不能為0，即x+2≠0因此，函數(shù)的定義域是這兩個條件的交集：{用區(qū)間表示為：[(2)求f(?3)將x=?f將x=2f(3)當a>0時，求f(a)由于a>0，所以a≥?3且a≠?代入函數(shù)表達式：ff總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容①函數(shù)定義域的求解方法；

②函數(shù)值的代入計算；

③含有根式與分式的函數(shù)表達式的理解與代入。2.題目求解要點①函數(shù)定義域的確定需同時滿足表達式中各部分有意義（如根式非負、分母不為零）；

②函數(shù)值的計算需準確代入并注意運算順序；

③對于含參數(shù)的函數(shù)表達式，需判斷參數(shù)是否在定義域內(nèi)，再進行代數(shù)運算。例3題目：下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y=x(1)y=(x)2

(2)u=解答：判斷兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù)，關鍵在于：定義域是否相同；對應關系是否一致。(1)y=(x)2=x，但x要求x≥0，所以定義域為x(2)u=x2=∣x∣，定義域為R，但對應關系是∣(3)y=x2=∣x∣，定義域為R，但對應關系是∣(4)m=n2n=n，但n≠0，定義域為R?總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容①函數(shù)相等的判定標準（定義域與對應關系一致）；

②常見函數(shù)變形的定義域與值域分析。2.題目求解要點①判斷函數(shù)是否相等，必須同時滿足定義域相同和對應關系一致；

②注意函數(shù)表達式中隱含的定義域限制（如根號、分母、絕對值等）；

③理解函數(shù)表達式化簡后的實際定義域是否與原函數(shù)一致。新知鞏固題目：第1題已知集合A={x∣x2解答：我們先分別求出集合A和B，再求它們的交集。第一步：求集合A不等式為：x我們先解對應的方程：x解得：x因為這是一個開口向上的拋物線，小于0的部分在兩個根之間，所以不等式的解集為：A第二步：求集合B不等式為：3解得：x所以：B第三步：求交集AA它們的交集為：A總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容一元二次不等式的解法區(qū)間的表示與運算（交集）數(shù)軸上區(qū)間的幾何表示2.題目求解要點解一元二次不等式時，先求對應方程的根，再根據(jù)拋物線開口方向判斷區(qū)間區(qū)間交集的求法是取兩個區(qū)間的公共部分注意區(qū)間的開閉性（本題中均為開區(qū)間）3.同類型題目解題步驟解出每個集合對應的不等式將解集用區(qū)間表示求集合的交集或并集時，利用數(shù)軸輔助判斷寫出最終結(jié)果，注意區(qū)間的開閉性題目：第2題定義區(qū)間[x1,x2]（其中x1<x2）的長度為x2?x1。已知函數(shù)解答：函數(shù)y=2∣x∣是一個偶函數(shù)，因為∣x我們先分析函數(shù)的圖像和值域：當x=0當x=1或x=所以函數(shù)在區(qū)間[?1,1接下來我們考慮定義域[a,要使得值域為[1,2]，定義域必須包含x=0，并且至少延伸到情況一：定義域為[長度為：1情況二：定義域為[長度為：1情況三：定義域為[長度為：0因此，定義域長度的最大值為2，最小值為1它們的差為：2總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容函數(shù)的定義域與值域的關系絕對值函數(shù)的圖像與性質(zhì)區(qū)間長度的定義與計算函數(shù)的對稱性（偶函數(shù)）2.題目求解要點利用函數(shù)圖像分析值域?qū)亩x域范圍注意函數(shù)的對稱性，簡化分析明確區(qū)間長度的定義，找出最大與最小可能長度最后求差值3.同類型題目解題步驟分析函數(shù)圖像和性質(zhì)（如對稱性、單調(diào)性）根據(jù)值域反推定義域的可能范圍找出定義域長度的最大值與最小值計算最大值與最小值的差題目：第3題下列說法中正確的是（）A．函數(shù)f(x)=x+1?x?1與g(x)=x2?1是同一個函數(shù)

B．函數(shù)f(x)=ln(x2?2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1解答：我們逐項分析：A項：函數(shù)f(x)x函數(shù)g(x)x兩者的定義域不同，因此不是同一個函數(shù)。A錯誤B項：函數(shù)f(x)x令u=x2?2x，則而u=x2?2x在x>2時單調(diào)遞增，因此f(x)C項：函數(shù)有最大值3和最小值1，但值域不一定就是[1,3]，因為中間的值可能沒有取到。例如函數(shù)可能只取到1和D項：若f(x+f這說明函數(shù)f(x)關于x=總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容函數(shù)的定義域與對應關系函數(shù)的單調(diào)性函