2025年中考試卷：幾何圖形強化訓練——平面幾何中的正弦定理與余弦定理考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C等于（）A.75°B.65°C.105°D.135°解析：我給你們講啊，三角形的內角和是180度，這可是老規(guī)矩了。你們看，A已經(jīng)60度了，B又45度，那C不就等于180減去這兩個角的和嘛，簡單得很。2.在△ABC中，已知邊a=3，邊b=4，角C=60°，則邊c的長度為（）A.5B.7C.√7D.√13解析：這題得用余弦定理，孩子們，還記得余弦定理是干嘛的嗎？就是告訴我們邊和角之間關系的。公式是c2=a2+b2-2abcosC，把數(shù)字一一代進去就出來了，特別直觀。3.在△ABC中，若角A：角B：角C=2：3：4，則cosA的值等于（）A.1/2B.√3/2C.1/4D.√2/2解析：我先讓你們把三個角的具體度數(shù)算出來，2x+3x+4x=180，所以x=20度。那角A就是40度，這時候cos40度，你們會算嗎？得用特殊角的值來估計。4.在△ABC中，若邊a=5，邊b=7，邊c=8，則角A的大小可能是（）A.30°B.45°C.60°D.90°解析：這題得用余弦定理求cosA，算出來是-1/2，那角A不就是120度嘛。注意啊，余弦定理求角的時候，要先算出cos值，再查表或者用計算器，別直接猜。5.在△ABC中，若角A=30°，角B=120°，邊a=2，則邊b的長度等于（）A.√3B.2√3C.4D.4√3解析：這題用正弦定理最簡單，sinA/a=sinB/b，把數(shù)字一一代進去，2√3就出來了。正弦定理和余弦定理經(jīng)常要結合用，孩子們得靈活。6.在△ABC中，若邊a=6，邊b=8，邊c=10，則△ABC是（）A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.等腰三角形解析：你們先算出最大角的余弦值，發(fā)現(xiàn)是0，那不就是直角三角形嘛。記住，勾股定理的逆定理和余弦定理可以互相轉化。7.在△ABC中，若角A=60°，角C=45°，邊a=√2，則邊b與邊c的關系是（）A.b=cB.b>cC.b<cD.無法確定解析：我讓你們先用正弦定理算出邊b和邊c的比值，發(fā)現(xiàn)是√3：√2，那b肯定大于c。這題要培養(yǎng)你們數(shù)形結合的能力。8.在△ABC中，若角A=30°，角B=45°，邊a=√2，則△ABC的面積等于（）A.1/2B.√2/2C.1D.√3/2解析：這題得用正弦定理算出邊b，再用三角形面積公式，sinC=√2/2，算出來是1。孩子們，解三角形問題一定要分類討論，不能想當然。9.在△ABC中，若邊a=3，邊b=5，邊c=7，則cosB的值等于（）A.1/2B.-1/2C.√3/2D.-√3/2解析：我讓你們用余弦定理分別算出cosA和cosB，發(fā)現(xiàn)cosB是-1/2，那角B就是120度。注意啊，邊長關系和角的關系是對應的，不能搞混。10.在△ABC中，若角A=60°，角B=75°，邊a=4，則邊b的長度等于（）A.4√3B.4√2C.2√3D.2√2解析：這題得用正弦定理，sin60°/4=sin75°/b，算出來是4√2。孩子們，三角函數(shù)的值要記牢，尤其是特殊角的值。二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。把答案填在題中橫線上。）1.在△ABC中，若角A=45°，角C=75°，邊a=√6，則邊c的長度等于________。解析：我先讓你們算出角B是60度，再用正弦定理sin45°/√6=sin60°/c，算出來是2√3。注意啊，三角函數(shù)值的正負要根據(jù)角的范圍來判斷。2.在△ABC中，若邊a=5，邊b=7，邊c=8，則cosA的值等于________。解析：我讓你們用余弦定理cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)，算出來是3/8。這題要培養(yǎng)你們運算的準確性，不能算錯。3.在△ABC中，若角A：角B：角C=2：3：7，且邊a=2，則△ABC的面積等于________。解析：我先讓你們算出三個角的具體度數(shù)，再用正弦定理算出其他邊，最后用面積公式，算出來是√3。注意啊，三角形的面積公式有好幾個，要根據(jù)已知條件選擇最合適的一個。4.在△ABC中，若邊a=3，邊b=5，cosC=1/2，則邊c的長度等于________。解析：我讓你們先用余弦定理算出邊c2=9+25-2×3×5×1/2，再開方，算出來是7。這題要培養(yǎng)你們綜合運用知識的能力。5.在△ABC中，若角A=30°，角B=45°，邊a=√3，則△ABC的周長等于________。解析：我先讓你們用正弦定理算出邊b和邊c，再把它們加起來，算出來是4+√3。孩子們，解三角形問題一定要細心，不能漏算。三、解答題（本大題共5小題，共50分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）1.