第33頁（共33頁）2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識點(diǎn)分類匯編之平面向量及其應(yīng)用（四）一．選擇題（共5小題）1．（2021?甲卷）在△ABC中，已知B＝120°，AC=19，AB＝2，則BCA．1 B．2 C．5 D．32．（2021?乙卷）魏晉時(shí)期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海島的高．如圖，點(diǎn)E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”，則海島的高AB＝（）A．表高×表距B．表高×表距C．表高×表距D．表高×3．（2021?甲卷）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'滿足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°．由C點(diǎn)測得B點(diǎn)的仰角為15°，BB'與CC'的差為100；由B點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為45°，則A，C兩點(diǎn)到水平面A'B'C'的高度差A(yù)A'﹣CC'約為（）（3≈1.732A．346 B．373 C．446 D．4734．（2021?上海）在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，E為AD中點(diǎn)，則以下結(jié)論：①存在△ABC，使得AB→?CE→=0；②存在△ABCA．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立5．（2021?全國）已知向量a→=（cosθ，sinθ），b→=（3，﹣4），則A．7 B．5 C．4 D．1二．填空題（共6小題）6．（2022?上海）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊BC上，則MP→?CP→的最小值為7．（2022?天津）在△ABC中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足CB→=2BE→．記CA→=a→，CB→=b→，用a→，b→表示DE→=8．（2022?浙江）設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形A1A2…A8的邊A1A2上，則PA1→2+PA2→2+?9．（2022?甲卷）設(shè)向量a→，b→的夾角的余弦值為13，且|a→|＝1，|b→|＝3，則（2a→+10．（2022?上海）若平面向量|a→|＝|b→|＝|c→|＝λ，且滿足a→?b→=0，a→?c→=2，b→?11．（2021?乙卷）已知向量a→=（2，5），b→=（λ，4），若a→∥b→，則λ三．解答題（共9小題）12．（2022?浙江）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知4a=5c，cosC=（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若b＝11，求△ABC的面積．13．（2022?新高考Ⅰ）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosA1+（1）若C=2π3（2）求a214．（2022?新高考Ⅱ）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為S1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3=32，sinB（1）求△ABC的面積；（2）若sinAsinC=23，求15．（2022?北京）在△ABC中，sin2C=3sinC（Ⅰ）求∠C；（Ⅱ）若b＝6，且△ABC的面積為63，求△ABC的周長．16．（2022?天津）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知a=6，b＝2c，cosA=（1）求c的值；（2）求sinB的值；（3）求sin（2A﹣B）的值．17．（2022?乙卷）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．（1）證明：2a2＝b2+c2；（2）若a＝5，cosA=2531，求△18．（2022?乙卷）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．（1）若A＝2B，求C；（2）證明：2a2＝b2+c2．19．（2022?全國）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA＝3sinB，C=π3，c（1）求a；（2）求sinA．20．（2022?上海）如圖，在同一平面上，AD＝BC＝6，AB＝20，O為AB中點(diǎn)，曲線CD上任一點(diǎn)到O距離相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q關(guān)于OM對稱，MO⊥AB；（1）若點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，求∠POB的大?。唬?）P在何位置，求五邊形MQABP面積S的最大值．

2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識點(diǎn)分類匯編之平面向量及其應(yīng)用（四）參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）題號12345答案DABBB一．選擇題（共5小題）1．（2021?甲卷）在△ABC中，已知B＝120°，AC=19，AB＝2，則BCA．1 B．2 C．5 D．3【考點(diǎn)】余弦定理．【專題】計(jì)算題；對應(yīng)思想；定義法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】設(shè)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，利用余弦定理得到關(guān)于a的方程，解方程即可求得a的值，從而得到BC的長度．【解答】解：設(shè)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，結(jié)合余弦定理，可得19＝a2+4﹣2×a×2×cos120°，即a2+2a﹣15＝0，解得a＝3（a＝﹣5舍去），所以BC＝3．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了余弦定理，考查了方程思想，屬基礎(chǔ)題．2．（2021?乙卷）魏晉時(shí)期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海島的高．如圖，點(diǎn)E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”，則海島的高AB＝（）A．表高×表距B．表高×表距C．表高×表距D．表高×【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算．【專題】數(shù)形結(jié)合；方程思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、比例的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．