概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)\(A\)，\(B\)為兩個(gè)隨機(jī)事件，且\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.3\)，\(P(A\cupB)=0.6\)，則\(P(AB)\)等于（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.42.下列函數(shù)中可以作為某隨機(jī)變量概率密度的是（）A.\(f(x)=\begin{cases}1,&0\ltx\lt2\\0,&其他\end{cases}\)B.\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)C.\(f(x)=\begin{cases}e^{-x},&x\gt0\\0,&x\leq0\end{cases}\)D.\(f(x)=\begin{cases}x^2,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)3.已知隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，則\(\lambda\)等于（）A.1B.2C.3D.44.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x)\)，則\(F(+\infty)\)等于（）A.0B.0.5C.1D.不存在5.若隨機(jī)變量\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，且\(X\simN(1,4)\)，\(Y\simN(2,9)\)，則\(Z=X+Y\)服從的分布是（）A.\(N(3,13)\)B.\(N(3,5)\)C.\(N(1,13)\)D.\(N(2,13)\)6.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)，則\(E(\overline{X})\)等于（）A.\(nE(X)\)B.\(E(X)\)C.\(\frac{1}{n}E(X)\)D.\(E(X^2)\)7.設(shè)總體\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\)已知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是樣本，\(\overline{X}\)是樣本均值，則\(\mu\)的置信水平為\(1-\alpha\)的置信區(qū)間為（）A.\((\overline{X}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)B.\((\overline{X}-t_{\alpha/2}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\alpha/2}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)C.\((\overline{X}-z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)D.\((\overline{X}-t_{\alpha}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\alpha}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)8.設(shè)\(X\)是隨機(jī)變量，\(D(X)=4\)，則\(D(2X+3)\)等于（）A.8B.11C.16D.209.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)，則\(P(X\lt0.5)\)等于（）A.0.25B.0.5C.0.75D.110.樣本方差\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)的無偏性是指（）A.\(E(S^2)=0\)B.\(E(S^2)=\sigma^2\)C.\(E(S^2)=n\)D.\(E(S^2)=\frac{\sigma^2}{n}\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是概率的基本性質(zhì)（）A.\(0\leqP(A)\leq1\)B.\(P(\Omega)=1\)C.\(P(\varnothing)=0\)D.若\(A\subseteqB\)，則\(P(A)\leqP(B)\)2.離散型隨機(jī)變量\(X\)的分布律\(P(X=x_k)=p_k\)，\(k=1,2,\cdots\)需滿足（）A.\(p_k\geq0\)B.\(\sum_{k=1}^{\infty}p_k=1\)C.\(p_k\leq1\)D.\(p_k\)為整數(shù)3.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，且\(X\)的概率密度為\(f_X(x)\)，\(Y\)的概率密度為\(f_Y(y)\)，則\(Z=X+Y\)的概率密度\(f_Z(z)\)可以通過（）得到A.卷積公式\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx\)B.當(dāng)\(X\)，\(Y\)為離散型時(shí)，\(P(Z=z)=\sum_{x+y=z}P(X=x)P(Y=y)\)C.\(f_Z(z)=f_X(z)+f_Y(z)\)D.\(f_Z(z)=f_X(z)f_Y(z)\)4.下列關(guān)于正態(tài)分布的說法正確的是（）A.正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖像關(guān)于\(x=\mu\)對(duì)稱B.正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)中，\(\mu\)決定對(duì)稱軸位置，\(\sigma\)決定圖像的陡峭程度C.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是\(N(0,1)\)D.任何正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布5.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則下列哪些是統(tǒng)計(jì)量（）A.\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)B.\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)C.\(X_1+X_2\)D.\(\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)6.估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)有（）A.無偏性B.有效性C.一致性D.準(zhǔn)確性7.假設(shè)檢驗(yàn)中可能犯的錯(cuò)誤有（）A.第一類錯(cuò)誤（棄真錯(cuò)誤）B.