（本小題滿分10分）在△ABC中，若邊a=5，邊b=7，角C=60°，求邊c的長度和角A的大小。解析：我讓你們先用余弦定理求出邊c，再根據(jù)余弦定理求出角A，最后用三角形內角和定理求出角B。注意啊，解三角形問題要一步一步來，不能跳步。2.（本小題滿分10分）在△ABC中，若角A=45°，角B=75°，邊a=4，求邊b的長度和△ABC的面積。解析：我讓你們先用正弦定理求出邊b，再用三角形面積公式求出面積。注意啊，正弦定理和余弦定理經(jīng)常要結合用，孩子們得靈活。3.（本小題滿分10分）在△ABC中，若邊a=3，邊b=5，邊c=7，求cosA、cosB和cosC的值。解析：我讓你們先用余弦定理分別求出cosA、cosB和cosC，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質判斷角的范圍。注意啊，余弦定理可以用來判斷三角形的形狀。4.（本小題滿分10分）在△ABC中，若角A=60°，角B=75°，邊a=√6，求邊b和邊c的長度。解析：我讓你們先用正弦定理求出邊b和邊c，再根據(jù)三角形內角和定理求出角C。注意啊，正弦定理可以用來求三角形的邊長。5.（本小題滿分10分）在△ABC中，若邊a=5，邊b=7，cosC=1/2，求△ABC的面積。解析：我讓你們先用余弦定理求出邊c，再用三角形面積公式求出面積。注意啊，三角形面積公式有好幾個，要根據(jù)已知條件選擇最合適的一個。三、解答題（本大題共5小題，共50分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）6.（本小題滿分10分）在△ABC中，若角A=120°，角B=45°，邊a=8，求邊b和邊c的長度。解析：孩子們，你們看這題，角A是120度，那它肯定是鈍角對不對？這時候你們就得用余弦定理來求邊b和邊c了。我先讓你們算出cosA是-1/2，然后代入余弦定理的公式，b2=a2+c2-2accosA，c2=a2+b2-2abcosA，把數(shù)字一一代進去，解方程組就能求出b和c的值了。注意啊，解這種含鈍角的三角形問題，一定要先判斷角的范圍，再選擇合適的定理。7.（本小題滿分10分）在△ABC中，若邊a=4，邊b=3，邊c=5，求角A、角B和角C的大小，并判斷△ABC的形狀。解析：這題看著簡單，其實考察的是你們對余弦定理和三角形內角和定理的掌握程度。我讓你們先用余弦定理分別求出cosA、cosB和cosC，然后根據(jù)余弦函數(shù)的性質判斷角的范圍。發(fā)現(xiàn)cosA是0，那角A就是90度，所以△ABC是直角三角形。這題要培養(yǎng)你們數(shù)形結合的能力，不能只埋頭算數(shù)字。8.（本小題滿分10分）在△ABC中，若角A=30°，角C=60°，邊a=6，求△ABC的面積。解析：孩子們，這題可以用正弦定理求出邊b和邊c，然后用三角形面積公式S=1/2absinC來求面積。但更簡單的方法是直接用角A和邊a來求面積，公式是S=1/2a2sinBsinC。把數(shù)字一一代進去，就能求出面積是9√3。注意啊，解三角形問題要靈活選擇公式，不能死記硬背。9.（本小題滿分10分）在△ABC中，若角B=75°，角C=45°，邊b=10，求邊a和邊c的長度，以及△ABC的周長。解析：這題我讓你們先用三角形內角和定理求出角A是60度，然后根據(jù)正弦定理sinA/a=sinB/b，求出邊a是10√3/√3+1，接著用正弦定理sinC/c=sinB/b，求出邊c是10√2/√2+1。最后把a、b、c加起來，就能求出周長是10+10√3/√3+1+10√2/√2+1。注意啊，正弦定理可以用來求三角形的邊長，但要注意運算的準確性。10.（本小題滿分10分）在△ABC中，若邊a=3，邊b=5，邊c=7，求cosB和cosC的值，并判斷角B和角C的大小關系。解析：孩子們，這題得用余弦定理分別求出cosB和cosC。我讓你們算出cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=-1/2，cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=3/4。因為cosB小于cosC，所以角B大于角C。這題要培養(yǎng)你們綜合運用知識的能力，不能只算出結果就結束了。四、解答題（本大題共5小題，共50分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）11.（本小題滿分10分）在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，邊a=6，求邊b和邊c的長度。解析：這題得用正弦定理sinA/a=sinB/b，sinA/a=sinC/c，先把角C算出來是75度，再求出邊b和邊c。注意啊，正弦定理和余弦定理經(jīng)常要結合用，孩子們得靈活。12.（本小題滿分10分）在△ABC中，若邊a=5，邊b=7，邊c=8，求角A、角B和角C的大小，并判斷△ABC的形狀。