數(shù)列專題三等比數(shù)列5.3等比數(shù)列

知識(shí)點(diǎn)1

等比數(shù)列的定義1.

等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)非

零常數(shù)時(shí)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，通常

用字母q來(lái)表示.

注：①等比數(shù)列的各項(xiàng)都不能為0，即an≠0；②公比q可以為正數(shù)，也可以為負(fù)數(shù)，但是不能為零，q＝1的數(shù)列是常數(shù)列；

知識(shí)點(diǎn)2

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式1.

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1qn－1，其中a1表示首項(xiàng)，n表示項(xiàng)數(shù)，q表示公比.2.

等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣an＝amqn－m（n∈N*，m∈N*）.注：利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以求出數(shù)列中的任意一項(xiàng).知識(shí)點(diǎn)3

等比數(shù)列的性質(zhì)1.

等比中項(xiàng)

注：“b2＝ac”是“a，b，c成等比數(shù)列”的必要不充分條件.2.

等比數(shù)列的性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)4

等比數(shù)列前n項(xiàng)和

注：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式共涉及a1，q，n，an，Sn五個(gè)基本量，根據(jù)其中的

三個(gè)基本量可以求出另外兩個(gè)基本量，但在等比數(shù)列的求和過(guò)程中一定要注意公

比q是否等于1.

例1

在數(shù)列{an}中，已知首項(xiàng)為2，且an＋1－2an＝0.（1）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；

（2）求a5的值.【解析】

（2）∵an＝a1qn－1，∴a5＝a1q4＝2×24＝32.【考查目標(biāo)】本題考查等比數(shù)列的定義及根據(jù)通項(xiàng)公式求某項(xiàng)的值.

變式訓(xùn)練1

D

（2）（2022年安徽省職教高考真題）在等比數(shù)列{an}中，若a1＋a2＝a3－a1＝

3，則a4＝（B）.A.16B.8C.4D.2【解析】由題意知a1＋a1·q＝3，a1·q2－a1＝3，解得a1＝1，q＝2，∴a4＝a1q3

＝8.B

A.22B.21C.20D.19【考查目標(biāo)】本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.

【答案】

B【解題技巧】在求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，要先求出首項(xiàng)a1和公比q，然后運(yùn)用

求和公式，或者以相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系為突破口進(jìn)行求解.變式訓(xùn)練2（1）（2024年安徽省職教高考真題）在等比數(shù)列{an}中，a2＝3，公比q＝3.若

此數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝40，則n＝（B）.A.3B.4C.5D.6

B

（2）（2022屆安徽省“江淮十?！甭毥谈呖嫉谄叽温?lián)考）已知數(shù)列{an}的前n

項(xiàng)和為Sn，且an＋1＝－2an，S3＝－9，則a1的值為（D）.A.6B.

－6C.3D.

－3D例3

已知等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和S3＝6，前6項(xiàng)和S6＝54.求：（1）這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式an；

（2）這個(gè)數(shù)列的第6項(xiàng)a6；

（3）這個(gè)數(shù)列的前8項(xiàng)和S8.

【考查目標(biāo)】本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式.

【誤區(qū)防范】對(duì)于等比數(shù)列的求和問(wèn)題，要注意討論q＝1和q≠1兩種情況.變式訓(xùn)練3

A.2

D

A.2B.3C.4D.6

A（3）（2025屆安徽省“江淮十?！甭毥谈呖嫉谌温?lián)考）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的

等比數(shù)列{an}，前n項(xiàng)和為Sn，公比為q，若5S2＝4S4，則q＝（B）.A.2

B例4

已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的和為14，積為64，求這三個(gè)數(shù).【考查目標(biāo)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì).

變式訓(xùn)練4已知四個(gè)正數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列且和為19，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為12，

求這四個(gè)數(shù).

一、選擇題1.

在等比數(shù)列{an}中，若a1＝2，a4＝54，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（C）.A.

an＝3nB.

an＝3n－1C.

an＝2×3n－1D.

an＝2×3n

CB3.

在等比數(shù)列{an}中，若a1＝1，q＝3，則數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和S4＝（C）.A.34B.38C.40D.45

4.

在等比數(shù)列{an}中，若a7和a10分別是方程x2－10x＋16＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則

a5·a12的值為（C）.A.

－10B.10C.16D.

－16CC5.

已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，公比q＜1，且這三個(gè)數(shù)的和為21，積為64，則這三

個(gè)數(shù)依次為（D）.A.2，4，8B.4，4，4C.8，4，2D.16，4，1

D6.

若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝5×3n－2，則數(shù)列{an}是（C）.A.

公比為5的等比數(shù)列C.

公比為3的等比數(shù)列D.

首項(xiàng)為5的等比數(shù)列

7.

在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a3＝10，則lg

a1＋lg

a2＋lg

a4＋lg

a5＝

（B）.A.3B.4C.10D.15

CB

B.19.

（2024屆安徽省“江淮十校”職教高考第五次聯(lián)考）已知等比數(shù)列{an}的前n

項(xiàng)和為Sn，若a3a7＝5a5，則S4－S5＝（B）.A.5B.

－5C.

－10D.10

10.

已知數(shù)列{an}滿足an＋1＋3an＝0，且a1＝2，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為

（B）.A.

an＝2×3n－1B.

an＝2×（－3）n－1C.

an＝3n－2D.

an＝－3n－2CBB二、填空題

12.

在等比數(shù)列{an}中，若an＝3n，則公比q＝

?.

13.

在等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，若公比q＝2，S4＝3，則S8的值

為

?.2735114.

在等比數(shù)列{an}中，若a1＝－4，a4＝32，an＝128，則n＝

?.【解析】a4＝

a1q3＝－4q3＝32，解得q＝－2，an＝－4×（－2）n－1＝－（－2）n＋1＝128，解得n＝6.6

三、解答題

（1）數(shù)列{a