山東省臨清市中考數(shù)學(xué)真題分類（勾股定理）匯編同步練習(xí)考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計(jì)14分）1、如圖，正方形的邊長為10，，，連接，則線段的長為（

）A． B． C． D．2、在自習(xí)課上，小芳同學(xué)將一張長方形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊起來，她發(fā)現(xiàn)D、B兩點(diǎn)均落在了對角線AC的中點(diǎn)O處，且四邊形AECF是菱形．若AB＝3cm，則陰影部分的面積為（）A．1cm2 B．2cm2 C．cm2 D．cm23、如圖，在7×7的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，畫一條線段AB=，使點(diǎn)A，B在小正方形的頂點(diǎn)上，設(shè)AB與網(wǎng)格線相交所成的銳角為α，則不同角度的α有（

）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種4、如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點(diǎn)，則MC2－MB2等于（

）A．29 B．32 C．36 D．455、如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，它飛行的最短路程是（）A．13米 B．12米 C．5米 D．米6、觀察“趙爽弦圖”（如圖），若圖中四個全等的直角三角形的兩直角邊分別為a，b，，根據(jù)圖中圖形面積之間的關(guān)系及勾股定理，可直接得到等式（

）A． B．C． D．7、有一個邊長為1的正方形，以它的一條邊為斜邊，向外作一個直角三角形，再分別以直角三角形的兩條直角邊為邊，向外各作一個正方形，稱為第一次“生長”（如圖1）；再分別以這兩個正方形的邊為斜邊，向外各自作一個直角三角形，然后分別以這兩個直角三角形的直角邊為邊，向外各作一個正方形，稱為第二次“生長”（如圖2）……如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了2021次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（

）A．1 B．2020 C．2021 D．2022第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計(jì)16分）1、對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點(diǎn)O．若AD=3，BC=5，則____________．2、如圖1，鄰邊長為2和6的矩形分割成①，②，③，④四塊后，拼接成如圖2不重疊、無縫隙的正方形，則圖2中的值為___________，圖1中的長為_______．3、《九章算術(shù)》中有“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：有一根竹子原來高1丈（1丈=10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？如圖，設(shè)折斷處距離地面x尺，根據(jù)題意，可列方程為______．4、如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)、、均在格點(diǎn)上，則______．5、我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一道題目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索盡．問索長幾何？”譯文為“今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牽索沿地面退行，在離木柱根部8尺處時，繩索用盡問繩索長是多少？”示意圖如下圖所示，設(shè)繩索的長為尺，根據(jù)題意，可列方程為__________．6、若△ABC中，cm，cm，高cm，則BC的長為________cm．7、《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺．如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B'（如圖）．則蘆葦長_____尺．8、如圖所示，在四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝3，DE⊥AC于E，DE＝3，S△DAC＝6，則∠ACB的度數(shù)等于_____．三、解答題（7小題，每小題10分，共計(jì)70分）1、一架梯子長13米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻5米．（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了7米到C，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？2、如圖所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為ts．(1)出發(fā)3s后，求PQ的長；(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動時，出發(fā)多久后，△PQB能形成等腰三角形？(3)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動時，求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動時間．3、超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小鵬等三位同學(xué)在濱海大道紅樹林路段，嘗試用自己所學(xué)的知識檢測車速，觀測點(diǎn)設(shè)在到公路l的距離為100米的P處．這時，一輛富康轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3秒，并測得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，試判斷此車是否超過了每小時80千米的限制速度？