2025年中考試題：幾何圖形強(qiáng)化篇——四邊形的對角線性質(zhì)證明考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在四邊形ABCD中，如果對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且AO=OC，BO=OD，那么四邊形ABCD一定是（）。A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形2.已知四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且AO=CO，BO=DO，那么下列結(jié)論中正確的是（）。A.四邊形ABCD是平行四邊形B.四邊形ABCD是矩形C.四邊形ABCD是菱形D.四邊形ABCD是正方形3.在四邊形ABCD中，如果對角線AC平分BD，那么四邊形ABCD一定是（）。A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形4.如果四邊形ABCD的對角線AC和BD互相垂直，且AC=BD，那么四邊形ABCD一定是（）。A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形5.在四邊形ABCD中，如果對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且AO=BO=CO=DO，那么四邊形ABCD一定是（）。A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形6.已知四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且AB=AD，BC=CD，那么四邊形ABCD一定是（）。A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形7.在四邊形ABCD中，如果對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且AO=CO，BO=DO，且AB=AD，那么四邊形ABCD一定是（）。A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形8.如果四邊形ABCD的對角線AC和BD互相垂直，且AO=CO，BO=DO，那么四邊形ABCD一定是（）。A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形9.在四邊形ABCD中，如果對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且AO=CO，BO=DO，且AC=BD，那么四邊形ABCD一定是（）。A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形10.已知四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且AB=BC=CD=DA，那么四邊形ABCD一定是（）。A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。）11.在平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，如果AO=6cm，BO=8cm，那么四邊形ABCD的周長是________cm。12.已知四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且AO=CO，BO=DO，如果AB=5cm，BC=7cm，那么四邊形ABCD的面積是________cm2。13.在矩形ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，如果AO=8cm，那么四邊形ABCD的面積是________cm2。14.已知四邊形ABCD的對角線AC和BD互相垂直，且AC=10cm，BD=12cm，那么四邊形ABCD的面積是________cm2。15.在菱形ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，如果AO=6cm，BO=8cm，那么四邊形ABCD的面積是________cm2。三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。）16.在四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且AO=CO，BO=DO。求證：四邊形ABCD是平行四邊形。證明：在ΔAOB和ΔCOD中，AO=CO（已知），BO=DO（已知），AB=CD（對邊相等），所以ΔAOB≌ΔCOD（SSS），因此∠AOB=∠COD（全等三角形的對應(yīng)角相等），又因為AO和CO是對角線AC的兩部分，BO和DO是對角線BD的兩部分，所以對角線AC和BD互相平分，所以四邊形ABCD是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）。17.已知四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且AB=AD，BC=CD。求證：四邊形ABCD是菱形。證明：在ΔABO和ΔADO中，AB=AD（已知），AO=AO（公共邊），BO=DO（已知），所以ΔABO≌ΔADO（SSS），因此∠BAO=∠DAO（全等三角形的對應(yīng)角相等），又因為對角線AC把四邊形ABCD分成兩個全等的三角形ΔABO和ΔADO，所以∠BAO=∠DAO，因此對角線AC平分∠BAD和∠ADC，同理可證對角線BD也平分∠ABC和∠BCD，所以四邊形ABCD的對角線AC和BD互相垂直平分，所以四邊形ABCD是菱形（對角線互相垂直平分的四邊形是菱形）。18.在矩形ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O。求證：ΔAOB是等腰三角形。證明：因為四邊形ABCD是矩形（已知），所以∠ABC=∠ADC=90°（矩形的每個角都是直角），又因為對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，所以∠BAO=∠DAO（對頂角相等），在ΔAOB和ΔAOD中，AO=AO（公共邊），BO=DO（矩形的對角線互相平分），所以ΔAOB≌ΔAOD（SSS），因此∠AOB=∠AOD（全等三角形的對應(yīng)角相等），又因為∠AOB和∠AOD是對角線AC上的兩個角，且∠AOB+∠AOD=180°（平角定義），所以∠AOB=∠AOD=90°/2=45°，所以AO=BO（等腰三角形的底角相等，對應(yīng)邊相等），因此ΔAOB是等腰三角形（兩邊相等的三角形是等腰三角形）。19.已知四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且AO=CO，BO=DO，AC⊥BD。