第頁通關(guān)練05利用基本不等式求最值eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,關(guān))eq\o\ac(○,練)一、單選題1．若正實(shí)數(shù)滿足，則的（

）A．最大值為9 B．最小值為9C．最大值為8 D．最小值為8【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，所以的最小值為9，無最大值.故選：B2．設(shè)，為正數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】∵，∴，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，即，時(shí)等號成立.故選：.3．函數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故的最小值為.故選：B.4．小王用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻且面積為的矩形菜園，墻長為，小王需要合理安排矩形的長寬才能使所用籬笆最短，則最短的籬笆長度為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)矩形的長、寬分別為xm(x≤18)，ym，籬笆的長為lm，則，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)(m)，符合題意，即長、寬分別略為、時(shí)，籬笆的最短長度為，故選：C．5．已知，且，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故的最小值是6.故選：A6．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，對均成立．由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故的最小值等于3，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：D．7．已知，，且x+2y=2，則的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故的最小值為.故選：D8．設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則函數(shù)的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【解析】，函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號．因此函數(shù)的最小值為3．故選：A．9．已知a＞0，，若時(shí)，關(guān)于x的不等式恒成立，則的最小值是（

）A．4 B． C． D．【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)不等式可知或?qū)τ?，必有即則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，的最小值為.故選:D.10．已知正實(shí)數(shù)a、b滿足，若的最小值為4，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，=，當(dāng)，即時(shí)等號成立，此時(shí)有，又因?yàn)?，所以，由基本不等式可知（時(shí)等號成立），所以.故選：B.11．若，，且，則的最小值為（

）A．9 B．16 C．49 D．81【解析】由題意得，得，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．故選：D12．已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．3【解析】因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號，所以的最小值為.故選：B.13．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．或C． D．或【解析】由題意知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，又不等式恒成立，則不等式，即，解得故選：C.二、多選題14．設(shè)，且，則下列不等式成立的是（

）A．B．C．D．【解析】對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，且，則，由，則，即，解得，故A正確，對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，此時(shí)，解得，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，，且，則，即，由選項(xiàng)B可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故C正確；選項(xiàng)D：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故D錯(cuò)誤.故選：AC．15．已知，則（

）A．的最大值為B．的最小值為4C．的最小值為D．的最小值為1【解析】由，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號.故A錯(cuò)，，進(jìn)而可得：，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，故B正確，令，則，所以，故可化為，整理得，由，得，即，解得或（舍去），C正確，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，D錯(cuò)誤故選：BC．16．已知，，且，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最小值為【解析】對于A：由，，，則，所以，解得，所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，故A正確．對于B：由，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，所以的最大值是，故B正確；對于C：由，，，則，所以，解得，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，即，故C錯(cuò)誤；對于D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，故D錯(cuò)誤；故選：AB17．早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同．而今我們稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)，并把這兩者結(jié)合的不等式叫做基本不等式．下列與基本不等式有關(guān)的命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則的最小值為C．若，則D．若實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為2【解析】對于A，若，則，A錯(cuò)誤；對于B，∵，∴，，∴（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號），即的最小值為4，B錯(cuò)誤；對于C，∵，∴，，又，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號），C正確；對于D，令，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），即的最小值是2．D正確．故選：CD18．已知，，且，若對任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的可能取值為（

）A． B． C．3 D．【解析】，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，即，解得：或，選項(xiàng)中滿足條件的有ABC.故選：ABC.三、填空題19．已知，若且，則的最大值為___________.【解析】因?yàn)榍?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，所以的最大值為.故答案為：.20．已知實(shí)數(shù)x，y>0，且，則的最小值是________．【解析】∵x，y>0，且，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，∴的最小值是，故答案為：21．已知正實(shí)數(shù)m，n滿足，則的最小值為__________．【解析】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以．故答案為：1722．若，，，則的最小值為____________.【解析】（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）則的最小值為9故答案為：923．，，且，則的最小值為______.【解析】解法一：因?yàn)樗援?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.解法二：設(shè)，，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.故答案為：24．已知，，且，則的最小值為________.【解析】∵，，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，故的最小值為12．故答案為：12．四、解答題25．已知集合．(1)設(shè)，求的取值范圍；(2)對任意，證明：．【解析】（1）解：若，又，則，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，

故的取值范圍為．（2）證明：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．26．（1）已知，求的最小值；（2）已知是正實(shí)數(shù)，且，求的最小值．【解析】（1）∵，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，∴的最小值為7．，，．當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號．∴的最小值為．27．某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y200x＋80000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.(1)該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損？【解析】（1）由題意可知：，每噸二氧化碳的平均處理成本為：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，∴該單位每月處理量為400噸時(shí)，每噸的平均處理成本最低；（2）該單位每月的獲利：，因，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而得當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即，所以，該單位每月不能獲利，國家至少需要補(bǔ)貼35000元才能使該單位不虧損.28．如圖，欲在山林一側(cè)建矩形苗圃，苗圃左側(cè)為林地，三面通道各寬，苗圃與通道之間由柵欄隔開．(1)若苗圃面積，求柵欄總長的最小值；(2)若苗圃帶通道占地總面積為，求苗圃面積的最大值．【解析】（1）設(shè)苗圃的兩邊長分別為a，b（如圖），則，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”，故柵欄總長的最小值為200米．（2），而，故，令，則，因式分解為，解得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，故苗圃面積的最大值為4608平方米．29．某食品公司擬在下一年度開展系列促銷活動(dòng)，已知其產(chǎn)品年銷量x萬件與年促銷費(fèi)用t萬元之間滿足與成反比例，當(dāng)年促銷費(fèi)用萬元時(shí)，年銷量是1萬件．已知每一年產(chǎn)品的設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用為3萬元，每生產(chǎn)1萬件產(chǎn)品需再投入32萬元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每件產(chǎn)品售價(jià)定為：其生產(chǎn)成本的與“平均每件促銷費(fèi)的一半”之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的商品正好能銷完．(1)求x關(guān)于t的函數(shù)；(2)將下一年的利潤y（萬元）表示為促銷費(fèi)t（萬元）的函數(shù)；(3)該食品公司下一年的促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí)，年利潤最大？（注：利潤=銷售收入-生產(chǎn)成本-促銷費(fèi)，生