4、如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一條直線上，，且．(1)求證：．(2)若，，，求BE的長．5、如圖是“弦圖”的示意圖，“弦圖”最早是由三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時給出的，它標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就．它由4個全等的直角三角形與一個小正方形組成，恰好拼成一個大正方形，每個直角三角形的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c．請你運(yùn)用此圖形證明勾股定理：a2+b2＝c2．6、勾股定理被譽(yù)為“幾何明珠”，在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程中占有舉足輕重的地位．它是初中數(shù)學(xué)中的重要知識點(diǎn)之一，也是初中學(xué)生以后解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題中常常運(yùn)用到的重要知識，因此學(xué)好勾股定理非常重要．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)“不僅要知其然，更要知其所以然”，所以，我們要學(xué)會勾股定理的各種證明方法．請你利用如圖圖形證明勾股定理：已知：如圖，四邊形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于點(diǎn)E，且△ABE≌△BCD．求證：AB2＝BE2+AE2．7、在△ABC中，，AB＝5cm，AC＝3cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC以1cm/s的速度移動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，當(dāng)△ABP為直角三角形時，求t的值．-參考答案-一、單選題1、B【解析】【分析】延長DH交AG于點(diǎn)E，利用SSS證出△AGB≌△CHD，然后利用ASA證出△ADE≌△DCH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出EG、HE和∠HEG，最后利用勾股定理即可求出HG．【詳解】解：延長DH交AG于點(diǎn)E∵四邊形ABCD為正方形∴AD=DC=BA=10，∠ADC=∠BAD=90°在△AGB和△CHD中∴△AGB≌△CHD∴∠BAG=∠DCH∵∠BAG＋∠DAE=90°∴∠DCH＋∠DAE=90°∴CH2＋DH2=82＋62=100=DC2∴△CHD為直角三角形，∠CHD=90°∴∠DCH＋∠CDH=90°∴∠DAE=∠CDH，∵∠CDH＋∠ADE=90°∴∠ADE=∠DCH在△ADE和△DCH中∴△ADE≌△DCH∴AE=DH=6，DE=CH=8，∠AED=∠DHC=90°∴EG=AG－AE=2，HE=DE－DH=2，∠GEH=180°－∠AED=90°在Rt△GEH中，GH=故選B．【考點(diǎn)】此題考查是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和勾股定理，掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和利用勾股定理解直角三角形是解決此題的關(guān)鍵．2、D【解析】【分析】由菱形的性質(zhì)得到∠FCO＝∠ECO，進(jìn)而證明∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，2BE＝CE，利用勾股定理得出BC＝，再解得菱形的面積為2，最后由陰影部分的面積＝S菱形AECF解題．【詳解】解：∵四邊形AECF是菱形，AB＝3，∴假設(shè)BE＝x，則AE＝3﹣x，CE＝3﹣x，∵四邊形AECF是菱形，∴∠FCO＝∠ECO，∵∠ECO＝∠ECB，∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，2BE＝CE，∴CE＝2x，∴2x＝3﹣x，解得：x＝1，∴CE＝2，利用勾股定理得出：BC2+BE2＝EC2，BC＝，又∵AE＝AB﹣BE＝3﹣1＝2，則菱形的面積是：AE?BC＝2．∴陰影部分的面積＝S菱形AECF＝cm2．故選：D．【考點(diǎn)】本題考查菱形的性質(zhì)、勾股定理、含30°直角三角形的性質(zhì)等知識，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．3、C【解析】【詳解】如圖，（1）當(dāng)AB=時，AB與網(wǎng)格線相交所成的兩個銳角：∠=45°；（2）當(dāng)AB=時，AB與網(wǎng)格線相交所成的銳角∠有2個不同的角度；綜上所述，AB與網(wǎng)格線相交所成的銳角的不同角度有3個.故選C.4、D【解析】【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分別表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分別將BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出結(jié)果．【詳解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2?AD2，CD2＝AC2?AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2?AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2?AD2＋MD2，∴MC2?MB2＝（AC2?AD2＋MD2）?（AB2?AD2＋MD2）＝AC2?AB2＝45．故選：D．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的知識，題目有一定的技巧性，比較新穎，解答本題需要認(rèn)真觀察，分別兩次運(yùn)用勾股定理求出MC2和MB2是本題的難點(diǎn)，重點(diǎn)還是在于勾股定理的熟練掌握．