求證：四邊形ABCD是正方形。證明：因為四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且AO=CO，BO=DO（已知），所以四邊形ABCD是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），又因為AC⊥BD（已知），所以四邊形ABCD是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形），又因為AO=CO，BO=DO（已知），所以對角線AC和BD不僅互相平分，而且相等，所以四邊形ABCD是正方形（對角線互相垂直平分且相等的菱形是正方形）。20.在四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且AB=BC=CD=DA。求證：四邊形ABCD是正方形。證明：因為四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且AB=BC=CD=DA（已知），所以四邊形ABCD是菱形（四條邊都相等的四邊形是菱形），又因為AB=BC=CD=DA，所以∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB（菱形的四條邊相等，對應(yīng)角相等），又因為AB=BC=CD=DA，所以∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360°（四邊形內(nèi)角和定理），所以每個角都是360°/4=90°，所以四邊形ABCD是正方形（四條邊都相等的菱形是正方形）。四、證明題（本大題共1小題，共10分。）21.在四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且AO=CO，BO=DO，AB=AD。求證：四邊形ABCD是矩形。證明：因為四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且AO=CO，BO=DO（已知），所以四邊形ABCD是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），又因為AB=AD（已知），所以平行四邊形ABCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形），又因為四邊形ABCD是菱形，所以對角線AC和BD互相垂直平分（菱形的對角線互相垂直平分），又因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以對角線AC和BD互相平分（平行四邊形的對角線互相平分），所以對角線AC和BD不僅互相平分，而且互相垂直平分，所以四邊形ABCD是正方形（對角線互相垂直平分且相等的菱形是正方形），所以四邊形ABCD是矩形（正方形是特殊的矩形）。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A解析：因為AO=OC，BO=OD，所以對角線AC和BD互相平分，根據(jù)平行四邊形的判定定理，四邊形ABCD是平行四邊形。2.A解析：因為AO=CO，BO=DO，所以對角線AC和BD互相平分，根據(jù)平行四邊形的判定定理，四邊形ABCD是平行四邊形。3.A解析：因為對角線AC平分BD，所以AO=CO，BO=DO，根據(jù)平行四邊形的判定定理，四邊形ABCD是平行四邊形。4.C解析：因為對角線AC和BD互相垂直，且AC=BD，所以對角線AC和BD不僅互相垂直，而且相等，根據(jù)菱形的判定定理，四邊形ABCD是菱形。5.D解析：因為AO=BO=CO=DO，所以對角線AC和BD不僅互相平分，而且相等，且互相垂直，根據(jù)正方形的判定定理，四邊形ABCD是正方形。6.C解析：因為AB=AD，BC=CD，所以對角線AC把四邊形ABCD分成兩個全等的三角形ΔABC和ΔADC，根據(jù)菱形的判定定理，四邊形ABCD是菱形。7.C解析：因為AO=CO，BO=DO，且AB=AD，所以對角線AC和BD互相平分，且一組鄰邊相等，根據(jù)菱形的判定定理，四邊形ABCD是菱形。8.C解析：因為對角線AC和BD互相垂直，且AO=CO，BO=DO，所以對角線AC和BD不僅互相垂直，而且相等，根據(jù)菱形的判定定理，四邊形ABCD是菱形。9.D解析：因為AO=CO，BO=DO，且AC=BD，所以對角線AC和BD不僅互相平分，而且相等，且互相垂直，根據(jù)正方形的判定定理，四邊形ABCD是正方形。10.D解析：因為AB=BC=CD=DA，所以四邊形ABCD的四條邊都相等，且對角線AC和BD不僅互相平分，而且相等，且互相垂直，根據(jù)正方形的判定定理，四邊形ABCD是正方形。二、填空題答案及解析11.40解析：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以對角線AC和BD互相平分，所以AO=OC，BO=DO，又因為AO=6cm，BO=8cm，所以AB=AO+BO=6cm+8cm=14cm，因為平行四邊形的對邊相等，所以四邊形ABCD的周長是2×AB=2×14cm=28cm。12.35解析：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以對角線AC和BD互相平分，所以AO=CO，BO=DO，又因為AB=5cm，BC=7cm，所以AD=BC=7cm，因為平行四邊形的對邊相等，所以四邊形ABCD的周長是2×AB+2×BC=2×5cm+2×7cm=10cm+14cm=24cm，所以四邊形ABCD的面積是AB×BC=5cm×7cm=35cm2。13.64解析：因為四邊形ABCD是矩形，所以對角線AC和BD互相平分，所以AO=OC，BO=DO，又因為AO=8cm，所以AC=2×AO=2×8cm=16cm，因為矩形的對角線相等，所以BD=AC=16cm，所以四邊形ABCD的面積是AC×BD=16cm×16cm=256cm2。14.60解析：因為四邊形ABCD的對角線AC和BD互相垂直，所以四邊形ABCD是菱形，又因為AC=10cm，BD=12cm，所以四邊形ABCD的面積是AC×BD/2=10cm×12cm/2=60cm2。15.48解析：因為四邊形ABCD是菱形，所以對角線AC和BD互相垂直平分，所以AO=OC，BO=DO，又因為AO=6cm，BO=8cm，所以AC=2×AO=2×6cm=12cm，BD=2×BO=2×8cm=16cm，所以四邊形ABCD的面積是AC×BD/2=12cm×16cm/2=96cm2。三、解答題答案及解析16.證明：在ΔAOB和ΔCOD中，AO=CO（已知），BO=DO（已知），AB=CD（對邊相等），所以ΔAOB≌ΔCOD（SSS），因此∠AOB=∠COD（全等三角形的對應(yīng)角相等），又因為AO和CO是對角線AC的兩部分，BO和DO是對角線BD的兩部分，所以對角線AC和BD互相平分，所以四邊形ABCD是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）。