2025年數(shù)學(xué)建模競賽初級試題與解析版一、問題描述題（共3題，每題10分）題目1（數(shù)據(jù)分析類）題目：某市環(huán)保部門收集了2020-2024年各季度主要空氣污染物（PM2.5、PM10、SO2、NO2）濃度數(shù)據(jù)如下表所示。請分析污染物濃度變化趨勢，預(yù)測2025年各季度主要污染物濃度，并提出至少三條具有可行性的減排建議。|年份|季度|PM2.5(μg/m3)|PM10(μg/m3)|SO2(μg/m3)|NO2(μg/m3)||||--|--|-|-||2020|Q1|58|92|15|28|||Q2|62|95|18|30|||Q3|70|105|22|35|||Q4|65|100|20|32||2021|Q1|55|88|14|25|||Q2|60|92|16|28|||Q3|68|103|19|33|||Q4|60|97|17|30||2022|Q1|52|85|12|22|||Q2|58|90|15|25|||Q3|65|98|18|29|||Q4|58|93|16|27||2023|Q1|50|82|11|20|||Q2|55|87|13|23|||Q3|62|95|16|28|||Q4|55|90|15|26||2024|Q1|48|80|10|18|||Q2|53|85|12|21|||Q3|60|92|14|25|||Q4|53|88|13|23|要求：1.繪制各污染物濃度隨時間的變化曲線圖。2.采用合適的數(shù)學(xué)模型預(yù)測2025年各季度污染物濃度。3.基于分析結(jié)果提出減排建議。題目2（優(yōu)化設(shè)計類）題目：某企業(yè)計劃生產(chǎn)一種新型環(huán)保材料，該材料由兩種主要原料A和B混合而成。已知原料A和B的單價分別為10元/kg和8元/kg，生產(chǎn)過程中會產(chǎn)生廢料C，廢料C可回收再利用但處理成本為2元/kg。生產(chǎn)每千克成品需要消耗原料A和B各0.6kg，并產(chǎn)生0.2kg廢料C。企業(yè)計劃每月生產(chǎn)不超過2000kg成品，且原料A的供應(yīng)量不超過1500kg。請設(shè)計生產(chǎn)方案，使得企業(yè)月利潤最大。要求：1.建立數(shù)學(xué)模型表示企業(yè)利潤與生產(chǎn)量、原料成本的關(guān)系。2.求解最優(yōu)生產(chǎn)方案及最大利潤。3.分析原料供應(yīng)限制對利潤的影響。題目3（邏輯推理類）題目：某農(nóng)場有雞、鴨、牛三種家畜，已知：1.雞的數(shù)量是鴨的兩倍。2.牛的數(shù)量是雞和鴨數(shù)量之和的一半。3.三種家畜總頭數(shù)不超過100頭。4.雞和鴨的總重量是牛的兩倍。5.雞平均每只重2kg，鴨平均每只重3kg，牛平均每只重500kg。請計算農(nóng)場每種家畜的數(shù)量及總重量。要求：1.列出方程組表示上述關(guān)系。2.解方程組求出家畜數(shù)量。3.計算總重量并驗證所有條件。二、模型建立題（共3題，每題10分）題目4（微分方程類）題目：某城市人口增長服從Logistic模型，假設(shè)該城市當(dāng)前人口為50萬，最大承載量為200萬。2020年人口增長率為10%，2021年增長率為8%。請建立微分方程模型描述該城市人口增長過程，并預(yù)測2025年人口數(shù)量。要求：1.寫出Logistic模型公式。2.根據(jù)給定數(shù)據(jù)確定模型參數(shù)。3.用微分方程求解2025年人口數(shù)量。題目5（概率統(tǒng)計類）題目：某快餐店記錄了連續(xù)30天顧客等待時間（單位：分鐘）數(shù)據(jù)如下：[5,8,12,6,7,9,11,8,10,15,7,6,9,12,8,10,5,7,9,11,13,8,6,10,12,7,9,11,8,10]假設(shè)等待時間服從正態(tài)分布，請建立模型分析顧客等待時間特性。要求：1.求等待時間的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。2.繪制頻率分布直方圖。3.求等待時間超過10分鐘的概率。題目6（圖論優(yōu)化類）題目：某地區(qū)有5個社區(qū)需要鋪設(shè)網(wǎng)絡(luò)線路，社區(qū)間距離（單位：km）如下表所示：ABCDEA03645B30256C62034D45302E56420請設(shè)計最短網(wǎng)絡(luò)線路方案，要求所有社區(qū)均接入網(wǎng)絡(luò)，且A社區(qū)必須作為中心節(jié)點。要求：1.用圖論模型描述該問題。2.求解最小生成樹。3.計算總線路長度。三、結(jié)果分析題（共3題，每題10分）題目7（預(yù)測分析類）題目：某電商平臺記錄了2020-2024年各季度商品銷售額（萬元）如下：[120,150,180,200,130,160,190,210,140,170,200,220,150,180,210,240]假設(shè)銷售額增長符合指數(shù)模型，請預(yù)測2025年各季度銷售額，并分析增長趨勢。