【解答】解：DEAB=EHAH，F(xiàn)GBA解得AE=EH?EGCG-EH，故AB=DE?AH另解：如圖所示，連接FD并延長交AB于點(diǎn)M，表目距的差表高表高×表距表目距的差=表距表目距的差表高=∴AB＝BM+MA=表高故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)、比例的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．3．（2021?甲卷）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'滿足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°．由C點(diǎn)測得B點(diǎn)的仰角為15°，BB'與CC'的差為100；由B點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為45°，則A，C兩點(diǎn)到水平面A'B'C'的高度差A(yù)A'﹣CC'約為（）（3≈1.732A．346 B．373 C．446 D．473【考點(diǎn)】解三角形．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；解三角形；數(shù)學(xué)建模．【答案】B【分析】本題要注意各個(gè)三角形不共面，在每個(gè)三角形中利用正弦定理求邊長，進(jìn)而找到高度差．【解答】解：過C作CH⊥BB′于H，過B作BM⊥AA′于M，則∠BCH＝15°，BH＝100，∠ABM＝45°，CH＝C′B′，A′B′＝BM＝AM，BB′＝MA′，∠C′A′B′＝75°∴tan∠BCH＝tan15°＝tan（45°﹣30°）=tan45°-tan30°1+tan45°tan30°=2-則在Rt△BCH中，CH=BHtan∠BCH=100（2+3），∴C′B在△A′B′C′中，由正弦定理知，A′B′=C'B'sin∠C'A'B'∴AA′﹣CC′＝AM+BH＝100（3+1）+100≈373故選：B．【點(diǎn)評】理解仰角的概念，各個(gè)三角形不共面，因此做好輔助線是關(guān)鍵．4．（2021?上海）在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，E為AD中點(diǎn)，則以下結(jié)論：①存在△ABC，使得AB→?CE→=0；②存在△ABCA．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】存在型；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】設(shè)A（2x，2y），B（﹣1，0），C（1，0），D（0，0），E（x，y），由向量數(shù)量的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷①；F為AB中點(diǎn)，可得（CB→+CA→）＝2CF→，由D為BC中點(diǎn)，可得CF與【解答】解：不妨設(shè)A（2x，2y），B（﹣1，0），C（1，0），D（0，0），E（x，y），①AB→=（﹣1﹣2x，﹣2y），CE→=（x﹣若AB→?CE→=0，則﹣（1+2x）（x﹣1）﹣2y2＝0，即﹣（1+2x）（x﹣1滿足條件的（x，y）存在，例如（0，22），滿足上式，所以①②F為AB中點(diǎn)，（CB→+CA→）＝2CF→，CF因?yàn)镚為AD的三等分點(diǎn)，E為AD中點(diǎn)，所以CE→與CG→不共線，即故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，共線向量的判斷，屬于中檔題．5．（2021?全國）已知向量a→=（cosθ，sinθ），b→=（3，﹣4），則A．7 B．5 C．4 D．1【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；平面向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】利用向量的數(shù)量積，結(jié)合輔助角公式，利用三角函數(shù)的有界性求解最值即可．【解答】解：向量a→=（cosθ，sinθ），b→=（則a→?b→=3cosθ﹣4sinθ＝5cos（θ+φ），其中tan∵5cos（θ+φ）≤5，∴a→?b→的最大值是故選：B．【點(diǎn)評】本題考查向量的數(shù)量積的求法，輔助角公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．二．填空題（共6小題）6．（2022?上海）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊BC上，則MP→?CP→的最小值為-9【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】-9【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出MP→?CP→=2x2﹣3【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系如下，則B（2，0），C（0，2），M（1，0），直線BC的方程為x2+y2=1，即x點(diǎn)P在直線上，設(shè)P（x，2﹣x），∴MP→=（x﹣1，2﹣x），CP→=（∴MP→?CP→=x（x﹣1）﹣x（2﹣x）＝2x2﹣3x＝∴MP→?CP→的最小值為故答案為：-9【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了二次函數(shù)求最值，屬于中檔題．7．（2022?天津）在△ABC中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足CB→=2BE→．記CA→=a→，CB→=b→，用a→，b→表示DE→=3【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由題意，利用兩個(gè)向量加減法及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，基本不等式，求出cosC的最小值，可得∠ACB的最大值．【解答】解：∵△ABC中，CA→=a→，CB→=b→，∴DE→∵AB→=CB→-∴AB→?DE→=（b→-a→）?3b→-a→2即4?a?b?cosC＝a2+3b2，即cosC=a當(dāng)且僅當(dāng)a=3b時(shí)，等號成立，故cosC的最小值為32，故C的最大值為即∠ACB的最大值為π6故答案為：3b→-【點(diǎn)評】本題主要考查兩個(gè)向量加減法及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．8．（2022?浙江）設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形A1A2…A8的邊A1A2上，則PA1→2+PA2→2+?+PA【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；二倍角的三角函數(shù)．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】[12+22，16]．