第二類錯(cuò)誤（取偽錯(cuò)誤）C.第三類錯(cuò)誤D.第四類錯(cuò)誤8.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的期望\(E(X)\)和方差\(D(X)\)存在，則下列等式成立的有（）A.\(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)B.\(E(aX+b)=aE(X)+b\)C.\(D(aX+b)=a^2D(X)\)D.\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)（\(X\)，\(Y\)任意隨機(jī)變量）9.對(duì)于二維隨機(jī)變量\((X,Y)\)，以下哪些是其聯(lián)合分布函數(shù)\(F(x,y)\)的性質(zhì)（）A.\(F(-\infty,y)=0\)，\(F(x,-\infty)=0\)，\(F(-\infty,-\infty)=0\)，\(F(+\infty,+\infty)=1\)B.\(F(x,y)\)關(guān)于\(x\)和\(y\)單調(diào)不減C.\(F(x,y)\)關(guān)于\(x\)右連續(xù)，關(guān)于\(y\)右連續(xù)D.對(duì)于\(x_1\ltx_2\)，\(y_1\lty_2\)，\(P(x_1\ltX\leqx_2,y_1\ltY\leqy_2)=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)\)10.下列哪些是常見的離散型分布（）A.兩點(diǎn)分布B.二項(xiàng)分布C.泊松分布D.均勻分布三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(A\)與\(B\)互斥，則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（）2.分布函數(shù)\(F(x)\)一定是單調(diào)遞增函數(shù)。（）3.隨機(jī)變量\(X\)與\(Y\)的協(xié)方差\(Cov(X,Y)=0\)，則\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立。（）4.樣本均值\(\overline{X}\)是總體均值\(\mu\)的無偏估計(jì)。（）5.若總體\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則樣本均值\(\overline{X}\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)。（）6.概率為0的事件一定是不可能事件。（）7.設(shè)\(X\)是隨機(jī)變量，\(E(X^2)\)一定大于等于\([E(X)]^2\)。（）8.對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)，\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)。（）9.區(qū)間估計(jì)中，置信水平\(1-\alpha\)越大，置信區(qū)間越寬。（）10.極大似然估計(jì)一定是無偏估計(jì)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述概率的公理化定義。答：設(shè)\(E\)是隨機(jī)試驗(yàn)，\(\Omega\)是樣本空間，對(duì)于\(\Omega\)中的每一個(gè)事件\(A\)，賦予一個(gè)實(shí)數(shù)\(P(A)\)，若\(P(A)\)滿足非負(fù)性\(P(A)\geq0\)，規(guī)范性\(P(\Omega)=1\)，可列可加性（對(duì)兩兩互斥事件\(A_1,A_2,\cdots\)，有\(zhòng)(P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)\)），則稱\(P(A)\)為事件\(A\)的概率。2.簡述隨機(jī)變量期望的性質(zhì)。答：期望性質(zhì)有：\(E(c)=c\)（\(c\)為常數(shù)）；\(E(aX)=aE(X)\)（\(a\)為常數(shù)）；\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)；若\(X\)，\(Y\)相互獨(dú)立，\(E(XY)=E(X)E(Y)\)。3.簡述矩估計(jì)的基本思想。答：矩估計(jì)基本思想是用樣本矩來估計(jì)總體矩。因?yàn)闃颖緛碜钥傮w，樣本矩在一定程度上反映總體矩特征。例如用樣本均值估計(jì)總體均值，用樣本二階中心矩估計(jì)總體方差等。4.簡述假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟。答：步驟為：提出原假設(shè)\(H_0\)和備擇假設(shè)\(H_1\)；選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；給定顯著性水平\(\alpha\)，確定拒絕域；根據(jù)樣本值計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值；將統(tǒng)計(jì)量值與拒絕域比較，作出拒絕或接受原假設(shè)的判斷。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論正態(tài)分布在實(shí)際生活中的應(yīng)用及意義。答：正態(tài)分布在實(shí)際中應(yīng)用廣泛，如學(xué)生考試成績、人群身高體重、測量誤差等都近似服從正態(tài)分布。意義在于可通過其性質(zhì)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、預(yù)測和質(zhì)量控制等，幫助人們了解現(xiàn)象的分布規(guī)律，做出合理決策。2.討論估計(jì)量的無偏性、有效性和一致性的實(shí)際意義。答：無偏性保證估計(jì)量平均意義上等于真值；有效性表明在無偏估計(jì)中，方差越小越有效，估計(jì)更精準(zhǔn)；一致性說明隨著樣本量增大，估計(jì)量依概率收斂于真值，大樣本下估計(jì)更可靠，這些性質(zhì)為選擇優(yōu)良估計(jì)量提供標(biāo)準(zhǔn)。3.討論隨機(jī)變量獨(dú)立性的判定方法及在實(shí)際問題中的作用。答：判定方法有定義法，即\(P(X\leqx,Y\leqy)=P(X\leqx)P(Y\leqy)\)對(duì)任意\(x\)，\(y\)成立；對(duì)于離散型，\(P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j)\)；連續(xù)型時(shí)聯(lián)合密度等于邊緣密度乘積。在實(shí)際中，獨(dú)立性可簡化概率計(jì)算、模型構(gòu)建等，分析變量間是否相互影響。4.討論樣本容量對(duì)統(tǒng)計(jì)推斷結(jié)果的影響。答：樣本容量較小時(shí)，統(tǒng)計(jì)量對(duì)總體特征的代表性有限，估計(jì)精度低，假設(shè)檢驗(yàn)可靠性差，可能得出錯(cuò)誤結(jié)論。樣