解析：這題得用余弦定理分別求出cosA、cosB和cosC，然后根據(jù)余弦函數(shù)的性質判斷角的范圍。發(fā)現(xiàn)cosA是3/8，cosB是-1/2，cosC是15/16，所以角A是68.2度，角B是120度，角C是91.8度，△ABC是鈍角三角形。13.（本小題滿分10分）在△ABC中，若角A=30°，角C=60°，邊a=4，求△ABC的面積。解析：這題可以直接用角A和邊a來求面積，公式是S=1/2a2sinBsinC。把數(shù)字一一代進去，就能求出面積是4√3/3。注意啊，解三角形問題要靈活選擇公式，不能死記硬背。14.（本小題滿分10分）在△ABC中，若角B=75°，角C=45°，邊b=8，求邊a和邊c的長度，以及△ABC的周長。解析：這題得先用三角形內角和定理求出角A是60度，然后根據(jù)正弦定理sinA/a=sinB/b，求出邊a是8√3/√3+1，接著用正弦定理sinC/c=sinB/b，求出邊c是8√2/√2+1。最后把a、b、c加起來，就能求出周長是8+8√3/√3+1+8√2/√2+1。15.（本小題滿分10分）在△ABC中，若邊a=4，邊b=6，邊c=8，求cosA、cosB和cosC的值，并判斷角A、角B和角C的大小關系。解析：這題得用余弦定理分別求出cosA、cosB和cosC。我讓你們算出cosA是1/2，cosB是-1/4，cosC是-1/8。因為cosA大于cosB大于cosC，所以角A小于角B小于角C。五、解答題（本大題共5小題，共50分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.（本小題滿分10分）在△ABC中，若角A=120°，角B=45°，邊a=10，求邊b和邊c的長度。解析：這題得用余弦定理和正弦定理結合求解。先用余弦定理求出cosA是-1/2，然后代入余弦定理的公式，b2=a2+c2-2accosA，c2=a2+b2-2abcosA，得到兩個方程，解方程組就能求出b和c的值。注意啊，解這種含鈍角的三角形問題，一定要先判斷角的范圍，再選擇合適的定理。17.（本小題滿分10分）在△ABC中，若邊a=3，邊b=5，邊c=7，求角A、角B和角C的大小，并判斷△ABC的形狀。解析：這題得用余弦定理分別求出cosA、cosB和cosC。我讓你們算出cosA是1/2，cosB是-1/2，cosC是-1/14。因為cosA大于cosB大于cosC，所以角A小于角B小于角C。又因為cosA是1/2，所以角A是60度，cosB是-1/2，所以角B是120度，cosC是-1/14，所以角C是108.43度，△ABC是鈍角三角形。18.（本小題滿分10分）在△ABC中，若角A=30°，角C=60°，邊a=5，求△ABC的面積。解析：這題可以直接用角A和邊a來求面積，公式是S=1/2a2sinBsinC。把數(shù)字一一代進去，就能求出面積是25√3/4。注意啊，解三角形問題要靈活選擇公式，不能死記硬背。19.（本小題滿分10分）在△ABC中，若角B=75°，角C=45°，邊b=9，求邊a和邊c的長度，以及△ABC的周長。解析：這題得先用三角形內角和定理求出角A是60度，然后根據(jù)正弦定理sinA/a=sinB/b，求出邊a是9√3/√3+1，接著用正弦定理sinC/c=sinB/b，求出邊c是9√2/√2+1。最后把a、b、c加起來，就能求出周長是9+9√3/√3+1+9√2/√2+1。20.（本小題滿分10分）在△ABC中，若邊a=2，邊b=3，邊c=4，求cosB和cosC的值，并判斷角B和角C的大小關系。解析：這題得用余弦定理分別求出cosB和cosC。我讓你們算出cosB是-1/4，cosC是0。因為cosB小于cosC，所以角B大于角C。這題要培養(yǎng)你們綜合運用知識的能力，不能只算出結果就結束了。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.C解析：三角形內角和為180度，A+B+C=180，A=60，B=45，所以C=180-60-45=75度。2.A解析：用余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，代入a=3，b=4，C=60度，得c2=9+16-24*1/2=13，所以c=√13。3.A解析：內角和為180度，比例是2:3:4，所以2x+3x+4x=180，x=20，A=2x=40度，cos40度約等于1/2。4.A解析：用余弦定理cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)，代入a=5，b=7，c=8，得cosA=(49+64-25)/(2*7*8)=48/112=3/7，角A約等于30度。5.B解析：用正弦定理sinA/a=sinB/b，代入A=30度，a=2，B=120度，得sin120度/2=sin30度/b，b=2sin120度/sin30度=2*√3/2=√3。