【分析】以圓心為原點(diǎn)，A7A3所在直線為x軸，A5A1所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出正八邊形各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)P（x，y），進(jìn)而得到PA1→2+PA2→2+?+PA8→2＝8（x2+y2）+8，根據(jù)點(diǎn)P的位置可求出【解答】解：以圓心為原點(diǎn)，A7A3所在直線為x軸，A5A1所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A1（0，1），A2(22，22)，A3（1，0），A4(22，-22)，A設(shè)P（x，y），則PA1→2+PA2→2+?+PA8→2＝|PA1|2+|PA2|2+|PA3|2+|PA4|2+|PA5|2+|PA6|2+|PA7|2+|PA8∵cos22.5°≤|OP|≤1，∴1+cos∴2+2∴12+22≤8（x2+y2）+8≤即PA1→2+PA2→2+故答案為：[12+22，16]．【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)，考查了學(xué)生分析問題和轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．9．（2022?甲卷）設(shè)向量a→，b→的夾角的余弦值為13，且|a→|＝1，|b→|＝3，則（2a→+【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】首先計(jì)算a→【解答】解：由題意可得a→則(2a故答案為：11．【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的定義，平面向量的運(yùn)算法則等知識，屬于中等題．10．（2022?上海）若平面向量|a→|＝|b→|＝|c→|＝λ，且滿足a→?b→=0，a→?c→=2，b→?【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；對應(yīng)思想；分析法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】4【分析】利用平面向量的數(shù)量積進(jìn)行分析，即可得出結(jié)果．【解答】解：由題意，有a→?b→=0，則a→a→?c則②①得，tanθ=由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得：cosθ=2則a→?c→=|a→||λ2=5則λ=故答案為：45【點(diǎn)評】本題考查平面向量的數(shù)量積，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．11．（2021?乙卷）已知向量a→=（2，5），b→=（λ，4），若a→∥b→，則λ【考點(diǎn)】平面向量的相等與共線．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)題意，由a→∥b→，可得關(guān)于λ的方程，再求出【解答】解：因?yàn)閍→=（2，5），b→=（λ，4），所以8﹣5λ＝0，解得λ=8故答案為：85【點(diǎn)評】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，涉及向量的坐標(biāo)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．三．解答題（共9小題）12．（2022?浙江）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知4a=5c，cosC=（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若b＝11，求△ABC的面積．【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算；正弦定理；余弦定理．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（Ⅰ）根據(jù)cosC=35，確定C的范圍，再求出sinC，由正弦定理可求得sin（Ⅱ）根據(jù)A，C的正、余弦值，求出sinB，再由正弦定理求出a，代入面積公式計(jì)算即可．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)閏osC=35＞0，所以C∈（0，π2），且由正弦定理可得：asinA即有sinA=asinCc=a（Ⅱ）因?yàn)?a=5c?a=54c所以A＜C，故A∈（0，π2又因?yàn)閟inA=55，所以cosA所以sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC=11由正弦定理可得：asinA=c所以a＝55sinA＝5，所以S△ABC=12absinC=12×5【點(diǎn)評】本題考查了解三角形中正弦定理、面積公式，屬于基礎(chǔ)題．13．（2022?新高考Ⅰ）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosA1+（1）若C=2π3（2）求a2【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理；余弦定理．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形內(nèi)角和定理即可得出B．（2）利用誘導(dǎo)公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵cosA1+sinA=sin2B1+cos2B，1+cos2B＝2cos∴cosA1+化為：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，∴cos（B+A）＝sinB，∴﹣cosC＝sinB，C=2∴sinB=1∵0＜B＜π3，∴B（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，可得C為鈍角，∴sin（C-π2）＝sin∴B＝C-π在三角形中，sinA＝sin（B+C）＝sin（2C-π2）＝﹣cos2a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin∴a2+b2c【點(diǎn)評】本題考查了倍角公式、和差公式、三角形內(nèi)角和定理、余弦定理、基本不等式、轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．14．（2022?新高考Ⅱ）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為S1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3=32，sinB（1）求△ABC的面積；（2）若sinAsinC=23，求【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【專題】計(jì)算題；解三角形；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）28；（2）1【分析】（1）根據(jù)S1﹣S2+S3=32，求得a2﹣b2+c2＝2，由余弦定理求得ac的值，根據(jù)S=12acsin（2）由正弦定理得∴a=bsinAsinB，c=bsinCsinB【解答】解：（1）S1=12a2sin60°=3S2=12b2sin60°=3S3=12c2sin60°=3∵S1﹣S2+S3=34a2-34b2+解得：a2﹣b2+c2＝2，∵sinB=13，a2﹣b2+c2＝2＞0，即cosB＞∴cosB=2∴cosB=a解得：ac=3S△ABC=12acsinB∴△ABC的面積為28（2）由正弦定理得：bsinB∴a=bsinAsinB，c由（1）得ac=3∴ac=bsinAsinB已知，sinB=13，sinAsinC解得：b=1方法二、由acsinAsinC=94=（即有2R=32，即b＝2RsinB【點(diǎn)評】本題考查利用正余弦定理解三角形，需靈活運(yùn)用正余弦定理公式．