5、A【解析】【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，構(gòu)造直角三角形，用勾股定理求解即可.【詳解】如圖所示，過D點(diǎn)作DE⊥AB，垂足為E,∵AB=13，CD=8，又∵BE=CD，DE=BC，∴AE=AB?BE=AB?CD=13?8=5,∴在Rt△ADE中，DE=BC=12,∴∴AD=13（負(fù)值舍去）,故小鳥飛行的最短路程為13m,故選A.【考點(diǎn)】考查勾股定理，畫出示意圖，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.6、C【解析】【分析】根據(jù)小正方形的面積等于大正方形的面積減去4個直角三角形的面積可得問題的答案．【詳解】標(biāo)記如下：∵，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4＝a2﹣2ab+b2．故選：C．【考點(diǎn)】此題考查的是利用勾股定理的證明，可以完全平方公式進(jìn)行證明，掌握面積差得算式是解決此題關(guān)鍵．7、D【解析】【分析】根據(jù)題意可得每“生長”一次，面積和增加1，據(jù)此即可求得“生長”了2021次后形成的圖形中所有的正方形的面積和．【詳解】解：如圖，由題意得：SA=1，由勾股定理得：SB＋SC=1，則“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2，同理可得：“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形面積和為3，“生長”了3次后形成的圖形中所有正方形的面積和為4，……“生長”了2021次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是2022，故選：D【考點(diǎn)】本題考查了勾股數(shù)規(guī)律問題，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．二、填空題1、34【解析】【分析】在Rt△COB和Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，進(jìn)一步得BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，再根據(jù)AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，最后求得AB2+CD2=34．【詳解】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，在Rt△COB和Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得，BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，∴BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，∵AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，∴AB2+CD2=34；故答案為：34．【考點(diǎn)】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵．2、

【解析】【分析】由等積法解得正方形的邊長，再利用勾股定理解得圖④的直角邊FH的長，在圖2中，利用正弦的定義解得，接著利用勾股定理解得，據(jù)此解得的值，最后利用解答即可．【詳解】解：矩形的面積為：2×6=12正方形的邊長如圖1，如圖2，設(shè)或（舍去）故答案為：，．【考點(diǎn)】本題考查正方形與矩形、圖形的拼接，涉及勾股定理、正弦、余弦等知識，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．3、【解析】【分析】根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)未折斷的竹干長為尺，根據(jù)題意可列方程為：．故答案為：．【考點(diǎn)】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．4、45°##45度【解析】【分析】取正方形網(wǎng)格中格點(diǎn)Q，連接PQ和BQ，證明∠AQB=90°，由勾股定理計(jì)算PQ=QB，進(jìn)而得到△QPB為等腰直角三角形，∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°即可求解．【詳解】解：取正方形網(wǎng)格中格點(diǎn)Q，連接PQ和BQ，如下圖所示：∴AE=PF，PE=QF，∠AEP=∠PFQ=90°，∴△APE≌△PQF(SAS),∴∠PAB=∠QPF，∵PF∥BE，∴∠PBA=∠BPF，∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB，又QA2=22+42=20，QB2=22+12=5，AB2=52=25，∴QA2+QB2=20+5=25=AB2，∴△QAB為直角三角形，∠AQB=90°，∵PQ2=22+12=5=QB2，∴△PQB為等腰直角三角形，∴∠QPB=∠QBP=(180°-90°)÷2=45°，∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°，故答案為：45°．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理及逆定理、三角形全等的判定等，熟練掌握勾股定理及逆定理是解決本類題的關(guān)鍵．5、x2?（x?3）2＝82【解析】【分析】設(shè)繩索長為x尺，根據(jù)勾股定理列出方程解答即可．【詳解】解：設(shè)繩索長為x尺，根據(jù)題意得：x2?（x?3）2＝82，故答案為：x2?（x?3）2＝82．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出相應(yīng)方程是解題的關(guān)鍵．6、28或8##8或28【解析】【分析】高的位置不確定，應(yīng)分情況進(jìn)行討論：（1）高在內(nèi)部；（2）高在外部，依此即可求解．