要求：1.建立指數(shù)增長模型。2.擬合模型參數(shù)。3.預(yù)測2025年銷售額并繪制趨勢圖。題目8（決策分析類）題目：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，每件利潤分別為20元和30元。生產(chǎn)受設(shè)備、人力限制，每天總工時不超過8小時，設(shè)備使用時間不超過6小時。生產(chǎn)每件A產(chǎn)品需0.5小時工時和0.2小時設(shè)備時間，每件B產(chǎn)品需0.3小時工時和0.3小時設(shè)備時間。請決定生產(chǎn)方案使總利潤最大。要求：1.建立線性規(guī)劃模型。2.用圖解法求解最優(yōu)方案。3.分析資源限制對利潤的影響。題目9（風(fēng)險評估類）題目：某投資組合包含三種資產(chǎn)：股票、債券和基金，預(yù)期年收益率分別為15%、8%和12%，標(biāo)準(zhǔn)差分別為20%、5%和15%，相關(guān)系數(shù)矩陣為：股票債券基金股票1.00.40.3債券0.41.00.5基金0.30.51.0假設(shè)投資比例為x1、x2、x3，請計算投資組合的預(yù)期收益率和風(fēng)險（方差），并在風(fēng)險一定時求最大預(yù)期收益。要求：1.建立投資組合模型。2.計算預(yù)期收益率和方差。3.求解風(fēng)險一定時的最優(yōu)投資比例。答案部分答案1（數(shù)據(jù)分析類）1.數(shù)據(jù)分析：-繪制各污染物濃度隨時間的變化曲線圖（略）。-分析：-PM2.5、PM10逐年下降，但Q3濃度較高。-SO2和NO2濃度持續(xù)下降。-2024年各季度濃度較2023年繼續(xù)下降。2.預(yù)測模型：-采用ARIMA模型預(yù)測：pythonimportstatsmodels.apiassmmodel=sm.tsa.ARIMA(data,order=(1,1,1))result=model.fit()forecast=result.forecast(steps=4)-預(yù)測2025年濃度：PM2.5（50±5）、PM10（85±5）、SO2（11±3）、NO2（20±3）。3.減排建議：-優(yōu)先控制工業(yè)排放，推廣清潔生產(chǎn)技術(shù)。-加強機動車尾氣治理，推廣新能源車輛。-提高公眾環(huán)保意識，倡導(dǎo)綠色出行。答案2（優(yōu)化設(shè)計類）1.數(shù)學(xué)模型：利潤=(10×生產(chǎn)量-10×0.6×生產(chǎn)量-8×0.6×生產(chǎn)量-2×0.2×生產(chǎn)量)=1.6×生產(chǎn)量約束條件：生產(chǎn)量≤2000原料A消耗≤15002.最優(yōu)方案：-最大利潤：1.6×2000=3200元。-生產(chǎn)量：2000kg。3.分析：-原料A供應(yīng)是主要限制因素，若增加供應(yīng)可提高利潤。答案3（邏輯推理類）1.方程組：x=2y(雞=2鴨)x+y=2z(牛=1/2(x+y))x+y+z≤1002x+3y=500z2.解方程：-解得：x=40,y=20,z=30。3.總重量：-雞：80kg，鴨：60kg，牛：15t，合計：16.3t。答案4（微分方程類）1.Logistic模型：dp/dt=r·p·(1-p/K)r=0.1,K=200萬2.參數(shù)確定：-2021年：0.08=0.1×50萬×(1-p/200萬)。-解得：p(2021)=100萬。3.預(yù)測：-2025年：p≈175萬。答案5（概率統(tǒng)計類）1.統(tǒng)計量：-均值：8.5，方差：9.7，標(biāo)準(zhǔn)差：3.1。2.直方圖（略）。3.概率：-P(T>10)=P((T-8.5)/3.1>0.96)≈0.168。答案6（圖論優(yōu)化類）1.模型：-用最小生成樹算法（Prim算法）。2.最小生成樹：-A-B(3),A-D(4),B-C(2),C-E(4)。-總長：13km。3.計算：-A為根的最小生成樹：13km。答案7（預(yù)測分析類）1.指數(shù)模型：S_t=S_0·e^(rt)r=(ln(S_t/S_0))/t2.擬合參數(shù)：-r≈0.15，預(yù)測2025年：[250,285,323,364]萬元。3.趨勢圖（略）。答案8（決策分析類）1.線性規(guī)劃：max20x1+30x2s.t.0.5x1+0.3x2≤80.2x1+0.3x2≤6x1,x2≥02.圖解法：-最優(yōu)解：x1=12,x2=8。-最大利潤：440元。3.分析：-設(shè)備限制是主要瓶頸，若增加設(shè)備可用時間可提高利潤。答案9（風(fēng)險評估類）1.投資組合模型：E(R)=x1×15%+x2×8%+x3×12%Va