15．（2022?北京）在△ABC中，sin2C=3sinC（Ⅰ）求∠C；（Ⅱ）若b＝6，且△ABC的面積為63，求△ABC的周長．【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】（Ⅰ）π6；（Ⅱ）6+63【分析】（Ⅰ）根據(jù)二倍角公式化簡可得cosC，進(jìn)一步計(jì)算可得角C；（Ⅱ）根據(jù)三角形面積求得a，再根據(jù)余弦定理求得c，相加可得三角形的周長．【解答】解：（Ⅰ）∵sin2C=3sinC∴2sinCcosC=3sinC又sinC≠0，∴2cosC=3∴cosC=32，∵0＜C＜∴C=π（Ⅱ）∵△ABC的面積為63，∴12absinC＝63又b＝6，C=π∴12×a×6×1∴a＝43，又cosC=a∴32∴c＝23，∴a+b+c＝6+63，∴△ABC的周長為6+63．【點(diǎn)評】本題考查了三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．16．（2022?天津）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知a=6，b＝2c，cosA=（1）求c的值；（2）求sinB的值；（3）求sin（2A﹣B）的值．【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算；兩角和與差的三角函數(shù)；正弦定理；余弦定理．【專題】整體思想；綜合法；解三角形；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）c＝1；（2）sinB=10（3）sin（2A﹣B）的值為108【分析】（1）由余弦定理及題中條件可得c邊的值；（2）由正弦定理可得sinC的值，再由b＝2c及正弦定理可得sinB的值；（3）求出2A及B角的正余弦值，由兩角差的正弦公式可得2A﹣B的正弦值．【解答】解（1）因?yàn)閍=6，b＝2c，cosA=由余弦定理可得cosA=b解得：c＝1；（2）cosA=-14，A∈（0，π），所以sin由b＝2c，可得sinB＝2sinC，由正弦定理可得asinA=c可得sinC=10所以sinB＝2sinC＝2×10（3）因?yàn)閏osA=-14，sin所以sin2A＝2sinAcosA＝2×（-14）×154=-158，cos2A＝2cos2A﹣sinB=104，由A為鈍角，可得cosB所以sin（2A﹣B）＝sin2AcosB﹣cos2AsinB=-158×6所以sin（2A﹣B）的值為108【點(diǎn)評】本題考查正余弦定理及兩角差的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．17．（2022?乙卷）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．（1）證明：2a2＝b2+c2；（2）若a＝5，cosA=2531，求△【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】（1）見解析．（2）14．【分析】（1）利用兩角差與和的正弦公式，三角形內(nèi)角和公式，正弦和余弦定理，即可求得結(jié)論；（2）利用（1）中結(jié)論求出b2+c2和2bc的值，即可求出△ABC的周長．【解答】（1）證明：△ABC中，sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A），所以sinC（sinAcosB﹣cosAsinB）＝sinB（sinCcosA﹣cosCsinA），所以sinAsinBcosC+sinAcosBsinC＝2cosAsinBsinC，即sinA（sinBcosC+cosBsinC）＝2cosAsinBsinC，所以sinAsin（B+C）＝2cosAsinBsinC，由正弦定理得a2＝2bccosA，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，所以2a2＝b2+c2；（2）當(dāng)a＝5，cosA=2531時(shí)，b2+c2＝2×52＝50，2bc=所以（b+c）2＝b2+c2+2bc＝50+31＝81，解得b+c＝9，所以△ABC的周長為a+b+c＝5+9＝14．【點(diǎn)評】本題考查了三角恒等變換與解三角形的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力與推理證明能力，是中檔題．18．（2022?乙卷）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．（1）若A＝2B，求C；（2）證明：2a2＝b2+c2．【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理；余弦定理．【專題】方程思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】（1）5π8；（【分析】（1）由sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A），結(jié)合A＝2B，可得sinC＝sin（C﹣A），即C+C﹣A＝π，再由三角形內(nèi)角和定理列式求解C；（2）把已知等式展開兩角差的正弦，由正弦定理及余弦定理化角為邊即可證明結(jié)論．【解答】解：（1）由sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A），又A＝2B，∴sinCsinB＝sinBsin（C﹣A），∵sinB≠0，∴sinC＝sin（C﹣A），即C＝C﹣A（舍去）或C+C﹣A＝π，聯(lián)立A=2B2C證明：（2）由sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A），得sinCsinAcosB﹣sinCcosAsinB＝sinBsinCcosA﹣sinBcosCsinA，由正弦定理可得accosB﹣bccosA＝bccosA﹣abcosC，由余弦定理可得：ac?a2整理可得：2a2＝b2+c2．【點(diǎn)評】本題考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．19．（2022?全國）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA＝3sinB，C=π3，c（1）求a；（2）求sinA．【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】（1）3．（2）321【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，以及余弦定理，即可求解．（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，以及正弦定理，即可求解．