【詳解】解：如圖（1）cm，cm，，則，，則；如圖（2），由（1）得，，則．則的長為或．故答案為或．【考點(diǎn)】此題考查了勾股定理，本題需注意高的位置不確定，應(yīng)根據(jù)三角形的形狀分兩種情況討論．7、13【解析】【分析】將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形，如圖所示，根據(jù)題意，可知B'C＝5尺，設(shè)水深A(yù)C＝x尺，則蘆葦長（x+1）尺，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L和水深．【詳解】解：設(shè)水深x尺，則蘆葦長（x+1）尺，在Rt△CAB′中，AC2+B′C2＝AB′2，即x2+52＝（x+1）2，解得：x＝12，∴x+1＝13，故蘆葦長13尺，故答案為：13【考點(diǎn)】本題考查勾股定理，和列方程解決實(shí)際問題，能夠在實(shí)際問題中找到直角三角形并應(yīng)用勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．8、90°##90度【解析】【分析】根據(jù)三角形面積公式求出AC=4，根據(jù)勾股定理逆定理即可求出∠ACB=90°．【詳解】解：∵DE⊥AC于E，DE＝3，S△DAC＝6，∴×AC×DE=6，∴AC=4，∴，∵AB＝5，∴AB2＝25，∴，∴∠ACB=90°．故答案為：90°【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理逆定理和三角形的面積應(yīng)用，熟練掌握勾股定理逆定理是解題關(guān)鍵．三、解答題1、（1）12米；（2）7米【解析】【分析】（1）由題意易得AB=CD=13米，OB=5米，然后根據(jù)勾股定理可求解；（2）由題意得CO=5米，然后根據(jù)勾股定理可得求解．【詳解】解：（1）由題意得，AB=CD=13米，OB=5米，在Rt，由勾股定理得：AO2=AB2-OB2=132-52=169-25=144，解得AO=12米，答：這個梯子的頂端距地面有12米高；（2）由題意得，AC=7米，由（1）得AO=12米，∴CO=AO-AC=12-7=5米，在Rt，由勾股定理得：OD2=CD2-CO2=132-52=169-25=144，解得OD=12米∴BD=OD-OB=12-5=7米，答：梯子的底端在水平方向滑動了7米．【考點(diǎn)】本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2、(1)PQ＝cm(2)出發(fā)秒后△PQB能形成等腰三角形(3)當(dāng)t為11秒或12秒或13.2秒時，△BCQ為等腰三角形．【解析】【分析】（1）可求得AP和BQ，則可求得BP，由勾股定理即可得出結(jié)論；（2）用t可分別表示出BP和BQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到BP=BQ，可得到關(guān)于t的方程，可求得t；（3）用t分別表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性質(zhì)可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．(1)當(dāng)t＝3時，則AP＝3，BQ＝2t＝6，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝16﹣3＝13（cm），在Rt△BPQ中，PQ＝＝＝（cm）．(2)由題意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16，∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，當(dāng)△PQB為等腰三角形時，則有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝，∴出發(fā)秒后△PQB能形成等腰三角形；(3)①當(dāng)CQ＝BQ時，如圖1所示，則∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10，∴BC+CQ＝22，∴t＝22÷2＝11秒．②當(dāng)CQ＝BC時，如圖2所示，則BC+CQ＝24，∴t＝24÷2＝12秒．③當(dāng)BC＝BQ時，如圖3所示，過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，則BE＝，∴CE＝＝＝，∴CQ＝2CE＝14.4，∴BC+CQ＝26.4，∴t＝26.4÷2＝13.2秒．綜上所述：當(dāng)t為11秒或12秒或13.2秒時，△BCQ為等腰三角形．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識.用時間t表示出相應(yīng)線段的長，化“動”為“靜”是解決這類問題的一般思路，注意方程思想的應(yīng)用．3、此車超過每小時80千米的限制速度．【解析】【分析】首先，根據(jù)在直角三角形BPO中，∠BPO=45°，可得到BO=PO=100m，再根據(jù)在直角三角形APO中，∠APO=60°，運(yùn)用三角函數(shù)值，可得到AO=100，根據(jù)AB=AO-BO可求得AB的長；再結(jié)合速度的計(jì)算方法，求出車的速度，然后將車的速度與80千米/時進(jìn)行比較，即可得到結(jié)論.【詳解】解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，則∠PAO＝30°.∴AP＝2OP＝200m，AO＝＝＝100(m)．在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，則BO＝OP＝100m.∴AB＝AO－BO＝100－100≈73(m)．∴從A到B小車行駛的速度為73÷3≈24.3(m/s)＝87.48km/h>80km/h.∴此車超過每小時80千米的限制速度．【考點(diǎn)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，從復(fù)雜的實(shí)際問題中整理出直角三角形并求解是解決此類