6.A解析：用余弦定理cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)，代入a=6，b=8，c=10，得cosA=(64+100-36)/(2*8*10)=128/160=4/5，角A是銳角，cosA=4/5。7.B解析：用正弦定理sinA/a=sinC/c，代入A=60度，a=√2，C=45度，得sin45度/√2=sin60度/c，c=√2*sin60度/sin45度=√6，b=√2*sin45度/sin45度=√2，b>c。8.C解析：用正弦定理sinA/a=sinB/b，代入A=30度，a=√2，B=45度，得sin45度/√2=sin30度/b，b=√2*sin30度/sin45度=1，面積S=1/2absinC=1/2*√2*1*sin120度=√3/2。9.B解析：用余弦定理cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)，代入a=3，b=5，c=7，得cosB=(9+49-25)/(2*3*7)=33/42=-1/2。10.B解析：用正弦定理sinA/a=sinB/b，代入A=60度，a=4，B=75度，得sin75度/4=sin60度/b，b=4*sin60度/sin75度=4*√3/(√3+1)=4√2。二、填空題答案及解析1.2√3解析：內角和為180度，A=45，C=75，所以B=180-45-75=60度，用正弦定理sin45度/√6=sin60度/c，c=√6*sin60度/sin45度=2√3。2.3/8解析：用余弦定理cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)，代入a=5，b=7，c=8，得cosA=(49+64-25)/(2*7*8)=48/112=3/8。3.√3解析：內角和為180度，比例是2:3:7，所以2x+3x+7x=180，x=15，A=30，B=45，C=105度，用正弦定理sin30度/2=sin45度/b，b=2*sin45度/sin30度=√2，sin105度/2=sin30度/c，c=2*sin30度/sin105度=1/√2，面積S=1/2*√2*1*sin105度=√3。4.7解析：用余弦定理cosC=1/2，得a2=b2+c2-2bccosC，代入a=3，b=5，得9=25+c2-10c，解得c=7。5.4+√3解析：內角和為180度，A=30，B=45，所以C=105度，用正弦定理sin30度/√3=sin45度/b，b=√3*sin45度/sin30度=2√2，sin105度/√3=sin45度/c，c=√3*sin45度/sin105度=√2，周長a+b+c=√3+2√2+√2=4+√3。三、解答題答案及解析1.c=√19，A=63.43度解析：用余弦定理cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)，代入A=120度，b=7，a=8，得cos120度=(49+c2-64)/(2*7*c)，解得c2=85+7c，解得c=√19，再用正弦定理sin120度/8=sinB/7，得sinB=7*sin120度/8，B=30度，所以C=180-120-30=30度。或用正弦定理sin120度/8=sinC/7，得sinC=7*sin120度/8，C=30度，所以B=180-120-30=30度。2.b=4√3，面積=6√2解析：用正弦定理sinA/a=sinB/b，代入A=45度，a=4，B=75度，得sin75度/4=sin45度/b，b=4*sin45度/sin75度=4*√2/(√3+1)=4√3，面積S=1/2*4*4√3*sin60度=6√2。3.A=90度，B=60度，C=30度，直角三角形解析：用余弦定理cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)，代入a=5，b=7，c=8，得cosA=(49+64-25)/(2*7*8)=48/112=3/7，角A是銳角，cosA=3/7，角A約等于90度。cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)，代入a=5，b=7，c=8，得cosB=(25+64-49)/(2*5*8)=40/80=1/2，角B是銳角，cosB=1/2，角B=60度。cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)，代入a=5，b=7，c=8，得cosC=(25+49-64)/(2*5*7)=10/70=1/7，角C是銳角，cosC=1/7，角C=30度。所以△ABC是直角三角形。4.b=4√3，c=2√3解析：用正弦定理sinA/a=sinB/b，代入A=30度，a=√6，B=75度，得sin75度/√6=sin30度/b，b=√6*sin30度/sin75度=2√3，用正弦定理sinA/a=sinC/c，代入A=30度，a=√6，C=60度，得sin60度/√6=sin30度/c，c=√6*sin30度/sin60度=√2。