【解答】解：（1）∵sinA＝3sinB，∴由正弦定理可得，a＝3b，∴由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2abcosC，即7＝9b2+b2﹣3b2，解得b＝1，∴a＝3．（2）∵a＝3，C=π3，c∴sinA=【點(diǎn)評】本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．20．（2022?上海）如圖，在同一平面上，AD＝BC＝6，AB＝20，O為AB中點(diǎn)，曲線CD上任一點(diǎn)到O距離相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q關(guān)于OM對稱，MO⊥AB；（1）若點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，求∠POB的大小；（2）P在何位置，求五邊形MQABP面積S的最大值．【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；邏輯思維．【答案】（1）∠POB的大小為arcsin33（2）P點(diǎn)在劣弧CM中點(diǎn)或劣弧DM的中點(diǎn)位置時(shí)，S的最大值為2874．【分析】（1）在△OBC中，直接利用余弦定理求出OP，再結(jié)合正弦定理求解；（2）利用五邊形CDQMP的對稱性，將所求的面積化為四邊形PMNC的面積計(jì)算問題，充分利用圓弧的性質(zhì)，找到最大值點(diǎn)，從而解決問題．【解答】解：（1）點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，由題意可得OB＝10，BC＝6，∠ABC＝120°，由余弦定理可得OP2＝OB2+BC2﹣2OB?BCcos∠ABC＝36+100﹣2×6×10×（-12）＝所以O(shè)P＝14，在△OBP中，由正弦定理得OPsin所以1432=6sin∠所以∠POB的大小為arcsin33（2）如圖，連結(jié)QA，PB，OQ，OP，∵曲線CMD上任意一點(diǎn)到O距離相等，∴OP＝OQ＝OM＝OC＝14，∵P，Q關(guān)于OM對稱，∴P點(diǎn)在劣弧CM中點(diǎn)或劣弧DM的中點(diǎn)位置，∠QOM＝∠POM＝α，則∠AOQ＝∠BOP=π則五邊形面積S＝2（S△AOQ+S△QOM）＝2[12＝196sinα+140cosα＝2874sin（α+φ），其中tanφ=5當(dāng)sin（α+φ）＝1時(shí)，S五邊形MQABP取最大值2874，∴五邊形MQABP面積S的最大值為2874．【點(diǎn)評】本題考查了扇形的性質(zhì)、正、余弦定理和面積公式在解三角形問題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算能力等，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．兩角和與差的三角函數(shù)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα2．二倍角的三角函數(shù)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】二倍角的正弦其實(shí)屬于正弦函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：sin2α＝2sinα?cosα；其可拓展為1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其實(shí)屬于余弦函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其實(shí)屬于正切函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：tan2α=2【解題方法點(diǎn)撥】例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是π．解：∵y＝sin2x+2sinxcosx=1-cos＝sin2x-12cos2=52sin（2x+φ）+12，（∴其周期T=2π故答案為：π．這個(gè)簡單的例題的第二個(gè)式子就是一個(gè)二倍角的轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換過后又使用了和差化積的相關(guān)定理，這也可以看得出三角函數(shù)的題一般都涉及到幾個(gè)公式，而且公式之間具有一定的相似性，所以大家要熟記各種公式．【命題方向】本考點(diǎn)也是一個(gè)很重要的考點(diǎn)，在高考中考查的也比較多，這里面需要各位同學(xué)多加練習(xí)，熟記各種公式．3．平面向量的相等與共線【知識點(diǎn)的認(rèn)識】相等向量的定義：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量．共線向量的定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量．規(guī)定：零向量與任一向量平行．注意：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等．表示共線向量的有向線段不一定在同一直線上，向量可以平移．【解題方法點(diǎn)撥】平行向量與相等向量的關(guān)系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向線段表示平行向量時(shí)，向量所在的直線重合或平行；（2）平行向量要求兩個(gè)向量均為非零向量，規(guī)定：零向量與任一向量平行．相等向量則沒有這個(gè)限制，零向量與零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一組平行向量移動到同一直線上．因此，平行向量也叫做共線向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【命題方向】了解向量的實(shí)際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、相等向量、單位向量等概念，理解向量的幾何表示．命題形式只要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，有時(shí)候會與向量的坐標(biāo)運(yùn)算等其它知識結(jié)合考察．4．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)a→，b→都是非零向量，e→是與b→方向相同的單位向量，a→（1）a→?e→=（2）a→⊥b→（3）當(dāng)a→，b→方向相同時(shí)，a→?b→=|a→||b→|；當(dāng)a→特別地：a→?a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→?b→|≤|2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）交換律：a→（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λa→）?b→=λ（a→?（3）分配律：（a→?b→）?平面向量數(shù)量積的運(yùn)算平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為①（a→±b→）2=a→2±2a→?b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解題方法點(diǎn)撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①“mn＝nm”類比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“c→≠0，④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“|a→?b→|＝|a→|⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（a→?b⑥“acbc=ab”類比得到a→?c解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類比得到“a→即①正確；∵向量的數(shù)量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b即②正確；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，即③錯(cuò)誤；∵|a→?b→|≠|(zhì)a→|∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“|a→?b→|＝|a→|即④錯(cuò)誤；∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（a→?b即⑤錯(cuò)誤；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴acbc=ab即⑥錯(cuò)誤．故答案為：①②．向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“a→?b→=b→?a→”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b→）?c→=a→?c→+b→?c→”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，a→?c→=b→?c→?a→=c→”；|a→?b→|≠|(zhì)a→|【命題方向】本知識點(diǎn)應(yīng)該所有考生都要掌握，這個(gè)知識點(diǎn)和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個(gè)常考點(diǎn)，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點(diǎn)，希望大家都掌握．5．?dāng)?shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系【知識點(diǎn)的認(rèn)識】向量是有方向的，那么在一個(gè)空間內(nèi)，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．當(dāng)兩條向量的方向互相垂直的時(shí)候，我們就說這兩條向量垂直．假如a→=（1，0，1），b→=（2，0，﹣2），那么a→與b→垂直，有a→?b→=1【解題方法點(diǎn)撥】例：與向量(-35A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）解：對于A：∵(-35，45)?（3，﹣4）對于B：∵(-35，45)?（﹣4，3對于C：∵(-35，45)?（4，3對于D：∵(-35，45)?（4，﹣3故選：C．點(diǎn)評：分別求出向量(-35，45)和A，B，C【命題方向】向量垂直是比較喜歡考的一個(gè)點(diǎn)，主要性質(zhì)就是垂直的向量積為0，希望大家熟記這個(gè)關(guān)系并靈活運(yùn)用．6．正弦定理【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容asinA=（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC變形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角在△ABC中，已知a，b和角A時(shí)，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解由上表可知，當(dāng)A為銳角時(shí)，a＜bsinA，無解．當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，a≤b，無解．2、三角形常用面積公式1．S=12a?ha（ha表示邊2．S=12absinC=12acsinB=3．S=12r（a+b+c）（【解題方法點(diǎn)撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識（1）測距離問題：測量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問題，再運(yùn)用正弦定理解決；②測量兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問題．（2）測量高度問題：解題思路：①測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題，由于底部不可到達(dá)，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．②對于頂部不可到達(dá)的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點(diǎn)撥：在測量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時(shí)，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時(shí)，稱為俯角．7．余弦定理【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容asinA=（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C變形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角【解題方法點(diǎn)撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識（1）測距離問題：測量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問題，再運(yùn)用正弦定理解決；②測量兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問題．（2）測量高度問題：解題思路：①測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題，由于底部不可到達(dá)，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．②對于頂部不可到達(dá)的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點(diǎn)撥：在測量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平