5.cosB=-1/2，cosC=3/4，B>C解析：用余弦定理cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)，代入a=3，b=5，c=7，得cosB=(9+49-25)/(2*3*7)=33/42=-1/2。cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)，代入a=3，b=5，c=7，得cosC=(9+25-49)/(2*3*5)=-15/30=3/4。因為cosB小于cosC，所以角B大于角C。四、解答題答案及解析11.b=4√3，c=4√6/3解析：用余弦定理cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)，代入A=45度，a=6，得cos45度=(b2+c2-36)/(2bc)，解得b2+c2=72+2bc*√2/2=72+bc*√2，又用余弦定理cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)，代入B=60度，a=6，得cos60度=(36+c2-b2)/(2*6*c)，解得c2-b2=12-6c*1/2=6-3c，聯(lián)立方程b2+c2=72+bc*√2，c2-b2=6-3c，解得b=4√3，c=4√6/3。12.A=68.2度，B=120度，C=91.8度，鈍角三角形解析：用余弦定理cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)，代入a=5，b=7，c=8，得cosA=(49+64-25)/(2*7*8)=48/112=3/7，角A是銳角，cosA=3/7，角A約等于68.2度。cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)，代入a=5，b=7，c=8，得cosB=(25+64-49)/(2*5*8)=40/80=1/2，角B是銳角，cosB=1/2，角B=120度。cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)，代入a=5，b=7，c=8，得cosC=(25+49-64)/(2*5*7)=10/70=1/7，角C是銳角，cosC=1/7，角C約等于91.8度。所以△ABC是鈍角三角形。13.面積=6√3/4解析：用正弦定理sinA/a=sinB/b，代入A=30度，a=4，B=60度，得sin60度/4=sin30度/b，b=4*sin30度/sin60度=2√3，用正弦定理sinA/a=sinC/c，代入A=30度，a=4，C=90度，得sin90度/4=sin30度/c，c=4*sin30度/sin90度=2，面積S=1/2*4*2√3*sin60度=6√3/4。14.a=8√3/√3+1，c=8√2/√2+1，周長=8+8√3/√3+1+8√2/√2+1解析：用正弦定理sinA/a=sinB/b，代入A=60度，a=8，B=75度，得sin75度/8=sin60度/a，a=8*sin60度/sin75度=8√3/√3+1，用正弦定理sinC/c=sinB/b，代入B=75度，b=8，C=45度，得sin45度/8=sin75度/c，c=8*sin45度/sin75度=8√2/√2+1，周長a+b+c=8+8√3/√3+1+8√2/√2+1。15.cosA=1/2，cosB=-1/4，cosC=-1/8，A<B<C解析：用余弦定理cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)，代入a=4，b=6，c=8，得cosA=(36+64-16)/(2*6*8)=84/96=7/8，角A是銳角，cosA=7/8。cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)，代入a=4，b=6，c=8，得cosB=(16+64-36)/(2*4*6)=44/48=11/12，角B是銳角，cosB=11/12。cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)，代入a=4，b=6，c=8，得cosC=(16+36-64)/(2*4*6)=-12/48=-1/4，角C是銳角，cosC=-1/4。因為cosA>cosB>cosC，所以角A<角B<角C。五、解答題答案及解析16.b=2√7，c=4√3/3解析：用余弦定理cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)，代入A=120度，a=10，得cos120度=(b2+c2-100)/(2bc)，解得b2+c2=-20-2bc*(-1/2)=-20+bc，又用余弦定理cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)，代入B=45度，a=10，得cos45度=(100+c2-b2)/(2*10*c)，解